全等三角形证明条件归类.doc
《全等三角形证明条件归类.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形证明条件归类.doc(6页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
全等三角形证明条件归类 初学三角形全等证明,根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢?从三角形全等证明的四种证明方法(边角边、角边角、角角边、边边边)来看:已知两边对应相等,第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等,或找第三边对应相等;如果告诉了两个角对应相等,第三个条件找两个角的夹边对应相等,或是已知的两个角中的某个角的对应边相等;已知一边和一角对应相等,第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等,或是另一角对应相等。分析以上这些情况,找第三个条件分两种情况:一是再找一组对应边相等,二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况: 一是公共边是第三个条件 例1:如图,在中,AC=BD,AD=BC,求证:≌ A D C B 证明:△ABD和△BAC中: ∵ BD=AC BC=AD AB=BA(公共边) B A C E F D 第2图 ∴ ≌(SSS) 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件 例1:如图2,已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证:ΔABC≌ΔDEF 证明:∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB(即AB=DE) 在△ABC和△DEF中 ∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ΔABC≌ΔDEF(SAS) 例2如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。 ∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB(即CF=BE) ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE≌△CDF(SSS) ∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1:如图:DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。求证:△AED≌△BFC。 证明:∵DF=CE, ∴DF-EF=CE-EF,即DE=CF, 在△AED和△BFC中, ∵ AD=BC, ∠D=∠C ,DE=CF ∴△AED≌△BFC(SAS) 第5图 A B C D E 四是等边三角形的三边相等(等腰三角形两腰相等)是第三个条件 例1:如图5,△ABC和△CDE都是等边三角形, 求证:△ACD≌△BCE。 证明:∵△ABC和△CDE都是等边三角形 ∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE(即∠BCE=∠ACD) 在△ACD和△BCE中, ∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS) 五是添加辅助线与对应的线段相等是第三个条件 例1已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C 证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD=∠CAD ∵AE=AC AD=AD ∴△AED≌△ACD (SAS) ∴∠E=∠C ∵AC=AB+BD ∴AE=AB+BD ∵AE=AB+BE ∴BD=BE ∴∠BDE=∠E ∵∠ABC=∠E+∠BDE ∴∠ABC=2∠E ∴∠ABC=2∠C 六是二次证全等找到对应的线段相等是第三个条件 例1已知:如图,∠A=∠D=90°,AE=DE.求证:△ABC≌△DCB. 证明:∵∠A=∠D AE=DE ∠AEB=∠DEC(对顶角) ∴△AED≌△ACD (ASA) ∴EC=EB ∴EC+AE=EB+DE(即AC=DB) 在Rt△ABC和Rt△DCB中 ∵∠A=∠D=90° AC=DB BC=BC(公共边) ∴△ABC≌△DCB (HL) 七是中点等分线段对应相等是第三个条件 例1,如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点, 求证:△AED≌△EBC. 证明:∵DC∥AB ∴∠CDE=∠AED ∵DE=DE,DC=AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE=BE ∴BE=DC ∵DC∥AB ∴∠DCE=∠BEC ∵CE=CE ∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 八是其他情形 对应角相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况: 一是公共角相等是第三个条件 例1. 如图,CA⊥BF于A,BE⊥CF于E,若AC=BE 求证:△AFC≌△EFB 证明:∵CA⊥BF BE⊥CF ∴∠CAF=∠BEF=90° 在 △AFC和△EFB中 ∵∠CAF=∠BEF ∠F=∠ F(公共角) AC=BE ∴△AFC≌△EFB(AAS) 二是对顶角相等是第三个条件 例1如图:AE、BC交于点M,F点在AM上,∠CFM=∠E BE=CF。 求证:△BEM≌△CFM 证明:∵∠CFM=∠E ∠CMF=∠BME(对顶角) BE=CF ∴△BEM≌△CFM(AAS) 三是平行线截得的同位角或内错角相等是第三个条件 B A C D F 2 1 E 例1. 已知:∠1=∠2,EF//AB,∠B=∠ACD CD=DE 求证:△EFD≌△DAC 证明∵EF//AB ∴∠1=∠EFD ∠B=∠FED ∵∠1=∠2 ∠B=∠ACD ∴∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD 在△EFD和△DAC中 ∵∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD CD=DE ∴△EFD≌△DAC 四是同角(或等角)的余角(或补角)相等是第三个条件 例1.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 证明:在AE上取F,使EF=EB,连接CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB=∠CEF=90° ∵EB=EF,CE=CE ∴△CEB≌△CEF ∴∠B=∠CFE ∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180° ∴∠D=∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC=∠FAC 又∵AC=AC ∴△ADC≌△AFC(SAS) ∴AD=AF ∴AE=AF+FE=AD+BE 例2.在△ABC中,,,直线经过点,且于,于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时,求证: ①≌; (2)当直线绕点旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. (1)①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°, ∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°. ∴∠CAD=∠BCE. ∵AC=BC, ∴△ADC≌△CEB. (2)略 五是垂直相交的角是90°是第三个条件 例1:如图,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. 求证:MB=MD,ME=MF (1)∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,∴∠DEC=∠BFA=90°, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),∴DE=BF. 在Rt△DEM和Rt△BFM中 ∵∠DME=∠BMF ∠DEC=∠BFA DE=BF ∴RtCBFM(AAS) ∴MB=MD,ME=MF (2)略 六是角平分线分得的角对应相等是第三个条件 例1如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠1=∠2, 求证:△ABD≌△ACD 证明:∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD, ∵∠1=∠2 AD=AD ∠BAD=∠CAD ∴△ABD≌△ACD(ASA) A E B M C F 七是相等对应角+公共角的和对应相等是第三个条件 例1.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求证:△ABF≌△AEC; 证明:∵AE⊥AB,AF⊥AC, ∴∠BAE=∠CAF=90° ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠EAC=∠BAF 在△ABF和△AEC中, ∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC, ∴△ABF≌△AEC(SAS), 八是相等对应角+相等对应角和对应相等是第三个条件 例1如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:△ABC≌△DCB 证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4(即∠ABC=∠DCB) 在△AOB和△DOC中 ∵∠ABC=∠DCB BC=BC ∠4=∠3 ∴△ABC≌△DCB 九是等边三角形的三个角都等于60度(等腰三角形两底角相等)是第三个条件 例1:如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F, 求证:△CFD≌△BED. 证明:作CG⊥AB,交AD于H, 则∠ACH=45º,∠BCH=45º ∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º ∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45º CD=DB ∴△CFD≌△BED 十是添加辅助线与对应的角相等是第三个条件 十一是二次证全等找到对应的角相等是第三个条件 例1.AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。求证:BF=CF 证明:在△ABD与△ACD中 ∵AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 ∵BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD 十二计算角的度数找到对应的角相等是第三个条件 例1.如图,已知在△ABC内,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是,的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP 解:延长AB至D,使BD=BP,连DP 在等腰△BPD中,可得∠BDP=40° 从而∠BDP=40°=∠ACP △ADP≌△ACP(ASA) 故AD=AC 又∠QBC=40°=∠QCB 故 BQ=QC BD=BP 从而BQ+AQ=AB+BP 例2 D为等腰斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 求证△CDE≌△ADF 证明:连接D,D为等腰斜边AB的中点,故有CD⊥AB,CD=DA CD平分∠BCA=90°,∠ECD=∠DCA=45° 由于DM⊥DN,有∠EDN=90°由于 CD⊥AB,有∠CDA=90° 从而∠CDE=∠FDA DE≌△ADF(ASA) 十三其他情形 无论是找对应边相等还是找对应角相等,难点中的难点是找出隐含的条件,像前面的公共边相等,公共角相等,对顶角相等这些类型,我们可以把已知条件和问题结合起来,先找到需要证明全等的三角形,在找证明全等的条件。 突破三角形全等证明这一难关,除了我们要加强联系,更重要的是我们在练习的时候要仔细看图,提高识别图形的能力。- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全等 三角形 证明 条件 归类
咨信网温馨提示:
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,个别因单元格分列造成显示页码不一将协商解决,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【快乐****生活】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【快乐****生活】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,个别因单元格分列造成显示页码不一将协商解决,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【快乐****生活】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【快乐****生活】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。
关于本文