无套利定价法.doc

第一章 无套利定价法的思想
§1.1 无套利思想的产生及发展
在高鸿业《宏观经济学》（第五版）中，我们知道了市场中一般商品通常是通过均衡价格理论，即假定消费者追求最大消费效用、生产者追求最大生产利润、然后在一定条件下，存在一个一般经济均衡的价格体系，使得商品的供需达到平衡。作为特殊商品的金融资产的定价似乎也应遵循这一原则，但由于金融市场的最主要的特征在于未来的不确定性，沿“均衡定价论”的道路前进步履十分艰难。所以得出一个精确的金融资产定价理论变得迫在眉睫，这时无套利思想应运而生。
早在20 世纪20 年代,凯恩斯(1923) 在其利率平价理论中,首次将无套利原则引入金融变量的分析中。其后,米勒和莫迪格利亚(1958) 创造性地使用无套利分析方法来证明其公司价值与资本结构无关定理,即著名的MM 定理。罗斯的套利定价(APT) 理论的产生使人们进一步认识到无套利思想的重要性。经济学家们甚至将无套利思想看做是金融经济学区别于经济学的重要特征。罗斯曾指出:“大多数现代金融不是基于无套利直觉理论,就是基于无套利的实际理论。事实上,可以把无套利看做是统一所有金融的一个概念。”因此,无套利定价思想构成了金融经济学基本定理(也称资产定价的基本定理)。
第二章 无套利定价法的原理
§2.1 什么是套利
套利（Arbitrage） 是指在某项资产的交易过程中,交易者可在不需要期初投资支出的条件下便可获得无风险报酬，但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生无风险盈利的策略，可能会承担一定的低风险。
套利有五种基本形式：空间套利、时间套利、工具套利、风险套利和税收套利。由于金融产品通常是无形的，所以不需要占据空间，所以没有空间成本，而且金融市场上存在的卖空机制（即投资者可以在不拥有某种产品的前提下便拥有以高价卖光该种产品的权利，然后低价买回该种产品，通过价格差获得利润）大大增加了套利机会，并且金融产品在时间和空间上的多样性（如远期合约，期权合约）也使得套利更加便利。
套利存在的条件：
1、存在两个不同的资产组合，它们的未来损益相同，但它们的成本却不同；
2、存在两个成本相同的资产组合，它们的未来损益却不同；
3、一个组合其购建成本为零，但损益大于等于零，且至少在某一状态下大于零。
§2.2 什么是无套利定价
“无套利定价”原理是指金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在套利机会，即在该种价格下金融产品的组合不会使投资者获得无风险利润。
无套利定价的基本方法：将金融资产的“头寸”与市场中其他金融资产的头寸组合起来，构筑起一个在市场均衡时不能产生不承受风险的超额利润的组合头寸，由此测算出该项头寸在市场均衡时的价值即均衡价格。该种价格会使得套利者处于这样一种境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。
无套利定价的关键技术是“复制”技术，所谓复制是指即用一组证券来复制另外一组证券，其要点是使复制组合的现金流特征与被组合的现金流特征完全一致,复制组合的多头(空头)与被复制组合的空头 (多头)互相之间完全实现头寸对冲.
§2.3 无套利的基本理论
（1）同损益同价格
如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。
（2）静态组合复制定价：
如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的“复制组合”。
（3）动态组合复制定价：
如果一个自融资交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为动态套期保值策略。

第三章 无套利定价法的应用
§3.1 在确定状态下资产的定价
例1：假设2个零息票债券A和B，两者都是1年后的同一天到期，面值都是100元，如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况，
1.债券B的当前价格应为多少？
2.如果PB＝97.5元，当前是否存在套利？如何套利？
解：（1）由同损益同价格定价理论可知，因为两种零息债券同一天到期，且面值相同，即未来损益相同，所以要想不存在套利机会，两者的价格应该相同，所以债券B的当前价格也应该为98元。
（2）如果PB=97.5元，此种情况下B债券被低估，当然存在套利机会。具体操作为，投资者应该买低卖高，即他应该花97.5元买进债券B,同时以98元卖出债券A，则期初净获得0.5元的利润，一年之后因为两种债券的面值相同，但所持的头寸相反，所以刚好可以抵消。
例2 静态组合复制定价
假设3种零息票债券A、B和C，面值都是100元，它们的当前市场价格分别为
（1）1年后到期的零息票债券A的当前市场价格为98元，
（2）2年后到期的零息票债券B的当前市场价格为96元，
（3）3年后到期的零息票债券C的当前市场价格为93元，
并假设不考虑交易成本和违约情况,如果一个附息债券D的息票率为10％，一年支付一次利息，期限为3年
问：1.债券D的当前价格应为多少？
2.如果PD＝120元，当前是否存在套利？如何套利？
解：（1）由无套利定价的基本理论第二条知，如果一个资产组合的损益与一个证券的损益相同，那么该资产组合的价格与该证券的价格相同。先看一个息票率为10%，一年支付一次利息的三年后到期的债券的损益情况。面值为100元，息票率为10%，所以第一年末、第二年末利息分别为10元，第三年末本息和110元，由复制技术可知，要找一个资产组合，并且该组合未来时间的损益应该和该证券相同，所以（1）要购买0.1份债券A，1年后损益为10元：（2）购买0.1份债券B，两年后损益为10元：（3）购买1.1份债券C，一年后损益为110元.
所以债券D的价格应该等于该资产组合的价格，即P=0.1*98+0.1*96+1.1*93=121.7元。
（2）当该种债券价格为120元时，低于无套利时的定价121.7元，所以该种债券被低估，当然存在套利机会。并且由买低卖高原则可知投资者以120元应该买入一份债券D，并且卖出0.1份债券A，0.1份债券B，1.1份债券C，则此时投资者的利润为1.7元，1年后用债券A的损益去支付第一年的债券D的利息，第二年用债券B的损益去支付第一年的债券D的利息，第二年用债券C的损益去支付第债券D的本息。
例3 动态组合复制定价
假设面值都为100元的零息票债券，从现在开始,1年后到期的零息票债券A的当前市场价格为98元；从1年后开始，在2年后到期的零息票债券B的市场价格恰好也为98元。
问：1.从现在开始， 2年后到期的零息票债券债券C 的当前价格应为多少？
2.如果PG＝97元，当前是否存在套利？如何套利？
解：（1）由无套利定价的基本理论（3）知，如果一个自融资交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。
由题意知面值为100元，2年后到期的债券C的损益为第一年末 0元，第二年末为100元，所以应构造相同损益的自融资组合。该组合为（1）购买0.98份一年后到期的面值为100元的债券A，一年后债券A的损益为100*0.98=98元：（2）一年后用从债券A中所获得的98元再去购买一年后开始，2年到期的面值为100元的债券B，2年后，债券B的损益为100元。
该种融资组合的损益与债券C的损益完全相同，所以债券C的价格应该等于自融资交易策略的成本，即等于0.98*98=96.04元。
（2）当该种债券价格为97元时，高于于无套利时的定价96.04元，所以该种债券被高估，当然存在套利机会。并且由买低卖高原则可知投资者以97元应该卖空一份债券C，并且以96.04元买入0.98份债券A，则期初投资者净挣0.96元：一年后用债券A所获得的98元去购买一份债券B，两年后用债券B的损益去弥补债券C的损益。这样投资者净获利0.96元。
§3.2在不确定状态下资产的定价
金融经济社会中常见的不确定状态有以下几种
– 资产的未来损益不确定
– 假设市场在未来某一时刻存在有限种状态
– 在每一种状态下资产的未来损益已知
– 但未来时刻到底发生哪一种状态不知道
例4 假设有一个无红利支付的风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的市场有两种状态，在状态1时证券A的价格上升至105元，在状态2时证券A的价格下降为95元；
同样也有一个证券B,它在1年后的损益为：在状态1时价格上升至105元，在状态2时价格下跌为95元；假设不考虑交易成本和信用风险，
问：1.证券B的当前价格应为多少？
2.如果证券B的当前价格PB＝99元，当前是否存在套利？如何套利？
3.如果证券B的当前价格PB＝110元，当前是否存在套利？如何套利？
解：（1）由同损益同价格理论知，B的合理价格也为100元；
（2）如果B为99元，价值被低估，则买进B，卖空A；
（3）如果B为110元，价值被高估，则买进A，卖空B。
现在考虑如何利用证券A和无风险债券来构建一个与证券B损益相同的组合。
例5 （资金借贷无成本）假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的市场出现两种可能的状态：状态1和状态2。状态1时，A的未来损益为105元，状态2时，95元。有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1时120元，状态2时110元。另外，假设不考虑交易成本，资金借贷也不需要成本。
（1） 求证券B的价格？
（2） 如果证券B的当前价格PB＝110元，当前是否存在套利？如何套利？
解：（1）用图表示证券A，证券B和无风险债券一年后的损益状况如下

现在构建一个组合，使证券A和无风险债券一年后的损益等于证券B的损益状况。假设X份证券A和Y份无风险债券（Y大于0为借出钱，小于0为借入钱），要使得组合的损益与证券B的损益相同，则应满足如下式子：

解该方程组得X=1，Y=15，即买入1份证券A，借出15元，则证券B的价格等于1*100+15=115元。应该保证等号两边现金流价值相同，方向相反，符号相反。
（2）证券B的价格为110元时，小套利定价时的115元，说明证券B被高估，所以存在套利机会，应该买低卖高，即买入证券B，卖空A，借入资金15元。
例6：（资金借贷有成本）假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的市场出现三种可能的状态：状态1、2和3。状态1、2和3时，A的未来损益分别为110.25，99.75，90.25元。有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1、2和3时，分别为125，112.5和109元。另外，假设不考虑交易成本，资金借贷的年利率为5.06％。
（1）B的合理价格为多少呢？
（2）如果B的价格为110元，如何套利？
解：（1）用图表示证券A，证券B和无风险债券一年后的损益状况如下
现在构建一个组合，使证券A和无风险债券一年后的损益等于证券B的损益状况。假设X份证券A和Y份无风险债券（Y大于0为借出钱，小于0为借入钱），要使得组合的损益与证券B的损益相同，则应满足如下式子：（其中1.0506=1+5.06%）

解此方程组无解！
（2）该问题无解！

结束语
现在金融经济社会中的金融产品种类颇多，各种金融产品的定价方式也有所不同，所以导致定价基本理论很多，如绝对定价理论、相对定价理论、风险中性定价理论、一般均衡定价理论、套利定价理论等。本文只是介绍其中最基础的无套利定价理论，适用于初学金融工程的学生。
此外，在无套定价理论中除上述几种定价法之外，还有动态组合复制技术来定价、还有合成金融工具、模仿金融工具定价法，各种定价理论都有各自的适用背景，希望同学们能多多总结！
下面简单总结一下无套利定价原理：
(1) 无套利定价原理就是金融学，金融工程的核心思想 ，
(2) “同损益同价格”实际上就是“一价定理”静态和动态组合复制策略则是用于给衍生产品定价的基本思想
(3) 如果市场存在摩擦（交易成本）时，只能给出一个定价区间。在这个定价区间内，市场无法实现套利。

参考文献
1 《西方经济学》（微观部分）高鸿业主编，第五版，中国人民大学出版社。
2 《公司金融学》杨丽荣主编，第二版，科学出版社。
3 《金融工程学》李健元，李刚主编，东北财经大学出版社。
4 《无套利定价原理的应用分析》胡崇峻所著，三峡大学经济与管理学院讲师，研究方向证券投资。
5 《期权、期货及其他衍生品》美国，约翰 赫尔主编，人民邮电出版社。
6 《证券投资学》吴晓求主编，第4版，中国人民大学出版社