圆锥曲线与方程导学案.docx
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1、 2.2.1椭圆及其标准方程(1) 学习目标 1从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2掌握椭圆的定义; 3掌握椭圆的标准方程学习过程 一、课前准备 (预习教材理P61 P63,文P32 P34找出疑惑之处) 复习1:过两点 , 的直线方程 复习2:方程 表示以 为圆心, 为半径的 二、新课导学 学习探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个 如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?思考:移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?经过观察后思考:在移动笔尖的过程
2、中,细绳的 保持不变,即笔尖 等于常数新知: 我们把平面内与两个定点 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 反思:若将常数记为 ,为什么 ? 当 时,其轨迹为; 当 时,其轨迹为试试: 已知 , ,到 , 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 小结:应用椭圆的定义注意两点: 分清动点和定点; 看是否满足常数 新知:焦点在 轴上的椭圆的标准方程 其中若焦点在 轴上,两个焦点坐标 ,则椭圆的标准方程是 典型例题 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ,焦点在 轴上; ,焦点在 轴上; 变式:方程 表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 的范
3、围 小结:椭圆标准方程中: ; 例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是 , ,并且经过点 ,求它的标准方程 变式:椭圆过点 , , ,求它的标准方程小结:由椭圆的定义出发,得椭圆标准方程 动手试试 练1. 已知 的顶点 、 在椭圆 上,顶点 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 边上,则 的周长是( ) A B6 C D12练2 方程 表示焦点在 轴上的椭圆,求实数 的范围三、总结提升 学习小结 1. 椭圆的定义: 2. 椭圆的标准方程: 知识拓展 1997年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息,从1997年2月中旬起,海尔波普彗星将逐渐接近地球,过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后
4、,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象 天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来,海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行周期及轨道的的周长 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ) A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1平面内一动点 到两定点 、 距离之和为常数 ,则点 的轨迹为() A椭圆 B圆 C无轨迹 D椭圆或线段或无轨迹 2如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆,那么实数 的取值范围是( ) A B C D 3如果椭
5、圆 上一点 到焦点 的距离等于6,那么点 到另一个焦点 的距离是( ) A4 B14 C12 D8 4椭圆两焦点间的距离为 ,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 和 ,则椭圆的标准方程 是 5如果点 在运动过程中,总满足关系式 ,点 的轨迹是,它的方程是课后作业 1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: 焦点在 轴上,焦距等于 ,并且经过点 ; 焦点坐标分别为 , ; 2. 椭圆 的焦距为 ,求 的值 2.2.1 椭圆及其标准方程(2) 学习目标 1掌握点的轨迹的求法; 2进一步掌握椭圆的定义及标准方程学习过程 一、课前准备 复习1:椭圆上 一点 到椭圆的左焦点 的距离为 ,则 到椭圆右焦点
6、 的距离 是 复习2:在椭圆的标准方程中, , ,则椭圆的标准方程是二、新课导学 学习探究 问题:圆 的圆心和半径分别是什么? 问题:圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ;反之,到点 的距离等于 的所有点都在 圆 上 典型例题 例1在圆 上任取一点 ,过点 作 轴的垂线段 , 为垂足.当点 在圆上运动时,线段 的中点 的轨迹是什么?变式: 若点 在 的延长线上,且 ,则点 的轨迹又是什么? 小结:椭圆与圆的关系:圆上每一点的横(纵)坐标不变,而纵(横)坐标伸长或缩短就可得到椭圆例2设点 的坐标分别为 ,.直线 相交于点 ,且它们的斜率之积是 ,求点 的轨迹方程 变式:点 的坐标是
7、,直线 相交于点 ,且直线 的斜率与直线 的斜率的商是 ,点 的轨迹是什么? 动手试试 练1求到定点 与到定直线 的距离之比为 的动点的轨迹方程练2一动圆与圆 外切,同时与圆 内切,求动圆圆心的轨迹方程式,并说明它是什么曲线 三、总结提升 学习小结 1. 注意求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标,然后找出含有点相关等式;相关点法:寻求点 的坐标 与中间 的关系,然后消去 ,得到点 的轨迹方程 知识拓展 椭圆的第二定义: 到定点 与到定直线 的距离的比是常数 的点的轨迹 定点 是椭圆的焦点; 定直线 是椭圆的准线; 常数 是椭圆的离心率 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好
8、 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1若关于 的方程 所表示的曲线是椭圆,则 在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2若 的个顶点坐标 、 , 的周长为 ,则顶点C的轨迹方程为( ) A B C D 3设定点 , ,动点 满足条件 ,则点 的轨迹是( ) A椭圆 B线段 C不存在 D椭圆或线段 4与 轴相切且和半圆 内切的动圆圆心的轨迹方程是 5. 设 为定点,| |= ,动点 满足 ,则动点 的轨迹是 课后作业 1已知三角形 的一边长为 ,周长为 ,求顶点 的轨迹方程 2点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是 ,求点的
9、轨迹方程式,并说明轨迹是什么图形2.2.2 椭圆及其简单几何性质(1) 学习目标 1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形; 2根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质,画图学习过程 一、课前准备 (预习教材理P43 P46,文P37 P40找出疑惑之处) 复习1: 椭圆 上一点 到左焦点的距离是 ,那么它到右焦点的距离是 复习2:方程 表示焦点在 轴上的椭圆,则 的取值范围是 学习探究 问题1:椭圆的标准方程 ,它有哪些几何性质呢? 范围: : :对称性:椭圆关于 轴、 轴和 都对称;顶点:( ),( ),( ),( );长轴,其长为 ;短轴,其长为 ;离心率:
10、刻画椭圆 程度 椭圆的焦距与长轴长的比 称为离心率, 记 ,且 试试:椭圆 的几何性质呢? 图形: 范围: : :对称性:椭圆关于 轴、 轴和 都对称;顶点:( ),( ),( ),( );长轴,其长为 ;短轴,其长为 ;离心率: = 反思: 或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗? 典型例题 例1 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标变式:若椭圆是 呢?小结:先化为标准方程,找出 ,求出 ; 注意焦点所在坐标轴 例2 点 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ,求点 的轨迹小结:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于1)的点的轨迹是椭圆 动手试试 练1求适合下列条件的椭圆
11、的标准方程: 焦点在 轴上, , ; 焦点在 轴上, , ; 经过点 , ; 长轴长等到于 ,离心率等于 三、总结提升 学习小结 1 椭圆的几何性质: 图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;2 理解椭圆的离心率 知识拓展 (数学与生活)已知水平地面上有一篮球,在斜平行光线的照射下,其阴影为一椭圆,且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1若椭圆 的离心率 ,则 的值是( ) A B 或 C D 或 2若椭圆经过原点,且焦点分别为 , ,则其离心率
12、为( ) A B C D 3短轴长为 ,离心率 的椭圆两焦点为 ,过 作直线交椭圆于 两点,则 的周长为( ) A B C D 4已知点 是椭圆 上的一点,且以点 及焦点 为顶点的三角形的面积等于 ,则点 的坐标是 5某椭圆中心在原点,焦点在 轴上,若长轴长为 ,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是 课后作业 1比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁? 与 ; 与 2求适合下列条件的椭圆的标准方程: 经过点 , ; 长轴长是短轴长的 倍,且经过点 ; 焦距是 ,离心率等于 2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2) 学习目标 1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质; 2椭圆与直线的关系
13、学习过程 一、课前准备 (预习教材理P46 P48,文P40 P41找出疑惑之处) 复习1: 椭圆 的焦点坐标是( )( ) ;长轴长 、短轴长 ;离心率 复习2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判定? 二、新课导学 学习探究 问题1:想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢? 问题2:椭圆与直线有几种位置关系?又是如何确定? 反思:点与椭圆的位置如何判定? 典型例题 例1 已知椭圆 ,直线 : 。椭圆上是否存在一点,它到直线 的距离最小?最小距离是多少?变式:最大距离是多少?动手试试 练1已知地球运行的轨道是长半轴长 ,离心率 的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点上,求地球到太阳的最大和最小距离练2
14、经过椭圆 的左焦点 作倾斜角为 的直线 ,直线 与椭圆相交于 两点,求 的长 三、总结提升 学习小结 1 椭圆在生活中的运用; 2 椭圆与直线的位置关系: 相交、相切、相离(用 判定) 知识拓展 直线与椭圆相交,得到弦, 弦长 其中 为直线的斜率, 是两交点坐标 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1设 是椭圆 , 到两焦点的距离之差为 ,则 是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 2设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ,
15、若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 3已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点P在椭圆上,若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到 轴的距离为( ) A. B. 3 C. D. 4椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列,则其离心率为 5椭圆 的焦点分别是 和 ,过原点 作直线与椭圆相交于 两点,若 的面积是 ,则直线 的方程式是 课后作业 1 求下列直线 与椭圆 的交点坐标2若椭圆 ,一组平行直线的斜率是 这组直线何时与椭圆相交? 当它们与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上?2.3.1 双曲线及其标准方程 学习目标 1
16、掌握双曲线的定义; 2掌握双曲线的标准方程 学习过程 一、课前准备 (预习教材理P52 P55,文P45 P48找出疑惑之处) 复习1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么?复习2:在椭圆的标准方程 中, 有何关系?若 ,则 写出符合条件的椭圆方程二、新课导学 学习探究 问题1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?如图2-23,定点 是两个按钉, 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管,点 移动时, 是常数,这样就画出一条曲线; 由 是同一常数,可以画出另一支新知1:双曲线的定义: 平面内与两定点 的距离的差的 等于常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线。 两
17、定点 叫做双曲线的 , 两焦点间的距离 叫做双曲线的 反思:设常数为 ,为什么 ? 时,轨迹是 ; 时,轨迹 试试:点 , ,若 ,则点 的轨迹是 新知2:双曲线的标准方程:(焦点在 轴) 其焦点坐标为 , 思考:若焦点在 轴,标准方程又如何? 典型例题 例1已知双曲线的两焦点为 , ,双曲线上任意点到 的距离的差的绝对值等于 ,求双曲线的标准方程变式:已知双曲线 的左支上一点 到左焦点的距离为10,则点P到右焦点的距离为 例2 已知 两地相距 ,在 地听到炮弹爆炸声比在 地晚 ,且声速为 ,求炮弹爆炸点的轨迹方程变式:如果 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么?小结:采用这种方
18、法可以确定爆炸点的准确位置动手试试 练1:求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 轴上, , ; (2)焦点为 ,且经过点 练2点 的坐标分别是 , ,直线 , 相交于点 ,且它们斜率之积是 ,试求点 的轨迹方程式,并由点 的轨迹方程判断轨迹的形状三、总结提升 学习小结 1 双曲线的定义; 2 双曲线的标准方程 知识拓展 GPS(全球定位系统): 双曲线的一个重要应用 在例2中,再增设一个观察点 ,利用 , 两处测得的点 发出的信号的时间差,就可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定点 的准确位置学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好
19、 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1动点 到点 及点 的距离之差为 ,则点 的轨迹是( ) A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 2双曲线 的一个焦点是 ,那么实数 的值为( ) A B C D 3双曲线的两焦点分别为 ,若 ,则 ( ) A. 5 B. 13 C. D. 4已知点 ,动点 满足条件 . 则动点 的轨迹方程为 5已知方程 表示双曲线,则 的取值范围 课后作业 1 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 轴上, ,经过点 ; (2)经过两点 , 2相距 两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差 ,
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