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车辆离合器膜片弹簧的设计与优化
摘要: 膜片弹簧是汽车离合器的重要部件，是由弹簧钢板冲压而成，形状呈碟形。膜片弹簧结构紧凑且具有非线性特性，高速性能好，工作稳定，踏板操作轻便，因此得到广泛使用。本文通过对膜片弹簧建立数学模型，特别通过引入加权系数同时对两个目标函数进行比例调节，并用MATLAB编程来优化设计参数。通过举例，结果证明在压紧力稳定性，分离力及结构尺寸上优化结果较为理想。
关键词: 膜片弹簧；优化设计；MATLAB
1.引言
1.1离合器膜片弹簧弹性特性的数学表达式
膜片弹簧是汽车离合器中重要的压紧组件，结构比较复杂，内孔圆周表面上有均布的长径向槽，槽根为较大的长圆形或矩形窗孔，这部分称为分离指；从窗孔底部至弹簧外圆周的部分像一个无底宽边碟子，其截面为呈锥形，称之为碟簧。膜片弹簧的结构如图1-1所示。

图1-1 膜片弹簧结构示意图 图1-2 膜片弹簧结构主要参数
膜片弹簧主要结构参数如图2所示。R是自由状态下碟簧部分大端半径。 R1、 r1分别是压盘加载点和支承环加载点半径，H是自由状态下碟簧部分的内截锥高度。
膜片弹簧在自由、压紧和分离状态下的变形如图1-3所示。

图1-3 膜片弹簧在不同工作状态下的变形
膜片弹簧大端的压紧力F1与大端变形量之间的关系为：
（1）
式中，r为自由状态碟簧部分小端半径(mm)；h为膜片弹簧钢板厚度(mm)。
显然，膜片弹簧大端的压紧力F1与大端变形量的函数关系为非线性关系。由式（1）可以看出膜片弹簧大端的压紧力F1分别为R、r、H、h、R1、r1等参数有关，故膜片弹簧弹性特性较一般螺旋弹簧要复杂得多。
以某国产小轿车离合器为例，离合器主要性能结构参数为：最大摩擦力矩为700N·m。从动盘为双片干式，摩擦片外径D=300mm，内径d=175mm，摩擦因数取0.3，膜片弹簧材料为60Si2MnA，材料弹性模量E=21000MPa，泊松比µ=0.3。膜片弹簧主要结构参数尺寸如下表1-1所示。
表1-1 膜片弹簧主要结构参数尺寸

将以上数据带入式（1），编制仿真程序便可以很容易地绘制膜片弹簧弾性特性曲线，如图1-3所示。

图1-3 膜片弹簧弾性特性曲线
从图1-3中可以看出，新摩擦片的工作点为a，工作压紧力为。当摩擦片磨损量达到容许的极限值，即膜片弹簧工作点由点a移动到点b时，其工作压紧力为。从图1-3还可以看出，与相差无几，即压紧力改变不大。这表示当摩擦片磨损时离合器仍可继续稳定可靠地工作。当离合器彻底分离时，工作点移动到点c。随着变形量的增加，膜片弹簧压紧力反而逐渐减小至，使得分离离合器比较轻便。弹簧特性曲线总体形态属于正常。
同时注意到，原膜片弹簧弹性特性曲线在a、b至今幅度变化过大，这样将导致在摩擦片磨损极限内，膜片弹簧压紧力会产生较大的波动。所以，应当对该膜片弹簧弹性特性进行适当的优化设计。
在进行优化设计前，首先应分析R、r、H、h、R1、r1等膜片弹簧结构参数对膜片弹簧弹性特性的影响。现仅以分析压盘加载点半径R1对弹性特性的影响为例。编制仿真程序很容易得到不同加载点半径R1对应的多条弹性特性曲线，如图1-4所示。

图1-4 不同加载点半径对弾性特性曲线的影响
同理，根据完全一样的方法可以得到膜片弹簧高度H和膜片弹簧厚度h对弹性曲线的影响，如图1-5与图1-6所示。对上述程序稍作改动即可。

图1-5 膜片弹簧高度H对弾性特性曲线的影响

图1-6 膜片弹簧高度h对弾性特性曲线的影响

2.离合器膜片弹簧的优化设计
2.1目标函数的确定
在以往有关于膜片弹簧优化设计的参考文献中，选用的优化设计目标函数一般有以下几种：
（1）弹簧工作时的最大应力为最小。
（2）从动盘摩擦片磨损前后弹簧压紧力差值的绝对值最小，即min|-|。
（3）在分离行程中，驾驶人作用在分离轴承装置上的分离操纵力的平均值（或操纵功）为最小。
根据以往的工程设计经验，为了保证弹簧在工作中可靠地传递转矩，希望摩擦片在磨损过程中弹簧的压紧力不降低，并且变化尽可能小，因此取摩擦片新旧状态时压紧力差|-|尽可能小作为目标函数；但同时也考虑到驾驶人作用在分离轴承装置上的分离操纵力应较小，这样优化所得到的膜片弹簧特性曲线才会比较符合理想特性曲线。
综上所述，本文选择双目标函数，两个目标函数之间可以设置加权因子 、来调和两个目标函数之间的比例关系，即:

由式（1）可以得到：
(3)
(4)
将式（3）和式（4）综合起来可以得到：

而当离合器分离时，膜片弹簧加载点改变，在膜片弹簧小端的分离指处作用有分离轴承的推力以及该点的变形量，它们与新摩擦片安装位置的弹力和变形量的关系为:
(5)
(6)
将式（6）代入式（3）可以得到分离轴承推力与膜片弹簧末端变形量的关系式为:
(7)
式（7）即是当离合器分离时，膜片弹簧所产生的操纵力，即得到第二个目标函数的表达式为：
(8)
在保证目标函数时，目标函数也应该尽可能小，这样操纵起来就轻便许多。
2.2优化设计变量
由上述可知，膜片弹簧主要结构尺寸参数有H，h，R，r，Rl，rl共6个。另外从膜片弹簧弾性曲线图可以看出，新离合器膜片弹簧工作时，工作点a弹簧变形量的大小对于整个弹性曲线的横向位置影响也较大，所以也应该作为设计变量。综合考虑后，确定膜片弹簧优化设计变量有：

2.3约束条件
（1） 膜片弹簧的高厚比H/h对膜片弹簧特性曲线影响非常大。不同的H/h值，将使特性曲线发生很大的变化，只有当它被控制在一定范围之内，特性曲线才具有副刚度（即当变形增加时，膜片弹簧力反而下降）。根据工作经验可选取：
1.7≤H/h≤2.2
（2）膜片弹簧内、外半径比R/r对特性曲线影响较大，必须控制在一定范围之内。保证弹簧材料利用率。按工程经验，部分尺寸应符合一定的要求：
1.2≤R/r≤1.35；
（3）为了使摩擦片上压紧力分布均匀，加载点半径应位于摩擦片的平均半径与外半径之间即：
(D+d)/4≤R1≤D/2；
（4） 同时，R/h结构也有一定要求，根据工程经验可选取:
35≤R/h≤50
（5） 根据膜片弹簧结构布置要求，其大端半径R与支撑环半径R1之差及离合器结合时的加载半径r1与内径r之差应在一定范围之内，可取：
1≤R－R1≤7
0≤r1－r≤6
另外，为了满足离合器使用性能的要求，膜片弹簧的初始锥底角 应在一定范围内，应取：

（6） 以上约束条件(1)~(5)主要针对的是离合器膜片弹簧结构参数的约束；而对于离合器来说，更为重要的是离合器本身传递动力的性能。为了保证所设计的膜片弹簧工作压紧力不小于发动机最大转矩所要求的压紧力，即：

式中，是离合器能传动发动机发出的最大转矩所要求的弹簧压紧力。可由下式进行计算：
（9）
式中，为摩擦面数；为摩擦因数；为摩擦片的平均摩擦半径。的计算公式可以用以下的方法进行推导。
设是整个离合器摩擦盘压紧力在摩擦盘单位面积上的单位压力，可以表示为:
(10)
则微元压力在微元面积ds上所产生的微元摩擦力为：

则该微元摩擦力对摩擦盘中心的微元摩擦力矩为：

所有微元摩擦力矩在内外半径分别为a、b时，整个摩擦盘上所产生的合力矩为
（11）
将式（10）代入（11）可以得到z个摩擦面所产生的合力矩最终表达式为：
（12）
将式（9）与式（12）进行对照，可以得到摩擦盘平均摩擦半径的表达式为：

（7） 膜片弹簧的强度约束。疲劳破坏是膜片弹簧失效的主要原因。根据以往的试验研究，发现分离指窗孔底部、近似中间部分的下表面角点处是产生疲劳破坏的危险部位，应该对该处的应力进行校核约束，即：

下面进行膜片弹簧危险部位的应力计算，设膜片中性点半径为e，则有：

膜片弹簧危险部位的切向压应力为：

式中，为膜片弹簧自由状态的圆锥底角，由膜片弹簧断面图1-2可以容易得到；为膜片弹簧部分子午断面的转角，当达到最大值时的子午断面的转角(角度小，该比值可近似为该角即)，它表示发生在将膜片弹簧压平（转过角度）之后再转过角度。
同时，膜片弹簧危险部位承受的弯曲正应力为：

式中，n为膜片弹簧分离指数目，一般可以取作18；b为膜片弹簧分离指根部宽度，对于轿车一般取9～12mm。
由于径向拉伸应力与切向压应力相互垂直，根据强度理论，当量应力为：

查材料手册，60Si2MnA材料制造的膜片弹簧的许用应力[]=1400～1600MPa。
由以上要求的约束条件就可以建立下述优化约束方程组：
≤2.2
≥1.7
≤
≥
≤1.35
≥1.2
≤
≥
≤0
≤0
＞30
＜50
这样就建立了膜片弹簧优化设计的全部约束条件，其中包括8个线性不等式约束和两个非线性不等式约束。下面就可以直接在MATLAB中进行程序的编写。
运行主程序可以得到图2-1结果：

图2-1 优化前后膜片弹簧弹性特性曲线
结构参数优化结果比较如下表2-1所示，性能参数优化结果比较如下表2-2所示。
表2-1 结构参数优化结果比较
结构参数
H
h
R
r
R1
r1
λa
优化前
5.8
2.93
145.7
116.8
143.66
116.1
4.8
优化后
5.3606
2.8119
140.5951
115.000
139.5951
115.000
4.2422
表2-2 性能参数优化结果比较
性能参数
FA
FB
FC

优化前数据
5491.4688
6056.7304
1319.6476
565.2615
优化后数据
5214.0456
5214.0455
1195.4724
8.1134e-05
3.优化结果分析
由表2-2可知，优化后的工作点FB值等于所要求的FY,摩擦片在磨损范围内的变化 =8.1134e-05N，相对优化前显著减小，相对变化 /FB几乎为0，远小于10%，提高了压紧力的稳定性，保证了摩擦片在磨损极限范围内仍能可靠地传递转矩。优化后的操纵力也相应减小，极大地提高了操纵轻便性。
如图2-1所示，膜片弹簧优化前后的弹性特性曲线都具有负刚度特性，但优化后的弹性特性曲线更有利于布置各工作点，同时在细节上，优化后弹性特性曲线虽然在磨损极限内压紧力有小幅度的减小，但压紧力在磨损极限内却较优化前增加了平坦的趋势，一定程度上提高了压紧力的稳定性；其次，分离行程也有一定程度的减小，但最终的分离力没有太大变化。因此，更适合汽车离合器工作特点，优化结果比较理想。
4.结语
结构优化不仅可以得到满足约束条件下的最优解，同时能够根据离合器使用特点设置目标函数，使结构设计具有针对性，更加合理。针对矿用自卸车离合器使用故障特点，建立了膜片弹簧的结构优化数学模型，使其弹性特性满足离合器的使用性能要求应用MATLAB对膜片弹簧结构参数优化设计，提高了设计效率和精度，简单易行。

具体程序如下：
绘制膜片弹簧弾性特性曲线1-3程序：
clc
clear all
E1=210000;%弹性模量
miu=0.3;%泊松比
x0=[5.8 2.93 145.7 116.8 143.66 116.1];%分别为H h R r R1 r1 的原初始值
x7=0:0.1:9;%以膜片弹簧变形量为自变量
aa=pi*E1*x0(2).*x7/(6*(1-miu^2));
bb=log(x0(3)./x0(4))./(x0(5)-x0(6)).^2;
cc=x0(1)-x7.*(x0(3)-x0(4))./(x0(5)-x0(6));
dd=x0(1)-0.5*x7*(x0(3)-x0(4))./(x0(5)-x0(6));
ee=x0(2).^2;
F=aa.*bb.*(cc.*dd+ee);%压紧力函数
plot(x7,F)
hold on
grid on
xlabel('膜片弹簧变形量/mm')
ylabel('膜片弹簧压紧力/N')

绘制图1-4程序：
clc
clear all
E1=210000;%弹性模量
miu=0.3;%泊松比
for i=1:4
R1=141.66+i;%以R1为设计变量，其他变量同理
x0=[5.8 2.93 145.7 116.8 R1 116.1];%分别为H h R r R1 r1 的原初始值
fcol=['m','b','k','r'];
x7=0:0.1:9;%以膜片弹簧变形量为自变量
aa=pi*E1*x0(2).*x7/(6*(1-miu^2));
bb=log(x0(3)./x0(4))./(x0(5)-x0(6)).^2;
cc=x0(1)-x7.*(x0(3)-x0(4))./(x0(5)-x0(6));
dd=x0(1)-0.5*x7*(x0(3)-x0(4))./(x0(5)-x0(6));
ee=x0(2).^2;
F=aa.*bb.*(cc.*dd+ee);%压紧力函数
plot(x7,F,'Color',fcol(i))
str{i}=strcat('R1=',num2str(R1))
hold on
end
legend(str)
grid on
xlabel('膜片弹簧变形量/mm')
ylabel('膜片弹簧压紧力/N')
优化程序如下：
首先优化目标函数：
function f=objfun(x)
E1=210000;%弹性模量
miu=0.3;%泊松比
rf=40.3;%分离轴承推力作用半径
%将弾性特性公式分成aa、bb、cc、dd、ee五部分表示
aa=pi*E1.*x(2).*x(7)/(6*(1-miu^2));
bb=log(x(3)./x(4))./(x(5)-x(6)).^2;
cc=x(1)-x(7).*(x(3)-x(4))./(x(5)-x(6));
dd=x(1)-0.5*x(7).*(x(3)-x(4))./(x(5)-x(6));
ee=x(2).^2;
%磨损后的公式参数变化
ds=2;%磨损极限在1.6-2.2之间，取2mm
aa1=pi*E1.*x(2).*(x(7)-ds)/(6*(1-miu^2));
bb1=log(x(3)./x(4))./((x(5)-x(6)).^2);
cc1=x(1)-(x(7)-ds).*(x(3)-x(4))./(x(5)-x(6));
dd1=x(1)-0.5*(x(7)-ds).*(x(3)-x(4))./(x(5)-x(6));
%分离过程公式参数变化
dt=3;%分离行程取值为2mm
aa2=pi*E1.*x(2).*(x(7)+dt)/(6*(1-miu^2));
bb2=log(x(3)./x(4))./(x(5)-x(6))./(x(6)-rf);
cc2=x(1)-(x(7)+dt).*(x(3)-x(4))./(x(5)-x(6));
dd2=x(1)-0.5*(x(7)+dt).*(x(3)-x(4))./(x(5)-x(6));
%双目标函数表达式
f1=abs(aa.*bb.*(cc.*dd+ee)-aa1.*bb1.*(cc1.*dd1+ee));%第一个目标函数，磨损极限内正压力的变化值
f2=aa2.*bb2.*(cc2.*dd2+ee);%第二个目标函数，膜片弹簧在分离位置时的弹力
fac=0.6;%加权系数
f=fac.*f1+(1-fac)*f2;%总体目标函数
接下来编写非线性约束函数：
%建立非线性约束条件
function [c,ceq]=confun(x)
E1=210000;%弹性模量
miu=0.3;%泊松比
aa=pi*E1*x(2).*x(7)/(6*(1-miu^2));
bb=(log(x(3)./x(4)))./((x(5)-x(6)).^2);
cc=x(1)-x(7).*(x(3)-x(4))./(x(5)-x(6));
dd=x(1)-0.5*x(7).*(x(3)-x(4))./(x(5)-x(6));
ee=x(2).^2;
kk=E1/((1-miu^2).*x(4));
e=(x(3)-x(4))./(log(x(3)./x(4)));%中性点半径
tt=0.5*(e-x(4));
alfa=atan(x(1)./(x(3)-x(4)));%膜片弹簧锥形底角的计算
fa=alfa+0.5*x(2)./(e-x(4));%切向压应力达到最大值时的膜片转角
thegatb=abs(kk.*(tt.*fa.^2-(2*tt.*alfa+x(2)./2).*fa));%膜片弹簧危险部位切向压应力计算
rf=40.3;
ff=(x(5)-x(6))./(x(6)-rf);%F2/F1的比值
fff=aa.*bb.*(cc.*dd+ee)*ff;%F2
n=18;%分离指的书目
b=10;%分离指部的宽度
thegarb=abs(6*(x(4)-rf)*fff./(x(2).^2*n.*b));%膜片弹簧危险部位弯曲应力计算
T=700*1000;%离合器所要求传递最大转矩，单位转化为N·mm
a=300/2;b=175/2;z=4;fz=0.3;
c(1)=sqrt(thegarb.^2+thegatb.^2)-1500;%膜片弹簧危险点最大当量应力约束，非线性不等式1
c(2)=T/(z.*pi*fz.*(2/3)*(a^3-b^3)/(a^2-b^2))-(aa.*bb.*(cc.*dd+ee));%膜片弹簧产生压紧力的约束，非线性不等式2
ceq=[];
最后进行膜片弹簧优化主程序的编写：

clc
clear all
E1=210000;%弹性模量
miu=0.3;%泊松比
ds=2;%磨损极限
dt=3;%推力行程
D=300;
d=175;
r0=39;rf=40.3;%结构参数膜片弹簧小端内半径和分离作用半径
x0=[5.8 2.93 145.7 116.8 143.66 116.1 4.8];%分别为H h R r R1 r1 lamda的原初始值
x7=0:0.1:9;%以膜片弹簧变形量为自变量
aa=pi*E1.*x0(2).*x7/(6*(1-miu^2));
bb=log(x0(3)./x0(4))./(x0(5)-x0(6)).^2;
cc=x0(1)-x7.*(x0(3)-x0(4))./(x0(5)-x0(6));
dd=x0(1)-0.5*x7.*(x0(3)-x0(4))./(x0(5)-x0(6));
ee=x0(2).^2;
F=aa.*bb.*(cc.*dd+ee);%压紧力函数
plot(x7,F,'b')
hold on
grid on
xlabel('膜片弹簧变形量/mm')
ylabel('膜片弹簧压紧力/N')
%设计变量的上下界
Lb=[4 2 140 115 135 115 4];%设计变量下限
Ub=[7 4 150 125 145 125 6];%设计变量上限
%线性不等式约束系数矩阵和常数
%H h R r R1 r1 lamda
A=[1 -2.2 0 0 0 0 0;
-1 1.7 0 0 0 0 0;
1 0 -pi/15 pi/15 0 0 0;
-1 0 pi/20 -pi/20 0 0 0;
0 0 1 -1.35 0 0 0;
0 0 -1 1.2 0 0 0;
0 -50 1 0 0 0 0;
0 35 -1 0 0 0 0;
0 0 0 0 1 0 0;
0 0 0 0 -1 0 0;
0 0 1 0 -1 0 0;
0 0 -1 0 1 0 0;
0 0 0 1 0 -1 0;
0 0 0 -1 0 1 0];
b=[0 0 0 0 0 0 0 0 D./2 -(D+d)./4 7 -1 6 0];
%线性等式约束
Aeq=[];
beq=[];
options=optimset('largescale','off','display','iter');
[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@objfun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,@confun,options);
[c]=confun(x);
x7=0:0.1:9;
aa=pi*E1.*x(2).*x7./(6*(1-miu^2));
bb=log(x(3)./x(4))./((x(5)-x(6)).^2);
cc=x(1)-x7.*(x(3)-x(4))./(x(5)-x(6));
dd=x(1)-0.5*x7.*(x(3)-x(4))./(x(5)-x(6));
ee=x(2).^2;
F=aa.*bb.*(cc.*dd+ee);
plot(x7,F,'r--')
legend('优化前','优化后')
x

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