二次根式知识点及习题.doc

二次根式
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
知识点七：二次根式的性质和最简二次根式
　　如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；
　　含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
（3）最终结果分母不含根号。
知识点八：二次根式的乘法和除法
　　1.积的算数平方根的性质
　　√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
　　2. 乘法法则
　　√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
　　二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
　　3.除法法则
　　√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）
　　二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。
　　4.有理化根式。
　　如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
知识点九：二次根式的加法和减法
　　1 同类二次根式
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
　　2 合并同类二次根式
　　把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
　　3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
知识点十：二次根式的混合运算
　　1确定运算顺序
　　2灵活运用运算定律
　　3正确使用乘法公式
　　4大多数分母有理化要及时
　　5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
知识点十一：分母有理化
　　分母有理化有两种方法
　　I.分母是单项式
　　如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b

　 II.分母是多项式
　　要利用平方差公式
　　如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
　　如图

注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。

“二次根式”经典练习题
【典型例题】
一. 利用二次根式的双重非负性来解题（（a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）
1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A、； B、； C、； D、
2.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2） （3） （4） （5）
（6） 若，则x的取值范围是 （7）若，则x的取值范围是 。
（7） 注：（书写格式（4）由5+x≥0且x+4≠0得x≥－5且x≠－4∴当x≥－5且x≠－4时代数式在实数范围内有意义）
3.若有意义，则m能取的最小整数值是
4.若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
5..当x为何整数时，有最小整数值，这个最小整数值为 。
6. 若，则=_____________．
7．若，则
8. 设m、n满足，则= 。
9. 若适合关系式，求的值．
10.若三角形的三边a、b、c满足=0，则第三边c的取值范围是
11.方程，当时，m的取值范围是（ ）
A、　　 B、 　　　C、 　　 D、
二．利用二次根式的性质=|a|=(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题
1.已知＝－x，则（　　）
A.x≤0　　　B.x≤－3　　　Ｃ.x≥－3　　　D.－3≤x≤0
2.．已知a<b，化简二次根式的正确结果是（ 　）
A． B． C． D．
3.若化简|1-x|-的结果为2x-5则x的取值范围是（）
A、x为任意实数 B、1≤x≤4 C、x≥1 D、x≤4
4.已知a，b，c为三角形的三边，则=
5. 当-3<x<5时，化简= 。
6、化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7、已知：=1，则的取值范围是（ ）。
A、； B、； C、或1； D、
8、把根号外的因式移入根号内，化简结果是（ ）。
A、； B、；C、 D、

三．二次根式的化简与计算（二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求，其主要依据是二次根式的积商算术 平 方根的性质及二次根式的性质：（）2=a（a≥0），即。）
1.把下列各式化成最简二次根式：
（1） （2） （3） （4）
2.下列各式中哪些是同类二次根式：
（1），，，，，，； （2） ，，a
3.计算：（1）6 （2）； （3）
（4） （5）－ （6）
4.计算（1）2 （2）
5．已知，则x等于（ 　 ）

A．4 B．±2 C．2 　 D．±4
6..已知，求的值。
四．二次根式的分母有理化
1已知：，求的值。
2..已知:x=，求代数式3x2－5xy+3y2的值。

3.＋＋＋…＋

4.已知，试求的值。

五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1.估算－2的值（　　）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
2．若的整数部分是a，小数部分是b，则
3.已知9+的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值
4.若a，b为有理数，且++=a+b，则b= .
六．二次根式的比较大小
（1） （2）－5 （3）（倒数法）

二次根式提高测试题
一、选择题
1．使有意义的的取值范围是（ ）
2．一个自然数的算术平方根为，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）
（A）（B）（C）（D）
3．若，则等于（ ）
（A）0 （B） （C） （D）0或
4．若，则化简得（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．若，则的结果为（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．已知是实数，且，则与的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．已知下列命题：
①； ②；
③； ④．
其中正确的有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
8．若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．当时，化简等于（ ）
（A）2 （B） （C） （D）0
10．化简得（ ）
（A）2 （B） （C） （D）

二、填空题
11．若的平方根是，则．
12．当时，式子有意义．
13．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则．
14．若是的整数部分，是的小数部分，则，．
15．已知，且，则满足上式的整数对有_____．
16．若，则．
17．若，且成立的条件是_____．
18．若，则等于_____．
三、解答题
1 9．计算下列各题：（1）；
（2）
20．已知，求的值 ．

21． 已知是实数，且，求的值.

22． 若与互为相反数，求代数式的值.

23．若满足，求的最大值和最小值.