262用函数观点看一元二次方程同步测控优化训练含答案.doc

26.2 用函数观点看一元二次方程

一、课前预习 (5分钟训练)
1.二次函数y=－x2+4x－3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为( )
A．6 B．4 C．3 D．1
2．当a＞0，Δ=b2－4ac__________0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a__________0，Δ= b2－4ac__________0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负．
3．已知一抛物线与x轴的交点为A（－1，0）、B（m，0），且过第四象限内的点C（1，n），而m+n=－1，mn=－12，则此抛物线关系式是__________．
二、课中强化(10分钟训练)
1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）和直线y=kx+d（k≠0）有两个交点的条件是__________，只有一个交点的条件是__________，没有交点的条件是__________．
2．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1<x2，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为__________，不等式ax2+bx+c<0的解集为__________．
3．利用图象求下列一元二次方程的近似值.
(1)x2+x－10=0; (2)2x2－3x+1=0．

4．已知抛物线y=x2+(n－3)x+n+1经过坐标原点O．
（1）求这条抛物线的顶点P的坐标；
（2）设这条抛物线与x轴的另一个交点为A，求以直线PA为图象的一次函数的解析式．

5．已知抛物线y=x2－mx+与抛物线y=x2+mx－m2在平面直角坐标系中的位置如图26－2－1,其中一条与x轴交于A、B两点．
（1）试判断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由．
（2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足，求经过A、B两点的抛物线的关系式．

图26－2－1

三、课后巩固(30分钟训练)
1．二次函数的二次项系数为2,它与x轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函数的解析式是( )
A．y=2(x－4)(x+2) B．y=2(x+4)(x－1) C．y=2(x－4)(x－1) D．y=2(x－4)(x+1)
2．已知抛物线的顶点到x轴的距离为3，且与x轴两交点的横坐标为4、2，则该抛物线的关系式为__________________．
3．求下列二次函数与x轴的交点：
(1) y=x2+4x－5; (2) y=－x2+x+2; (3) y=x2－3x; (4)y=x2－6x+10.

4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围.

5．如图26－2－2，抛物线y=(x+1)2－2，
（1）设此抛物线与x轴交点为A、B（A在B的左边），请你利用图象求出A、B两点的坐标；
（2）有一条直线y=x－1，试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标；
（3）P是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P，使S△ABP=2?若存在,则有几个这样的点P?并写出它们的坐标．

图26－2－2

6．已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5．
（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点，且点P的横坐标为，试用含a的代数式表示点P的纵坐标；
(3)设A,B两点的距离d=·｜x1－x2｜,试用含a的代数式表示d.

7．画出函数y=x2－4x－3的图象，根据图象回答下列问题：
（1）图象与x轴交点的坐标是什么？
（2）方程x2－4x－3=0的解是什么？
（3）不等式x2－4x－3>0，x2－4x－3<0的解是什么？

8．某医药研究所进行某一新药研发，经过大量的服用试验知：成年人按规定剂量服用后，每毫升血液中药物含量y微克（1微克=10－3毫克）,随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合，并测得服用时每毫升血液中药物含量为0微克，服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中药物含量为7．5微克．
（1）试求出y与x的函数关系，并画出0≤x≤8内的图象．
（2）求服用后几小时，才能使每毫升血液中药物含量最大？并求出血液中的最大药物含量.
（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少？（有效时间是血液中药物含量不为0的总时间）

9．已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2－4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2－5x+6及图象(如图26－2－3)，可得出表中第2行的相关数据．
y=x2+px+q
p
q
Δ
x1
x2
d
y=x2－5x+6
－5
6
1
2
3
1
y=x2－x

y=x2+x－2

－2

－2

3
(1)在表内的空格中填上正确的数；
(2)根据上述表内d与Δ的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2－4q>0)证明你的猜想.

图26－2－3
10．已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；〔注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()〕
(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为23的两部分，请求出P点的坐标．

图26－2－4
参考答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1.二次函数y=－x2+4x－3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为( )
A．6 B．4 C．3 D．1
解析：解方程－x2+4x－3=0,得A、B为（1，0）、（3，0），当x=0时， y= －3，所以C为（0，－3），所以△ABC的面积为×3(3－1)=3.
答案：C
2．当a＞0，Δ=b2－4ac__________0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a__________0，Δ= b2－4ac__________0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负．
解析：当a＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，若与x轴无交点，则其值恒为正；当a<0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，若与x轴无交点，则其值恒为负．
答案：< < <
3．已知一抛物线与x轴的交点为A（－1，0）、B（m，0），且过第四象限内的点C（1，n），而m+n=－1，mn=－12，则此抛物线关系式是__________．
解析：由题意，得m、n为方程x2+x－12=0的两根，∴
解得m=－4，n=3或m=3，n=－4．又∵(1，n)在第四象限，∴n<0．
∴m=3，n=－4，即B(3,0)，C（1，－4）．
设抛物线的关系式为y=a(x－3)(x+1)．把（1，－4）代入上式，得
－4＝a（1－3）（1+1），
∴－4a＝－4.∴a＝1．
∴y＝（x－3）(x+1)=x2－2x－3．
答案：y=x2－2x－3
二、课中强化(10分钟训练)
1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）和直线y=kx+d（k≠0）有两个交点的条件是__________，只有一个交点的条件是__________，没有交点的条件是__________．
解析：图象有无交点或有几个交点，取决于两个方程组的解的情况．
答案：（b－k）2－4a(c－d)>0；（b－k）2－4a(c－d)=0；（b－k）2－4a(c－d)<0
2．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1<x2，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为__________，不等式ax2+bx+c<0的解集为__________．
解析：抛物线在x轴上方的范围是y>0，抛物线在x轴下方的范围是y<0，抛物线上的点在x轴上时y=0，对应的x的范围分别为x>x2或x<x1；x1<x<x2．
答案：x>x2或x<x1 x1<x<x2
3．利用图象求下列一元二次方程的近似值.
(1)x2+x－10=0; (2)2x2－3x+1=0．
解析：作图象要尽量精确一些，与x轴的交点的横坐标即为方程的近似值．
解：略．
4．已知抛物线y=x2+(n－3)x+n+1经过坐标原点O．
（1）求这条抛物线的顶点P的坐标；
（2）设这条抛物线与x轴的另一个交点为A，求以直线PA为图象的一次函数的解析式．
解:(1)∵抛物线y=x2+(n－3)x+n+1经过原点，∴n+1=0． ∴n=－1．
得y=x2－4x，即y=x2－4x=(x－2)2－4．
∴抛物线的顶点P的坐标为（2，－4）．
（2）根据题意，得点A的坐标为（4，0）．
设所求的一次函数解析式为y=kx+b．根据题意，得解得
∴所求的一次函数解析式为y=2x－8．
5．已知抛物线y=x2－mx+与抛物线y=x2+mx－m2在平面直角坐标系中的位置如图26－2－1,其中一条与x轴交于A、B两点．

图26－2－1
（1）试判断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由．
（2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足，求经过A、B两点的抛物线的关系式．
解析：(1)经过A、B两点的抛物线的Δ＞：（2）可根据一元二次方程根与系数关系来解.
解法一：（1）y=x2－mx+,中Δ1=m2－2m2=－m2．
∵抛物线不过原点，∴m≠0.∴－m2<0.∴Δ1<0．
∴抛物线y=x2－mx+与x轴无交点．
∴y=x2+mx－ m2经过A、B两点．
（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x1＜0，x2＞0，
∴OA=－x1，OB=x2．
又∵,∴，
即3（x1+x2）=2x1x2．
又∵x1、x2是方程x2+mx－m2=0的两根，∴x1+x2=－m，x1x2=－m2．
∴－3m= m2．∴m1=0（不符合题意，舍去），m2=2．
∴经过A、B两点的抛物线为y=x2+2x－3．
解法二：（1）∵两条抛物线都不过原点，
∴m≠0．抛物线y=x2－mx+与y轴交于(0，)．
∵>0，∴抛物线y=x2－mx+不经过A、B点．
抛物线y＝x2+mx－m2与y轴交于（0，－m2），－m2<0，
∴抛物线y=x2+mx－m2经过A、B两点．
（2）同解法一中的（2）．
三、课后巩固(30分钟训练)
1．二次函数的二次项系数为2,它与x轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函数的解析式是( )
A．y=2(x－4)(x+2) B．y=2(x+4)(x－1) C．y=2(x－4)(x－1) D．y=2(x－4)(x+1)
解析：由二次函数两点式y=a(x－x1)(x－x2)，a=2,x1=1,x2=4即得.
答案：C
2．已知抛物线的顶点到x轴的距离为3，且与x轴两交点的横坐标为4、2，则该抛物线的关系式为__________________．
解析：已知两个特殊点及一个关系,可用y=a(x－x1)(x－x2)或一般式求其解析式．
∵抛物线与x轴交于（4，0），（2，0），
∴设y=a(x－4)(x－2)=a(x2－6x+8)=ax2－6ax+8a．
顶点到x轴距离为3，即顶点纵坐标为3或－3，
∴=3或=－3.
解得a=－3或a=3．∴y=－3x2+18x－24或y=3x2－18x+24．
答案：y=－3x2+18x－24或y=3x2－18x+24
注意：顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况.
3．求下列二次函数与x轴的交点：
(1) y=x2+4x－5; (2) y=－x2+x+2; (3) y=x2－3x; (4)y=x2－6x+10.
解析：令y=0,求解关于x的一元二次方程．
答案：（1）（1，－5）;（2）（－1，2）;（3）（0，3）;（4）不存在.
注意：顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况．
4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围.
解:（1）设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把点A(1,0)、B(2,1)和c=m代入解析式中,得
所以，解析式为y=x2－x+m(m≠－1)．
（2）二次函数与x轴有两个相异的交点，即
Δ=b2－4ac=()2－4m()>0，
解得m≠1.又m≠－1,得m≠±1.
5．如图26－2－2，抛物线y=(x+1)2－2，

图26－2－2
（1）设此抛物线与x轴交点为A、B（A在B的左边），请你利用图象求出A、B两点的坐标；
（2）有一条直线y=x－1，试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标；
（3）P是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P，使S△ABP=2?若存在,则有几个这样的点P?并写出它们的坐标．
解析：（1）读图易得;（2）画图精确度要高一点;（3）设P点坐标为（a，b）,
则△ABP中AB边上的高为b，而|b|=1,代入抛物线解析式可求得P点坐标．
解：（1）A（－3,0），B（1,0）．
（2）交点坐标为（1,0）和（－1，－2）．

（3）设P点坐标为（a，b）,则△ABP中，AB边上的高为｜b｜，
又S△ABP=2,从而得|b|=1.把b=1,b=－1分别代入抛物线解析式可求得P点坐标分别为
P(－1,1);P(－1,1);P(－1,－1);P(－1,－1)．
6．已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5．
（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点，且点P的横坐标为，试用含a的代数式表示点P的纵坐标；
(3)设A,B两点的距离d=·｜x1－x2｜,试用含a的代数式表示d.
解：（1）将y=ax+5代入y=2x2,消去y得2x2－ax－5=0,
∵Δ=(－a)2－4×2×(－5)=a2+40>0，∴方程有两个不相等的实数根．
∴不论a取何值，抛物线与直线一定有两个不同的交点．
（2）∵x1、x2是方程2x2－ax－5=0的两个根,∴x1+x2=,x1x2=．
点P的纵坐标为(x1+x2)+5=·+5=+5．
（3）∵x1+x2=,x1x2=．
∴｜x1－x2｜=.
∴d==.
7．画出函数y=x2－4x－3的图象，根据图象回答下列问题：
（1）图象与x轴交点的坐标是什么？
（2）方程x2－4x－3=0的解是什么？
（3）不等式x2－4x－3>0，x2－4x－3<0的解是什么？
解：图象如图所示．

（1）x1≈4.6，x2≈－0.65，
∴抛物线与x轴交点坐标为（4.6，0），（－0.65，0）．
（2）x1≈4.6，x2≈－0.65．
（3）不等式x2－4x－3>0的解为x<－0.65或x>4.6；
不等式x2－4x－3<0的解为－0.65<x<4.6．
8．某医药研究所进行某一新药研发，经过大量的服用试验知：成年人按规定剂量服用后，每毫升血液中药物含量y微克（1微克=10－3毫克）,随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合，并测得服用时每毫升血液中药物含量为0微克，服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中药物含量为7．5微克．
（1）试求出y与x的函数关系，并画出0≤x≤8内的图象．
（2）求服用后几小时，才能使每毫升血液中药物含量最大？并求出血液中的最大药物含量.
（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少？（有效时间是血液中药物含量不为0的总时间）
解：（1）由题意得，函数图象经过（0，0），（2，6），（3，7.5），将它们代入y=ax2+bx+c,
得解之,得所以y=－x2+4x．
（2）y=－x2+4xy=－（x－4）2+8，
所以x=4时，y最大=8．
（3）当y=0时,x1=8,x2=0（舍去）．
答案：（1）y=－x2+4x;（2）服药4小时后含药量最大，此时最大含药量为每毫升血液中8微克;（3）8小时．
9．已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2－4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2－5x+6及图象(如图26－2－3)，可得出表中第2行的相关数据．

图26－2－3
y=x2+px+q
p
q
Δ
x1
x2
d
y=x2－5x+6
－5
6
1
2
3
1
y=x2－x

y=x2+x－2

－2

－2

3
(1)在表内的空格中填上正确的数；
(2)根据上述表内d与Δ的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2－4q>0)证明你的猜想.
解：(1)第二行q=0,x1=0；d=；第三行p=1,△=9，x2=1；
(2)猜想：d2=Δ.
例如：y=x2－x－2中,p=－1,q=－2,Δ=9;
由x2－x－2=0得x1=2，x2=－1,d=3,d2=9,
∴d2=Δ．
(3)证明:令y=0，得x2+px+q=0，∵Δ>0，
设x2+px+q=0的两根为x1,x2.则x1+x2=－p,x1·x2=q．
d2=(｜x1－x2｜)2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=(－p)2－4q=p2－4q=Δ.
10．已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；〔注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()〕
(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为23的两部分，请求出P点的坐标．

图26－2－4
解:（1）解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5,所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）．将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c,
得解这个方程组得
所以，抛物线的解析式为y=－x2－4x+5.
（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0，解这个方程得x1=－5,x2=1,
所以C点的坐标为（－5，0）．由顶点坐标公式计算得点D（－2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×(5－2)=，
S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，S△BOC=×5×5=，
所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC=14+－=15．
（3）设P点的坐标为（a,0），
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)，
PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)．
由题意，得①EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5).
解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）.
②EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5)，
解这个方程,得a=－或a=－5（舍去），P点的坐标为(－,0)或(－,0)．