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因式分解专题讲解

【知识要点】
1. 提取公因式法
利用提取公因式法进行因式分解的一般步骤可概括为“一找、二提、三去除”。“一找”就是第一步要折过去找出多项式中各项的公因式；“二提”就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”就是第三步当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的一个因式。
例如分解因式：，当确定公因式为后，则
，所以有，
。
2. 公式法
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：
（1） 公式左边必须是一个二项式，且符号相反；
（2） 两项中的每一项必须是某个数或是自的平方形式；
（3） 右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；
（4） 公式中字母“”和“”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式。
3. 十字相乘法

反过来可得：
例如中常数项是，可以分解为，而且，恰好是一次项系数，所以。
在对多项式分解因式时，也可以借助于画十字交叉线来分解，分解为，常数项分解为，把它们用交叉线来表示：

按十字交叉相乘，它们积的和就是，所以

4. 分组分解法
分组分解方法比较灵活起关键在于分组要适当，它的分组原则是：
①分组后能直接提取公因式；
②分组后能直接运用公式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解方法。通过对多项式进行适当的分子，把多项式转化为可以应用的基本方法（即提取公因式法或公式法）分解的结构形式，使之具有公因式或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
常用的分组方法
方法一：分组后能提前公因式
（1） 按字母分组
例如：分解因式：可以按某一字母为准分组，若按含有字母的分为一组，含有字母的分为一组，即
，这就产生了公因式。
（2） 按系数分组
例如：分解因式：，我们观察到前面两项的系数比和后面两项的系数之比恰好相等，即，则
。
（3） 按次数分组
例如：分解因式：，此多项式有两个三次项，有连个二次项，有两个一次项，按次数分组为：。
方法二：分组后能运用公式
例如：分解因式：
可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为。而又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。
方法三：重新分组
例如：分解因式：，此多项式必须先去括号，进行重新分组，

1. 提取公因式法

【例1】 把下列各式分解因式：
（1） （2）

（3） （4）

【例2】 把下列各式分解因式：
（1） （2）

（3） （4）

【例3】 利用分解因式的方法简便计算：
（1） （2）

2. 公式法
【例1】 把下列各式分解因式：
（1） （2） （3）

3. 十字相乘法

【例1】 把下列各式分解因式：
（1） （2）

（3）

4. 分组分解法
【例1】 分解因式：（1） （2）

（3） （4）

【例2】 分解因式：
（1） （2）

（3） （4）