曲线积分习题解答.doc

第十章 曲线积分与曲面积分
（第三部分）曲线积分习题解答
一、对弧长的曲线积分
1．计算，其中为摆线的一拱．
解 由于, ；而
，
故

.
2．计算曲线积分，其中为圆周．
解 圆周在极坐标下的方程为，则
. 故
.
3． 计算，其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．
解 积分曲线为闭曲线（如右图），可分解为，其中
；
；
.
故

.
4. 设螺旋线弹簧一圈的方程为，，，其中，它的线密度. 求此线关于轴的转动惯量.
分析 本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应首先将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分表示，然后计算积分即可。
解 所求的转动惯量为，而
，
故
.
二、对坐标的曲面积分
1. 计算曲线积分，其中为区域的边界，取逆时针方向。
解 令，．则
，．
即. 由于．
故利用格林公式，得

.
2. 计算曲线积分．其中为曲线上从点到点的一段弧。
解 补直线段：，从变到；并设闭曲线所围区域为（如图所示），则由Green公式，得：

.
又 （：，从变到），
故
.
3. 设是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算曲线积分.
分析 因，，则
，.
故. 由于与在原点处不连续，因此可知：（1）若给定的曲线所围成的闭区域不包括原点，则在此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线所围成的闭区域包括原点，那么、在所围成的闭区域上不满足格林公式（积分与路径无关的条件）。此时，我们可取一条特殊的封闭光滑曲线，在上应用Green 公式，由此将上的曲线积分转化为上的曲线积分。
解 因，，则
，.
故.
（1）若给定的曲线围成的闭区域不包括原点. 由知曲线积分与路径无关，故.
（2）若给定的曲线所围成的闭区域包括原点，则取一条特殊的有向曲线（充分小），规定的方向为逆时针（如右图所示）。设所围城的区域为，则在上应用Green 公式，得
,
所以 . 而
.
故.
或利用参数方程计算：令：，，从到. 所以
.
4. 设在半平面内有力构成力场，其中为常数，，证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。
分析 由于场力沿路径所作的功为,所以证明场力所作的功与所取的路径无关的问题，实质上就是证明上述曲线积分与路径无关的问题。
证明 场力沿路径所作的功为.
令，；则
.
由于右半平面为单连通区域，且，所以场力所作的功与所取的路径无关。
5．设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。
(1) 设为正向闭曲线，证明： ；
(2) 求函数；
(3) 设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求．
(1) 证 设，闭曲线由组成。设为不经过原点的光滑曲线，使得和分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线，由曲线积分的性质和题设条件知

．
所以，，即．
(2) 解 令．从而有
，
解得，.
(3) 解 设为正向闭曲线所围区域，由(1) ，利用Green公式和对称性，.