全等三角形辅助线旋转与平移.doc

三角形全等辅助线
————旋转与平移
共同的特点：都有长度相等，且有一端点重合的线段
中点旋转：

等腰直角三角形,等边三角形旋转

正方形旋转

【精选例题】
旋转
中点类
【例1】 以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，连接，、分别是、的中点．探究：与的位置关系及数量关系．
（1）如图① 当为直角三角形时，与的位置关系是 ；线段与的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转 ()后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

【例2】 （顺义区2009一模第25题）已知：在中，，在中，，连结，取的中点，连结和．
⑴ 若点在边上，点在边上且与点不重合，如图①，探索、的关系并给予证明；

⑵ 如果将图①中的绕点逆时针旋转小于的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

【例3】 在四边形中，设,分别为,的中点，求证，当且仅当时等号成立．

【例4】 如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：．

对角互补类
【例5】 如图，，为的角平分线，将一三角板的直角顶点固定在点，另外两边分别交，于，两点，证明：

【例6】 如图，，为的角平分线，且角的两边分别交，于，两点，证明：

【例7】 如图，在四边形中，，，于，若四边形的面积为18，求的长．

【例8】 直角三角形中；为的中点，绕着点逆时针旋转到，求重叠部分的面积．

【例9】 已知，在四边形中，，对角线平分，在的延长线上任取一点，连接，作，使与的延长线交于，连结，请画出完整图形，探究：线段、、之间具有怎样的数量关系，并说明理由

【例10】 （1）如图1，四边形中，，，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，四边形中，，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论．

平移
【例11】 如图所示，在中，，为上的一点，且；为上的一点，且．连接、交于点，求证：．

【例12】 (07年北京中考)如图，已知
⑴请你在边上分别取两点、(的中点除外)，连结、，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明．

【例13】 如图14-1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．
（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；

（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将沿直线向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
A
（E）
B
C
（F）
P
l
l
l
A
A
B
B
Q
P
E
F
F
C
Q
图14-1
图14-2
图14-3
E
P
C

平移加旋转
【例14】 如图，已知E是正方形ABCD的边AB的中点，∠B的外角∠CBG的平分线BF交DE的垂线EF于F。
（1）DE与EF是什么关系？（不用证明）
（2）若E为AB上的任意一点（点A、B除外），结论（1）还成立吗？若成立，给出证明，若不成立，请说明理由。

【例15】 (年全国初中数学联赛)如图，梯形中，，以两腰，为一边分别向两边作正方形和，连接的垂直平分线交线段于点．求证：点为的中点．

旋转不变性
08年北京中考真题
1.中点倍长

08年宣武二模
25．已知正方形ABCD和等腰，BE=EF，∠BEF=，按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，联结EG、CG.
（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；
（2）将图1中△BEF绕B点顺时针旋转，再联结DF，取DF中点G（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在到之间），再联结DF，取DF的中点G（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.

图1 图2 图3

2.旋转拼凑
09崇文一模

08朝阳一模

探究操作题
（江苏盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置
第28题图
图甲
图乙
图丙
关系为 ，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF
相交于点P，求线段CP长的最大值．

08年门头沟二模
A
C
B
E
D
图1
25. 如图，把一副三角板如图1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转得到△D/CE/如图2．这时AB与CD/相交于点O，D/E/与AB相交于点F．（1）求∠OFE/的度数； （2）求线段AD/的长． （3）若把三角形D/CE/绕着点C顺时针再旋转得△D//CE//，这时点B在△D//CE//的内部、外部、还是边上？证明你的判断．

08东城一模
25．已知△ABC中，AB=AC=3,∠BAC=900,点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.
（1）如图1，若BD=CD, 将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）；
（2）如图2，若BD=CD, 将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE＝，两块三角板重叠部分的面积为，求出的函数关系式,并写出自变量的取值范围；
（3）若,将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E，设CF=，两块三角板重叠部分的面积为，求出的函数关系，并写出自变量的取值范围 ．

08年石景山二模
25．我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.
把两块边长为4的等边三角形板和叠放在一起，使三角形板的顶点与三角形板的AC边中点重合，把三角形板固定不动，让三角形板绕点旋转，设射线与射线相交于点M，射线与线段相交于点N．
（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证△ADM∽△CND．此
时，AM·CN=　　　　　　．
（2）将三角形板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为
．其中，问AM·CN的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设AM= x，两块三角形板重叠面积为，求与的函数
关系式．（图2，图3供解题用）

线段和差问题
08海淀一模
25．已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q．
（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）；
（2）当满足什么条件时，有AQ+BC=CQ，请证明你的结论；
（3）当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ，并写出解答过程．

等分面积题
08石景山一模
25．阅读下面问题的解决过程：
问题：已知△ABC中，P为BC边上一定点，过点P作一直线，
使其等分△ABC的面积．
解决：情形1：如图①，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可．
情形2：如图②，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，联结AP，
过点D作DE∥AP交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线．

图① 图②

图③

D
E

问题解决：如图③，已知四边形ABCD，过点B作一直线
（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明．

新定义型
（07北京中考真题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点、分别在、上，设、相交于，若，，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于60º的锐角，点、分别在、上，且，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

08年房山二模
七、解答题（本题满分7分）23．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点
(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形ABCD的准等距点．

延伸类题目
25.如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，,
MH与六边形外角的平分线BQ交于H点.
（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH;
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B
重合)时,猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明.