题组8随机变量与统计.docx

高考圈题（新课标I数学理）题组 随机变量与统计一、考法解法(一)命题特点分析1、考查简单随机抽样的基本方法与用样本估计总体的思想：抽样方法及抽样中的计算，以分层抽样为主；频率分布直方图的识读与计算；茎叶图的识读与计算；样本数字特征的计算.2、考查变量的相关性与统计案例：主要考查基础知识和简单应用.3、考查随机变量及其分布：离散型随机变量的分布列、期望与方差.几种常见的分布（超几何分布、二项分布、正态分布等）.这一部分是高考的重点必考内容，一般要命制一个大题.(二)解题方法荟萃1、统计知识的复习重点应放在理清基本概念、方法上，特别是分层抽样、频率分布直方图与样本的平均数、样本的方差等基础知识一定要熟练掌握.2、离散型随机变量及其分布列是高考必考内容，应将每一种概率分布和条件概率的特点弄清楚，能熟练地将实际问题转化为概率问题.二、真题剖析1、（2015新课标I卷理科）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A. 0.648 B. 0.432 C.0.36 D.0.312答案：A解析：点评：本题主要考查独立重复试验中概率的求法，属于常见题型，较简单.独立重复试验是在相同条件下各次之间相互独立地进行的一种试验；每次试验只有“成功”或“失败”两种可能结果；每次试验“成功”的概率都p，“失败”的概率为1-p.2、（2015新课标I卷理科）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值，46.65636.8289.81.61469108.8表中。（）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（）已知这种产品的年利润与的关系为，根据（）的结果回答下列问题；（i）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归直线的余率和减距的最小二乘估计分别为。解析：（）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.（）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于，所以关于的回归方程为，因此关于的回归方程为（）（i）由（）知，当x=49时，年销售量y的预报值，年利润z的预报值（ii）根据（）的结果知，年利润z的预报值所以当，即x=46.24时，取得最大值，故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.点评：本题综合考查函数的应用、散点图、回归方程以及根据回归方程进行预报等统计知识，符合概率与统计的基本思想：数据的收集与整理数据的分析与处理根据结论做出判断.题目有一定的难度，属中档题.3、（2013新课标I卷理科）为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A简单随机抽样 B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样答案：C解析：因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C. 点评：本题主要考查抽样方法的特点及适用情况，由于学生视力男女差异不大，但小初高学生视力差异较大，故应按学段进行分层抽样.题目比较简单，属容易题.4、（2014新课标I卷理科）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(I)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（II）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.(i)利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.附：12.2.若，则=0.6826，=0.9544.解析：(I) 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 （II）（）由(I)知，从而.（）由（）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知，所以.点评：本题信息量很大，包含抽样、频率分布直方图、样本均值与方差、正态分布、数学期望等，但只是考查的层次不是很深刻，只要掌握基本概念和公式即可轻松应对.5、（2012新课标I卷理科）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式. （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.解析:（1）当时，; 当时，. 得： （2）（i）可取，. 的分布列为 （ii）购进17枝时，当天的利润为因为，所以花店每天应购进17枝玫瑰花.点评：本题综合考查分段函数、随机变量的分布列、期望、方差等知识， 在此基础上进行实际的应用.符合概率与统计的基本思想：数据的收集与整理数据的分析与处理根据结论做出判断.题目有一定的难度，属中档题.三、高考圈题1、将参加夏令营的500名学生分别编号为001，002，500，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到350在第二营区，从351到500在第三营区若采用分层抽样的方法抽取一个容量50的样本，则三个营区被抽取的人数分别为( )A20，15，15 B20，16，14C12，14，16 D21，15，14圈题理由：高考对抽样方法的考查主要集中在分层抽样和系统抽样上.本题比较简单，属容易题.答案：A解析：根据分层抽样是按比例抽取的特点，可知三个营区分别应抽取的人数为20，15，15.2、为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3组的频率之比为1：2：3， 其中第2组的频数为12.（I）求该校报考飞行员的总人数；（II） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.圈题理由：本题把概率和统计的相关知识有机地结合起来，既有统计中的计算，又有分布列和数学期望的考查，符合高考考查的特点.解析:（I）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为，则由条件可得：解得，又因为故.(II)由（I）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为，随机变量X的分布列为：P则，或 3、如图所示是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )A85，84 B84，85 C86，84 D84，86圈题理由：茎叶图是数据统计中常用的一种统计图表，高考中对茎叶图的考查也比较频繁，属于高频考点.答案：A解析：由题意可知，所剩数据的平均数为85，众数为84.四、分层训练1、从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)由图中数据可知a_.若要从身高在120,130)，130,140)，140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140,150内的学生中选取的人数应为_答案：0.030 3解析：由所有小矩形面积为1不难得到a0.030，而三组身高区间的人数比为3：2：1，由分层抽样的原理不难得到140,150区间内的人数为3人2、如图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )A161 cm B162 cm C163 cm D164 cm答案：B解析：通过茎叶图可知这10位同学的身高是155 cm，155 cm，157 cm,158 cm,161 cm,163 cm,163 cm,165 cm,171 cm,172 cm.这10个数据的中位数是将这些数据从小到大(或从大到小)排列后中间两个数据的平均数，即为161 cm和163 cm这两个数据的平均数，所以应选B.3、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A200，20 B100，20 C200，10 D100，10答案：A解析：本题考查统计图表的实际应用根据图题中的图知该地区中小学生一共有10 000人，由于抽取2%的学生，所以样本容量是10 0002%200.由于高中生占了50%，所以高中生近视的人数为20002%50%20.4、由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则丢失的两个数据依次为_答案：2和5解析：由于0.200.100.x50.100.1y0.201，得0.x50.1y0.40，于是两个数据分别为2和5.5、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字09中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则一定有( )Aa1a2 Ba2a1 Ca1a2 Da1，a2的大小与m的值有关答案：B解析：去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a2a1.故选B.6、假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200h的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200h，试估计该产品是甲品牌的概率解析：(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200h的概率为.(2)根据抽样结果，寿命大于200h的产品有7570145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200h的产品是甲品牌的频率为，用频率估计概率，所以已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为.7、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分解析：(1)设分数在70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，有(0.0100.01520.0250.005)10x1，可得x0.3，所以频率分布直方图如图所示(2)平均分为：x450.1550.15650.15750.3850.25950.0571(分)8、甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80R150，B：150R250， C：R250甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表： 若甲、乙都选C类车型的概率为.（）求，的值；（）求甲、乙选择不同车型的概率；（）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：车型ABC补贴金额（万元/辆）3 4 5 记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列解析：（）因为,所以，（）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，则所以甲、乙选择不同车型的概率是（）X可能取值为7，8，9，10 ， ，； 所以X的分布列为： X78910P9、一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)解析：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216.X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.10、某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望解析：(1)P(“当天商店不进货”)P(“当天商品销售量为0件”)P(“当天商品销售量为1件”).(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X2)P(“当天商品销售量为1件”)；P(X3)P(“当天商品销售量为0件”)P(“当天商品的销售量为2件”)P(“当天商品销售量为3件”).故X的分布列为X23PX的数学期望为EX23.