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石墨烯电子的能带和狄拉克方程.doc
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1、 石墨烯电子能带之数理演绎 (2015年2月20日) (为苦研物理学理论的探路者提供数理基础的参考) 作者: 北京东之星应用物理研究所 伍 勇 , 贺 宁(计算机软件工程师)1. 石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢 图1中(1)这里=1.42是C-C最近邻原子间距,即正六边形单胞的边长(晶格常数)。由正格子基矢(1)可计算出倒格子基矢(2):(2) 由此计算图2第一布里渊区的两个狄拉克(Dirac)点,的坐标是:(3)下面能带计算表明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上,称费米点,又称Dirac点或()点2. 石墨电子紧束缚近似二次量子化形式的哈密顿量(4) 上式还可表为矩阵形式: 模型不考虑电子自
2、旋,表示只对最近邻格点的电子跃迁求和,是单电子2pz轨道能量石墨晶格是由两类几何环境彼此不等价的碳原子A,B构成,任意选定一个格点位矢是的A原子为参考原子,环绕它的是三个最近邻B类原子,和,如图3.()是位于()的电子的产生(消灭)算符,(4)中的对算符表示的物理过程描述被在处消灭一个电子后又在由产生一个电子,此过程等同于电子由跃迁到最近邻,跃迁能=2.8eV。考虑电子算符的傅里叶变换:(5) 这里N是晶格原胞数。跃迁发生在A,B两个不等价子晶格之间,A,B两原子相对位矢(图3):(6)将(5),(6)代入(4),将哈密顿量傅里叶展开,先考虑跃迁项利用公式:哈密顿跃迁项化为:(7) 类似计算哈
3、密顿的原子位能项,可得(8) 由(7)(8)代入(4),得到动量表象的紧束缚模型二次量子化哈密顿是(9) 3求解薛定谔方程和能量本征值 石墨烯是单层2维晶体,碳原子的,轨道通过 轨道杂化形成共面键,而电子形成垂直于共价平面之上的离域大键。象铺垫的刚性平面之上自由流动的电子气,电子参与石墨烯的一切外在物理过程和化学反应,决定了石墨烯的电子结构和性质。 根据电子薛定谔定态方程(10) 石墨烯一个原胞内包含两个不等价原子A,B,其2Pz电子态基矢分别选取为:, 这里 是粒子真空态。(9)表达的紧束缚哈密顿可以写为矩阵形式:(11) 设系统的电子态矢量(波函数)为: 代入薛定谔定态方程(10)有(12
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