带有不同余项泰勒公式的应用.doc

陕西理工学院毕业论文毕业论文题 目 带有不同余项泰勒公式的应用 _ 学生姓名 学号 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学专业2010级数教1班 指导教师 完成地点 陕西理工学院 2014年 5月 9日带有不同余项泰勒公式的应用柴书雅（陕西理工学院数计学院数教101，陕西 汉中 723000）指导老师：李金龙 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用.在现 代数学中公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用.在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及进一步的运用。【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 应用1 引言泰勒公式是数学分析的一个重要内容，在了解泰勒公式后我们主要是能将其应用。首先给出几种不同余项的泰勒公式，然后重点是根据这几种不同泰勒公式求极限、高阶导数、判断敛散性、证明中值定理、证明不等式、求近似值和误差估计、研究函数极值.2 常见几种公式2.1佩皮亚诺型余项的公式【2】若函数在点存在直至阶导数，则有，即. (2)其中是由这些导数构造的一个次多项式， （3）称为函数在点处的多项式，的各项系数称为系数.从上易知与其多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即 ，. （4）2.2 其次是带有拉格朗日型余项的公式【2】 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得 （1）2.3 柯西型公式【2】若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，使得 （5） 其中 2.4积分型公式【2】 如果函数在含有的某个开区间内具有直到的导数, 则当x 在内时, 可表示为的一个次多项式与一个余项之和:其中 3 公式的应用： 3.1 求极限1例1 求极限解：又，将用公式展开 则小结：本题用洛必达法则求解比较复杂，在这里我选用的是带有佩亚诺型的泰勒公式进行求解。3.2 求高阶导数3例2 设，求.分析：这道题若直接求高阶导数比较困难，因此我们考虑在处的麦克劳林展开式.解：（10）又在处的麦克劳林展开式为（11）比较（10）（11）中的系数可得， 由展开的唯一性，并有公式的各项系数 则可得到高阶导数，即.小结：在高阶倒数的求解中能更加直接的借助公式的特殊形式更快更直接的对其进行展开，再对展开的各项进行最基本的导数求解使计算更加的简洁方便.3.3 判断敛散性例34 讨论级数，的敛散性.解： ，于是当时，级数收敛，当时，级数发散.例5 讨论无穷积分的敛散性.解： 选取，因为，而，由无穷积分的敛散性判别定理知收敛.对于公式在判断数学积分问题中收敛性起到的作用通过以上例子有了具体的说明.数学中的敛散性根据不同的积分形式有不同的方法判断，而公式在很多的积分都有其运用其主要原因就是其能使得式子在经过展开后变成简单的式子更加直观方便的计算.3.4 证明中值定理5例6 设函数在上三阶可导.证明存在一点，使得（1）证明：设存在一个常数，使得（2）这时，我们的问题归为证明：，使得 （3）令 （4）则 .根据定理可知，至少存在一点，使得.即 （5）这是关于k的方程，注意到在点处的泰勒公式：（6）其中.比较（5）（6）可得到（3）式.即得证小结：本题是对带有拉格朗日型余项的泰勒公式的应用，其中还应用到了中值定理。3.5 利用证明不等式3.5.1证明积分不等式6例8、设是上的连续正值函数，且，证：.证明：将在点展开为一阶展式 .小结：本题是利用了积分型泰勒公式,重点是将其放缩.3.5.2 证明导数不等式7例9、设函数在上二次可微，且，试证存在一点使.分析：函数在上二次可微，且最小值，所以在内一定存在极值点，该点的导数为，题中可知二次可微，我们可以想到展式，并且是在最小值点处展开.解：不妨设在为在上的最小值点，则，在处的展开得： ，是介于与之间的某个数，当时，即当时，即.所以，当时， 当时，.终上所述，存在一点使.小结：利用公式证明函数不等式步骤：(1)、构造一个函数，选一个展开点，然后写出在处的带有拉格朗日余项的公式；那么我们该选择哪个点处展开呢？函数在一个区间性质常常可由区间中的一些特殊点来反映，如端点、分点、零点、极值点、最值点、拐点等.此外，区间中的任意点也是分析函数性质不可或缺的点，运用时，就是将这些点中导数信息相对较充分的点选作展开中心.（2）根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或三角形不等式对进行放缩.3.6 求近似值误差估计8例10、计算的值，使其误差不超过.解：由公式得 故，当时，便有略去求得的近似解为3.7 研究函数的极值9例11、 求函数f(x,y)=x4+y4-x2-2xy-y2的极值 解 fx(x,y)=4x3-2x-2y=0，fy(x,y)=4y3-2x-2y=0， 得驻点（1，1），（-1，-1），（0，0）. 判断：求二阶偏导fxx(x,y)=12x2-2, fxy(x,y)=-2, fyy(x,y)=12y2-2， 在点（1，1）处， A=fxx(1,1)=10, B=fxy(1,1)=-2，C=fyy(1,1)=10 因B2AC0， 故f(1,1)= -2为极小值 类似可得f(-1,-1)= -2为极小值在点（0，0）处，A=B=C= -2，B2-AC=0，此时应用极值定义判断f(0,0)=0是否为极值对足够小的正数e，有 f(e，0)=e2（e2-1）0这说明在点（0，0）的任一邻域内，既有函数值大于f(0,0)的点，又有函数值小于f(0，0)的点，故f(0，0)非极值.【参考文献】1 刘玉琏傅沛仁编.数学分析讲义（第四版）P233-P234.高等教育出版社，2003年6月.2 华东师范数学系编著.数学分析（下册）（第四版）P137.高等教育出版社，2010年7月. 3 周运明 尚德生主编.数学分析（上册）（第一版）.科学出版社，2008年9月.4 常庚哲，史济怀编.数学分析教程（上册）（第一版）.高等教育出版社，2003年5月.5 B.A.卓里奇著,王昆扬，周美珂等译.数学分析（第一卷）(第四版).高等教育出版社，2006年6月.6 胡格吉乐吐.对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用J.内蒙古科技与经济，2009，12(24).7 齐成辉.泰勒公式的应用J.陕西师范大学学报，2003，31(z1).8 严振祥，沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用J.重庆交通大学学报，2007，26(4).9 刘瑜，陈美燕，于超，冯涛.泰勒公式在n阶行列式计算中的应用J.内江师范学院学报，2008，23(z1).More than with different applications ofTaylors FormulaShuya Chai （Grade10,Class1,Major In mathematics and applied mathematics,Institute of mathematics and computer science，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi）”Tutor: JinlongLi Abstract: Well known in mathematical formula is the classical mathematical problems, their application is very extensive in math, chemical and physical. Taylor formula has an important position in modern mathematics. It has a big role in to calculate the limit, divergence sexual judgement, an inequation, median problem and approximation calculation. In this article, I will talk about several types of the formula and its further application.Key: words: Taylors Formula ;peano type ; lagrange type ;application1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究 3. MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究 4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制 5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究 6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究8. 基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现 9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统 10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究 12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发 13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制 14. 基于单片机的自动找平控制系统研究 15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发 16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发 17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现 18. 一种基于单片机的轴快流CO,2激光器的手持控制面板的研制 19. 基于双单片机冲床数控系统的研究 20. 基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制 21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制 22. 基于单片机的软起动器的研究和设计 23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究 24. 基于单片机的机电产品控制系统开发 25. 基于PIC单片机的智能手机充电器 26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究 27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究 28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制 29. 基于微型光谱仪的单片机系统 30. 单片机系统软件构件开发的技术研究 31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制 33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用 34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制 35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制 36. 基于单片机的数字磁通门传感器 37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究 38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究 39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制 40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪 41. 基于单片机的电机运动控制系统设计 42. 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