工学200708概率论与数理统计试卷A.doc

浙江科技学院
2007-2008学年第I学期考试试卷A卷
1.若事件A和B有,,则 下述结论正确的是 （ ）.
(A) A与B 同时发生； (B) A发生，B 必发生；
(C) A不发生，B 必不发生； (D) B不发生，A 必不发生；
2. 设事件A与B满足P(A)＞0，P(B)＞0，下面条件（ ）成立时，事件A与B 一定独立
（A）； （B）；
（C）； （D）。
3.当常数b=（ ）时，为某一离散型随机变量的概率分布
（A） 2； （B） 1； （C） 1/2； （D） 3.

4. 设随机变量，且，则应取（ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）
5. 设 X ~ B(n, p)， 且 E( X ) = 2.4, D( X ) = 1.44, 则 （ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）。
6. 设是取自总体的样本，则可作为无偏估计量的是
（A）； （B）； （C）； （D）.
二、填空题
1. 若，，P(A)=0.9，，则=_______.。
2. 一批产品，其中10件正品，2件次品，任意抽取3次，每次抽1件，抽出后不再放回，则第3次抽出的是次品的概率为_____________.
3. 设在4次独立的试验中，事件A每次出现的概率相等，若已知事件A至少出现1次的概率是，则A在1次试验中出现的概率为_____ .
3. 设随机变量X的分布函数 ，则_1_， 1_， 0.75_ ，X 的概率密度 f (x) =_.
3. (X, Y) 的分布律为
Y X
1
2
3
1
1/6
1/9
1/18
2
1/3
a
b
； a =_____ , b =_____ 时， X 与 Y 相互独立。
4. 设 D 由 y = 1/x , y = 0, x = 1, x = e 2 围成， (X, Y) 在 D上服从均匀分布，则 (X, Y) 的概率密度为_______________
5. 设 (X1 , X2) 为 X 的一样本，则，都是E(X) 的_ 估计， __ 更有效
6.已知一批零件的长度（单位：cm）服从正态分布，从中抽取16个零件，测量得到其平均长度40（cm），则的置信度为0.95的置信区间为 .
6. 在检验假设的过程中，若检验结果是接受，则可能犯第 类错误；若检验结果是否定，则可能犯第 类错误。
三、计算及应用题
1. 已知，P(AB)=0，，求A，B，C恰好发生一个的概率。
解：{A，B，C恰好发生一个}=，而
，
同理得，
，故

，
因为故，由及，得
，从而.

2.某厂有三条生产线生产同一种产品，三条生产线的产量之比为3:2:4，而三条生产线的次品率分别为0.02, 0.03, 0.04，生产的产品混合在一起，现在总产品中任取一件，求：
(1) 所取的产品为次品的概率；
(2) 若取到的是次品, 问该次品来自第二条生产线的概率有多大?
解： 设B={所取的产品为次品}，A i ={所取的产品为第i条生产线生产}，i=1,2,3，则A1 , A2 , A3两两互斥且，故
（1）
；
（2）
3.
4. 设二维随机变量，求：(1)关于X及Y的边缘密度函数，X与Y是否独立.
； (2)； （3）.
解：(1)

在的非零区域内，所以X与Y不独立；
(2) ；
（3），
，
，
。
4. 设 X 的概率密度为
且 E(X)=2, P{1< X < 3}= 3/4, 求（1） a、b、c （2）。
解：（1）由归一性得 ；
而；
；
解得
（2）。
5. 在次品率为0.3的一大批产品中，任取400件，试利用中心极限定理计算取得的
400件产品中次品数在110与125之间的概率。
解：设400件产品中的次品数为X，则， 由中心极限定理得近似服从
，故所求概率为

。
6. 设总体 X 的概率密度为一样本，试求的矩估计及最大似然估计。
解：矩估计：，
解得，从而得的矩估计；
最大似然估计：似然函数

当时， ，取对数得
从而令，得的最大似然估计为
7. 一批电子元件寿命X服从正态分布，原先均值，现进行了技术改造后，从新产品中随机抽取25个产品，测得寿命的样本均值为，样本标准差，以的显著性水平检验整批元件平均寿命是否有显著提高。
(即检验, )
解：未知，检验, ，
取统计量，，
在显著水平a=0.01下H0 的拒绝域为；
而t的取值为，落在接受域中，所以在a=0.01下接受H0，
即认为整批元件的平均寿命没有显著提高。
四、证明题（两题中任选一题）
1.已知且与相互独立，证明
2. 已知且与相互独立，证明