主成分分析法教案.doc
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1、主成分分析法一、主成分分析(principal components analysis)也称为主分量分析,是由Holtelling于1933年首先提出的。主成分分析是利用降维的思想,把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。二、应用背景:对同一个体进行多项观察时,必定涉及多个随机变量X1,X2,Xp,它们都是相关的, 一时难以综合。这时就需要借助主成分分析 (principal component analysis)来概括诸多信息的主要方面。我们希望有一个或几个较好的综合指标来概括信息,而且希望综合指标互相独立地各代表某一方面的性质。任何一个度量指标的好坏除了可靠、真实之外,还必须能充
2、分反映个体间的变异。如果有一项指标,不同个体的取值都大同小异,那么该指标不能用来区分不同的个体。由这一点来看,一项指标在个体间的变异越大越好。因此我们把“变异大”作为“好”的标准来寻求综合指标。例1、考察对象股票业绩(这里单个股票为观察个体)。(1)确定影响股票业绩主要因素:主营业务收入(X1),主营业务利润(X2)利润总额(X3),净利润(X4),总资产(X5),净资产(X6),净资产收益率(X7),每股权益(X8),每股收益(X9),每股公积金(X10),速动比率(X11)作为变量。因此对单个股票来说,用11个随机变量综合刻化。但这些因素过多,各因素区别不明显,有交叉反映。通过主成分分析,
3、可降为少数几个综合指标加以刻化。(2)考察20支不同的股票。从数学角度看,每种影响因素是随机变量(Xi),观察一支股票便得到影响该股票的11个随机变量取值;观察20支股票,便得到了2011的原始数据阵X2011(略)。 三、问题:作为主成分?严格的数学定义?相应的性质有哪些?主成分取多少?1、主成分的一般定义 设有随机变量X1,X2,Xp, 其样本均数记为,样本标准差记为S1,S2,Sp。首先作标准化变换 我们有如下的定义: (1) 若Y1=a11x1+a12x2+ +a1pxp,且使 Var(Y1)最大,则称Y1为第一主成分; (2) 若Y2=a21x1+a22x2+a2pxp,(a21,a
4、22,a2p)垂直于(a11,a12,a1p),且使Var(Y2)最大,则称Y2为第二主成分; (3) 类似地,可有第三、四、五主成分,至多有p个。 2、主成分的性质 :Y1,Y2,Yp具有如下几个性质 (1) 主成分间互不相关,即对任意i和j,Yi 和Yj的相关系数Corr(Yi,Yj)=0 i j (2) 组合系数(ai1,ai2,aip)构成的向量为单位向量, (3) 各主成分的方差是依次递减的, 即Var(Y1)Var(Y2)Var(Yp) (4) 总方差不增不减, 即Var(Y1)+Var(Y2)+ +Var(Yp) =Var(x1)+Var(x2)+ +Var(xp)这一性质说明:
5、主成分是原变量的线性组合,是对原变量信息的一种改组,主成分不增加总信息量,也不减少总信息量。(5) 主成分和原变量的相关系数 Corr(Yi,xj)=aij=aij (6) 令X1,X2,Xp的相关矩阵为R, (ai1,ai2,aip)则是相关矩阵R的第i个特征向量(eigenvector)。而且,特征值li就是第i主成分的方差, 即Var(Yi)= li 其中li为相关矩阵R的第i个特征值(eigenvalue)l1l2lp03、主成分的数目的选取前已指出,设有p个随机变量,便有p个主成分。由于总方差不增不减,Y1,Y2等前几个综合变量的方差较大,而Yp,Yp-1等后几个综合变量的方差较小,
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