弹性连续体振动的准确解.doc

第七章 弹性连续体振动的准确解 实际的振系都是弹性连续体系统，在很多情况下只是为了使问题简化，计算简便，才把它们简化成前几章所讨论的有限多的离散系统来分析。当需要对弹性体振动问题作严密的分析时，这时就需要作为连续系统来处理。弹性连续体问题与离散体问题有不同的特点，弹性连续体的质量、刚度、阻尼是连续分布的，因之具有无限多个自由度，需用无限多个点的独立坐标来表确定，其运动微分方程需要用偏微分方程来描述，而离散体在力学模型上具有明显的集中质量和不计质量的弹性元件，其自由度有限，运动以与自由度个数相等的二阶常系数微分方程来描述。尽管如此，但两类问题在物理本质上是相同的，若把连续系统的质量分段聚集到有限个点上，各点之间用弹性元件连接起来便成为连续体，反之，离散系统当其质点数趋于无限多时就成为连续体，它们之间有相同的动力特性。n自由度连续体系统有n个固有频率及主振型，而连续体则有无限多个固有频率及主振型，连续体中也存在各个主振型之间关于质量矩阵、刚度矩阵的正交性，对弹性体的响应分析，主振型迭加法有效。本章将研究具有以下三个条件的理想弹性连续体振动问题的求解：1.材料是均匀的，具有各向同性；2.应力不超过弹性极限、并服从虎克定律；3.变形是微小的且是连续的。具体是一维弹性体：轴、杆、梁等。至于其它类弹性连续体如板、壳等的振动问题，因涉及到弹性力学知识，本章将不予讨论。7-1弦的横向振动先研究最简单的弦的横向振动问题。设有理想柔软的细弦张紧在两个固定点之间，张力为T0，跨长为L，弦的单位体积的质量为，橫截面面积为A，如图7-1所示。建立xoy坐标系如图示，以y（x，t）表示弦的位移，向上为正，由于是微振动，位移很小，弦的张力变换可忽略不计，即在整个振动过程中T0保持不变。在弦上x处取一微段dx，其质量dmAdx，在任一微段两端作用着大小相等方向不同的张力T0，根据牛顿运动定律，得 由于微振动，有故有代入，简化后，即为 或写成 （7-1）式中称为波沿弦长度方向传播的速度。（7-1）式是弦的横向振动微分方程，通常称为一维波动方程。下面讨论波动方程解的具体形式。波动方程的接通常用分离变量法得到，即假设解是由两个单变量函数的乘积构成，根据对有限自由度系统振动的了解，可设方程（7-1）的解为y（x.t）Y（x）T（t） （7-2）式中Y（t）表示弦的振动，仅为x的函数，而T（t）表示弦的振动规律，是只与时间t 有关的待定常数。将（7-2）式代入方程（7-1）式可得 （a）上式中两个变量已分离，左边只依赖于t，所以要使上式对任意的x与t都成立，则两边必须都等于同一常数，设此常数为p2（因为只有负值，才可得到谐振动方程），便得到如下两个常微分方程， （b）由上列方程可分别解得 （7-3） （7-4）式中p为弦自由振动的频率，A、B、C、D皆为积分常数。波动方程的通解为 （7-5）式中的p及A、B、C、D可由弦振动的边界条件和初始条件来确定。对于图7-1所示的情况，弦的两边固定，边界条件为y（0t）0，y（Lt）0，因为，所以Y（0）0及Y（L）0。代入（7-4）式得D0及 （7-6） (7-6)式为弦振动的特征方程，即频率方程。解之得 （i1，2，）故得弦振动的固有频率 （i1，2，） （7-7）对应的主振型为 （7-8）因为振型只确定系统中各点振幅的相对比值，故上式中无需带常数因Ci。前三阶主振型如图7-2(a)、(b)、(c)所示。弦对应于各个固有频率的主振动为在一般情况下，弦的自由振动为无限多阶主振动的迭加 （7-9）其中Ai与Bi由振动的初始条件确定。设在初始时刻t0，有y(x,0)=f(x), 于是有由三角函数的正交性，有由此可得 (7-10)例7-1 张紧弦如图73所示，现把弦从它的初始位形突然释放，求弦的自由振动响应。解：弦的初始位形可表示为 由（7-10）式求得Ai0 （i1，2，,） (i=1,2,)因而弦的自由振动响应可表示为7-2杆的纵向自由振动本节讨论均质等截面细长直杆的纵向自由振动。设杆长为L，横截面积为A，单位体积质量为，拉压弹性模量为E，如图7-4所示。杆中心线为x轴，杆左端为原点0，假设杆在振动过程中杆的横截面只有x方向的位移，而始终保持平面，并略去由于杆的纵向伸缩引起的横行变形。以u（x，t）表示x处截面的纵向位移。在x处取微段dx，分析其受力状态，在x截面与xdx截面上的内力分别为N与，微段的轴向应变，微段的轴向应力，故 根据牛顿运动定律，可得或 或 （7-11）式（7-11）即为杆纵向自由振动微分方程，亦为波动方程，与方程（7-1）的形式完全相同。式中：a为波在杆件中沿X轴的传播速度。将（7-1）式中的y代以u，就可直接得到（7-11）式的解为u(X，t)U（X）T（t）式中U（X）为主振型函数， T（t）Asinpt+Bcospt， U（x）Csin+Dcos （7-12）完全与弦的振动类似，（7-12）中的p及积分常数由问题的边界条件与初始条件确定。 例72图7-5所示一端固定，另一端弹性支承，刚度系数为K的直杆，求系统的纵向自由振动的固有频率与主振型。解：系统振动微分方程的解由（7-12）式给出。以下根据杆右端的不同约束情况，分别给出相应的边界条件及对应的解。1、杆右端为弹性约束情况边界条件：在x=0处，u（0，t）0即U（0）0，在xL处，杆受到弹簧力Ku（L，t）的作用，即 即 因 ，代入两个边界条件后得D=0，及频率方程上式可写成 令EAKL，对应于给定的值采用试奏法不难找到各个固有频率pi值。也可采用下述作图法求出。由方程 ，以 pLa为横坐标，为纵坐标，作出和两个图形，如图7-6所示，得到两个图形交点的横坐标pLa便可求出各阶固有频率。相应的主振型为 2.右端无弹力情况 此时杆右端自由，边界条件为 ， ，代入式 有 ，所以频率方程成为，可得出 ，则 （i1,2,）相应的主振型为 （i1,2,）3.右端固定情况 边界条件为 Ux00， UxL=0。频率方程成为 （i1,2,）相应的主振型为 （i1,2,） 例7-3图7-7所示为一端固定，另一端带有集中质量的杆，求该系统的固有频率。解：系统振动微分方程的解为（7-12）。由于在振动时杆端附加质量产生惯性力，故边界条件：x=0处，U（0，t）0，即U（0）0；X=L处， 代入（7-12）式，得D=0及频率方程由于， E=a2 代入整理后得 上式作变为杆的质量与附加质量M的比值，是给定的值。该频率方程的根可以用前述的作图法求出。设ALM，PLa，则频率方程为tg=/。例如取1，则以为横坐标，作出tg和1的两条曲线，如图7-8所示，得到两条曲线的交点1、2、，便可求得各阶固有频率pi(i=1,2, )。从图中可得10.860，即第一阶固有频率为第二、三阶固有频率相应为 ， 73 轴的扭转自由振动本节讨论等截面直圆轴的扭转自由振动，圆轴长为L，半径为r，轴的单位体积的质量为，剪切模量为G，截面的极惯性矩为JP。取圆轴的轴心线为X轴，如图7-9所示。以（X，t）表示x处截面的转角，取微段dx，则在x+dx截面上的转角为，故微段两端的相对扭转角为 ，由材料力学知，轴的扭转应变为，x截面上的扭矩，在x+dx截面上的扭矩为，圆截面微段对x轴的转动惯性量 IPJPdx，根据定轴转动微分方程式可得即 令 a2G，a为扭转弹性波的传播速度，则上式可写成 （7-13）（7-13）式即为轴扭转自由振动微分方程，亦为波动方程，与前述杆的纵向自由振动及弦的横向自由振动方程的形式完全一样。故解的形式也一样，只是以代替U或Y，现直接写出（7-13）的解 (x) （7-14）式中(x)为主振型函数，pi及各个积分常数由边界条件及初始条件来确定。 例7-4图7-10所示为一端固定，另一端自由的等直圆截面轴，在自由端作用有扭矩M0，在t0时突然释放，求系统的固有频率、主振型以及自由端的振幅。解：1.轴端的边界条件：x0处，（0，t）0 ；xL处，自由端的剪应力为零，即 代入（7-14）式，可得 D=0及。由此可得固有频率 ( i=1,2，)及相应的主振型（x） （i=1,2，）2.求自由端振幅：求出一般情况下的运动规律。 代上式于（7-14）式得 （a）根据给定的初始条件代入（a）式，有 （b） （c）由（c）式要求任意给定的x都成立，必须Ai0，由（b）式利用三角函数的正交性及（7-10）式，可得（i=1,2，）代回（a）式，得系统响应 在自由端即xL处振幅极大，且当 时，为最大，即74 梁的横向自由振动现在来讨论等截面细直梁的横向自由振动。所谓梁的横向振动是指细直梁作垂直于轴线方向的振动，其主要的变形是梁的弯曲，因此亦称弯曲振动。在分析这种振动时，假设梁具有对称平面，梁的轴线在振动过程中始终保持在此平面内，还假设梁的长度与横截面尺寸之比较大，可忽略转动惯量与剪切变形的影响。同时假设梁作微幅振动，故可采用材料力学中梁弯曲的简化理论。如图7-11所示，取梁未变形时的轴线方向为x轴（向右为正），在对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正），以横向位移y作为广义坐标，并设梁的横截面积为A，单位体积的质量为，EJ为截面抗弯刚度。现从梁上x截面处截取微元段dx，其受力状态如图示，图中所示弯矩M、剪力Q均按正方向表示，根据牛顿运动定律，在Y方向的运动方程为即 (a)微元段dx的转动方程（忽略截面转动惯量的影响）为即 (b)将（b）代入（a）式得 （c）由材料力学知 代入（c）式得或 (7-15)方程（7-15）就是梁横向自由振动微分方程。对于均匀等截面梁则方程变为 若令，则方程又可写成 （7-16）方程（7-16）为四阶偏微分方程，采用分离变量法求解。设解的形式为 y（x,t）=Y(x)T(t) （7-17）将上式代入（7-16）式，得 分离变量法后，方程变为要使上面方程成立，方程两边必须等于同一常数，设常数为p2，并令p2a24，于是有 （7-18） 及 （7-19）如前所述，方程（7-18）的解为 T（t）=AsinPt+BcosP （7-20） 方程（7-19）为四阶常微分方程，它的解可设为Yesx，代入（7-19）式得S440它的四个根为S1，2， S3，4i于是（7-19）式的解为 （d）因为 所以（b）式可改写成常用的形式 （7-21）将（7-20）、（7-21）式代回（7-17）式得 （7-22）式中有六个待定常数，其中A、B取决于振动的初始条件，c1、c2 、c3、c4取决于梁的边界条件。常见的等截面梁的边界条件有：1固定端：位移与转角等于零， 即 Y=0 及 2简支端：位移与弯矩等于零， 即 Y=0 及 3自由端：弯矩与剪力等于零， 即 及 在具体考察各种支承情况下梁的横向自由振动固有频率与主振型之前，先将边界条件中要用的Y（x）的各阶导数列出如下： （7-23）下面分别研究几种不同支承的梁的横向自由振动固有频率与主振型。1.两端简支梁：边界条件为Y（0）0，代入（7-21）式及（7-23）式得 C2C40及 因为当L0时，ShL不为零，故得C30，于是可得特征方程sinL0，它的根为 （i1，2）因为 4p2a2，故固有频率为 （i1，2） （7-24）相应的主振型为 （i1，2） （7-25）其前三阶主振型如图7-12所示。2. 两端固定梁：边界条件为 Y(0)=0，Y（L）0，Y（0）0，Y（L）0。代入（7-21）式，得C2C40及C1C30，故有C2C4及C1C3，代入（7-23）式，并利用上述关系，得 （e）若上式对C1、C2有非零解，它的系数行列式必须为零，即 将上式展开简化后得频率方程 cosLchL=1这是一个超越方程，常用图解法求它的根。为此将上式改写成以L为横坐标，作出cosL和1chL的两条曲线，如图7-13所示；两条曲线的各个交点的横坐标，就是这个方程的解。由此求得固有频率。几个最低的特征根如表1示。 表11L2L3L4L5L4.7307.85310.99614.13717.279其中对应于i2的各个特征根可足够准确地取为 （i2，3，）梁的固有频率相应取为 （i1，2，） （7-26）求得各个特征根后由（e）式可确定系数C3、C4的比值。即故与pi相应的各阶主振型函数可取为(sinixsinix) (7-27)它的前三阶主振型，如图714所示。 3. 一端固支，一端自由梁：边界条件为Y（0）0，Y（0）0，Y（L）0，Y（L）0；代入（7-21）式得C2C40，C1C30；可得C2C4，C1C3 ，代入（7-23）式并利用上述关系，得 （f）具有非零解的条件为 0展开简化后得频率方程它的根可用作图解法求出如表2所示表21L2L3L4L5L6L1.8754.6947.85510.99614.13717.279其中，对于i3的各个特征根可足够准确地取为悬臂梁的固有频率相应地为 （i1，2，） （7-28）求得各特征根后由（f）式可确定系数C3、C4 的比值。即故与pi相应的主振型可取为 （7-29）它的前三阶主振型如图7-15所示 4. 两端自由梁：边界条件为Y（0）0，Y（0）0，Y（L）0，Y（L）0；代入（7-23）式得C2C40，C1C30；故有 C2C4，C1C3 （g）具有非零解的条件为 0展开简化后得频率方程cosLchL=1上式与两端固定梁的频率方程完全相同，这表示两端自由梁的固有频率与两端固定梁相同，只是自由梁有对应于刚体运动的iL=0的零根（见图7-13）。其特征根为 0L1L2L3L4L5L04.7307.85310.99614.13717.279求出各特征根后，由（g）式可确定系数C3与C4的比值。即 故与pi相应的主振型函数可取为 （7-30）它的前三阶主振型如图7-6所示。 5. 一端固定、一端简支承边界条件为：Y（0）0，Y（0）0，Y（L）0，Y（L）0；可解出这种梁的频率方程为 tgL=thL亦可用图解法求出其特征根为 1L2L3L4L5L3.9277.06910.21013.35216.493iL （i=1，2，）相应的固有频率为 （i=1，2，） （7-31） 相应的主振型函数为 (7-32)它的前三阶主振型如图7-7所示。由以上分析可见，不同边界条件的梁在横向自由振动时的固有频率计算公式形式相似，均可表示为 （i1，2，）在不同的边界条件下只是（iL）2的形式有所不同。例7-5设在悬臂梁的自由端具有横向弹性支承，其弹簧刚度为K，如图7-18所示。试导出系统的频率方程。 解：取坐标如图所示，由固定端的边界条件Y（0）0，Y（0）0可知，在（7-21）式中 C1C3，C2C4。在弹性支承端，弯矩为零，而剪力就是弹簧力，按截面剪力的正负号规定，当y（L）为正（负）时，弹簧力向下（上），作为剪力应取正（负）号，故弹簧支承端的边界条件为：Y（L）0 ，EJY（0）KY（L） （h）代入（7-23）式并应用C1C3，C2C4的关系，可得 具有非零解的条件为： 0展开化简后得或写成 （i）上式即为所求的频率方程。注意到，当k0时，上式转化为1chLcosL0，它就是悬臂梁的频率方程。又当k时，弹性支承端就相当于铰支座端，这时又转化为，或写成tgL=thL，即为一端固定、一端铰支梁的频率方程。例7-6设在悬臂梁自由端附加集中质量m，如图7-19所示。试求其频率方程。解：取坐标系如图示，由固定端的边界条件Y（0）0，Y（0）0，可知在（7-21）式中，C1C3，C2C4。在附加集中质量m的梁端，弯矩为零，而剪力就是质量m的惯性力，这一惯性力表示为 按截面剪力的正负号规定，当y（L）为正时，惯性力mp2y（L，t）向上，作为剪力应取负号。故梁附加支梁端的边界条件为 Y（L）0，EJY（L）mp2y（L） （j）（j）式与例7-5中（h）式相比，差别仅在于将（h）式中的k换成为mp2。于是，将例7-5中（i）式的k换成mp2就可得到本例的频率方程，即有 （k）如令，这表示为附加质量与梁质量之比，则代入（k）式可改写成 （1）75 主振型的正交性 在第五章中讨论过有限自由度系统中主振型的正交性这一特征，在弹性连续系统中也同样有这一重要特性。但在弹性连续系统中主振型正交性为积分的表达形式。下面仅就梁的横向自由振动的主振型函数论证其正交性。在讨论中，设梁截面可以是变化的，即EJ及A可不必为常数。设Yi（x）及Yj(x)分别代表对应于第i阶和第j阶固有频率pi及pj的主振型函数，则它们必定满足下列方程。 （733）（7-33）式是根据方程（7-15），并假设解代入方程而得到。故有或写成 （a）或写成 （b）用Yj（x）乘（a）式，并在梁全长进行分部积分，得 （c）再用Yi（x）乘（b）式，并在梁全长进行分部积分，得 （d）将（c）、（d）两式相减得 （e）上式右边实际上是梁的边界条件即X0和XL的端点条件，对于梁的边界是固定、简支或自由，上式右边都等于零。因此，只要ij，Pi2Pj2,便有 （ij） （7-34）这就是在简单支承条件下梁的主振型对于质量A（x）的正交性条件。将（7-34）式代回（d）式，便得 （ij） (7-35)这就是在简单支撑条件下，梁的主振型对于刚度EJ（x）的正交性条件。对于等截面梁，A与EJ均为常数，则主振型的正交性条件就简化为 （ij） （7-36） （ij） （7-37）当ij时，式（e）自然满足。这时，可令， （7-38）Mi称为第i阶主振型的主质量，Ki称为第i阶主振型的主刚度。由式（c）或（d）可见。通常，为了运算方便，将主振型正则化，可取 （7-39）将（7-39）式代回（c）式，得 （7-40）以下讨论不同支承情况时振型函数正交性的表达式。1. 当梁的两端为弹性支承时，边界条件为 将它代入式（e）及式（c），可得 (i) (7-41)2. 当梁的L端具有附加质量m时，边界条件为 将它代入式（e）及式（c），可得 (i) （7-42）上面讨论的是梁横向自由振动的主振型正交性条件。用同样的方法也可推导出在简单支承条件下杆纵向自由振动及圆盘扭转自由振动时的主振型正交条件为对于杆纵向振动： (i) (7-43) (i) (7-44)利用主振型的正交性条件，就可以将任何初始条件引起的自由振动和任意激扰力引起的强迫振动，都可以采用振型迭加法简化为类似于单自由度系统那样的振动微分方程式来求解。7-6 用振型迭加法求梁的振动响应求得杆件振动的固有频率及主振型后，利用主振型的正交性及应用第五章中介绍的振型迭加法，就可以求得初始条件下的响应及任意激扰力的响应。本节仍以梁的横向振动问题为例来说明这一方法。如图7-11所示的等直梁在任意分布横向载荷F（x，t）作用下，求它的强迫振动响应。这时梁的横向振动微分方程为 （7-45）对等直梁，可简化为 （7-46）这是一个四阶常系数非齐次偏微分方程，其解之一为对应于齐次方程的解即梁的自由振动的解，只要给定初始条件即可求得相应的响应，这是一个瞬态振动。另一解是对应于非齐次方程的特解，在给定的激扰力函数F（x，t）后，可求得激扰力的响应，即梁的稳态响应。如前所述，用振型迭加法求系统稳态响应的步骤如下：1.通过求解梁的自由振动微分方程，求出在给定边界条件下的梁的各阶固有频率pi和相应的主振型Yi（x）（i1，2，），并且应用（7-39）式，将主振型正则化，得到相应的正则振型函数，仍用Yi（x）表示。2.引进正则坐标qi（t），对原方程(7-46)进行坐标变换，即令 （7-47）将（7-47）式代入（7-46）式，得 （a）将（a）式两边均乘以Yj（x）dx，并对梁全长积分，即 应用主振型的正交性，由（7-34），（7-35）、（7-39）、（7-40）式可知，上式左边只剩下ij的项非零，其余均为零，由此可得一组独立的常微分方程组 （i1，2，） （7-48）式中 （7-49）称为对应于正则坐标qi的广义力。3.解方程（7-48），该方程和无阻尼单自由度系统强迫振动的微分方程形式完全相同，其解亦相同。如应用卷积积分求解，则 （i1，2，） （7-50）4.求系统在原广义坐标下的响应y（x，t），即将已求出的qi（t）代回（7-47）式得 （7-51）（7-51）式表示，梁在受到横向分布激扰力作用时的动力响应，是各阶主振型（正则振型）的迭加，若在梁上作用的不是分布激扰力F（x，t），而是在梁x=x1处作用一个集中力p（t），则 （7-52） （7-53） （7-54）式中Yi（x1）为第i阶正则振型在xx1的值。以上就是用振型迭加法求解系统强迫振动响应的过程。例7-7 如图7-20所示的均匀简支梁，长度为L，抗弯刚度为EJ，在xx1处作用一集中简谐力p。求梁的强迫振动响应。 解：前已求得简支梁的固有频率为相应的主振型函数为将主振型正则化，应用（7-39）式，即由此得所以正则振型函数为对于正则坐标的广义激扰力可由（7-52）式求出为代入（7-53）式，得代入（7-47）式，即得系统在原广义坐标下的响应为例7-8 均匀简支梁上有均布力F（t）作用，如图7-21所示。求系统的强迫振动响应。解：由上题已知简支梁的固有频率为及正则振型函数由（7-49）式求广义力 （i1，3，5，）代入（7-50）式，得 （i1，3，5，）将qi（t）代入（7-47）式，得 上式表明，均匀简支梁由于受到对称载荷作用，只产生对称振型的振动。例7-9 如图7-22所示均匀简支梁，当t0时，在xx1处的微小范围内受到冲击，得到初始速度V后作自由振动，试求此系统的响应。解：已知初始条件：y0（x）0，（当，其它处为零。已求得简支梁的固有频率为及正则振型函数代入（e）式，得因很小，所以 ，故代入（7-56）式，由于Qi0，得系统的响应为 如梁在中部受到冲击，即x1L/2，则 由于，所以，代入上式，可写成 上式表明，由于均匀简支梁受到的初始冲击是对称的，所以只产生对称性振动，同时由于各阶振型的的幅值按与i2成反比下降，因此低阶振型起主要作用，高阶主振型所占成分很小。习 题7-1一等直杆左端固定，右端附一重量为W的重物并和一弹簧相连，如题7-1图所示。已知，杆长为L，单位体积的质量为，截面面积为A，弹性模量为E，弹簧刚度为K。求系统纵向自由振动的频率方程。答： ,（a） 7-2一根两端固定的直杆在其中点作用一轴向常力F0，如题7-2图所示。当力F0突然取消后，求系统的响应。答： 7-3一根等直的圆轴两端附有两个相同的圆盘，如题7-3图所示。已知轴的长度为L，杆对自身轴线的转动惯量为Is，圆盘对杆的轴线的转动惯量为I0。求系统扭转振动的频率方程。答： ， 7-4一等直的圆轴一端固定，另一端和扭转弹簧相连，如题7-4图所示。已知轴的抗扭刚度为GJp，单位体积的质量为,轴长为L,弹簧刚度为Kt。求系统扭转振动的频率方程。答： 7-5如题7-5图所示均匀等直梁，一端铰支，一端附有集中质量m，并受到一弹簧刚度为K的弹簧支承。求系统横向振动的频率方程。答： （7-6均匀简支梁受到集度为q0的横向均布载荷作用，设在静止状态突然撤去载荷，求系统的响应。已知梁的长度为L，抗弯刚度为EJ，单位体积的质量为，截面面积为A。答： 7-7设均匀简支梁受分布载荷的作用，求梁的强迫振动响应。已知梁的长度为L，抗弯刚度为EJ，单位体积的质量为，截面面积为A。答： 7-8均匀简支梁在中点受到轴向力F0的作用，设在静止状态突然撤去载荷，求响应的响应。已知梁的长度为L，抗弯刚度为EJ，单位体积的质量为，截面面积为A。答： 7-9设均匀简支梁在半部作用有分布的横向激扰力的作用，求梁中点的强迫振动振幅。已知梁的长度为L，抗弯刚度为EJ，单位体积的质量为，截面面积为A。答：