基本不等式一轮复习导学案含答案.doc

　《基本不等式》一轮复习导学案2107.12
【教学目标】Ⅰ.了解基本不等式的证明过程．
Ⅱ.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
【知识梳理】一、基本不等式：≤
1．基本不等式成立的条件：___________.
2．等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
3．其中称为正数a，b的算术平均数，
称为正数a，b的____________.
二、基本不等式的变形
1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
2．ab≤________ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
3．a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时取等号；
a＋≤______ (a<0)，当且仅当a＝－1时取等号．
4.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
三、利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则
1．如果积xy(积为定值)是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有最_____值是2.(简记：积定和最小)
2．如果和x＋y(和为定值)是定值s，那么当且仅当______时，积xy有最____值是.(简记：和定积最大)
一．基础练习
1．函数y＝x＋(x＞0)的值域为(　　)
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)

2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，
其中正确的个数是(　　)A．0 B．1 C．2 D．3
3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(　　)．
A. B．1 C．2 D．4
4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)．
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
5．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．
考向一 利用基本不等式求最值
【例1】(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；
(2)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．
【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为________．
(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．
(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．
（4）若x>0,y>0且x+2y+2xy=8,则x+2y最小值为
（5）设x>0,y>0,z>0，且x-2y+3z=0,则的最小值为
（6）若x,y满足，则2x+y最小值为
（7）已知：a>b>c>0,则最小值为
考向二　利用基本不等式证明不等式
【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.

【训练2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.

考向三　利用基本不等式解决恒成立问题
【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
【训练3】（1）已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．
（2）若正数x,y满足x+y=1,且恒成立，则正数a的最小值为
（3）若正数x,y满足x+y=a, 且恒成立，则正数a的最大值为
考向四　利用基本不等式解实际问题
【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？

课后巩固练习
1.(2016·四川资阳诊断)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为(　　)
A.5＋2 B.8 C.5 D.9
2.(2016·辽宁师大附中模拟)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
3.(2015·北京海淀二模)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)
A.(-∞，-1) B.(-∞，2-1) C.(-1，2-1) D.(-2-1，2-1)
4.(2016·山东泰安模拟)若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________.

参考答案
1.D．(2，＋∞)
答案　C
2．解析　①②不正确，③正确，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1.答案　B
3．解析　∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.答案　A
4．解析　当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.答案　C
5．解析　∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．答案　－2　　
【例1】解析　(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，
∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．
(2)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
答案　(1)3＋2　(2)1
【训练1】．解析　(1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3　当且仅当x＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，
即x＝时，ymax＝.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×2× ＝18，
当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.
答案　(1)3　(2)　(3)18
【例2】证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2 ＝2c；＋≥2 ＝2b；＋≥2 ＝2a.以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.
【训练2】
证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
解析　若对任意x＞0，≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即可，因为x＞0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是答案　
【训练3】解析　由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 ，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案　10
例3．解　由题意可得，造价y＝3(2x×150＋×400)＋5 800＝900＋5 800(0＜x≤5)，则y＝900＋5 800≥900×2＋5 800＝13 000(元)，
当且仅当x＝，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．
【试一试】尝试解答　a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2 ＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝且ab＝，即a＝2b时，等号成立．答案　D
课后巩固练习
1.D [∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab，∴a＝＞0，解得b＞2.
则a＋2b＝＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4≥5＋2＝9，当且仅当b＝3，a＝3时取等号，其最小值为9.]
2.C [∵x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，
∴函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)，
∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，
∵m>0，n>0，＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，
当且仅当m＝，n＝时取等号.故选C.]
3.B [由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，
而3x＋≥2(当且仅当3x＝，即x＝log3时，等号成立)，∴k＋1<2，即k<2－1.]
4.3＋2[直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值即求a＋b的最小值.由直线l经过点(1，2)得＋＝1.
于是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×＝3＋＋，
因为＋≥2＝2.所以a＋b≥3＋2.]