三角形三线专题.doc

1.三角形的三线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的_，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_交于一点，这点称为三角形的_（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的_叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线_交于一点，这点称为三角形的_（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的_叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高_交于一点，这点称为三角形的_；锐角三角形的三条高线及垂心都在其_，直角三角形的垂心是_，钝角三角形的垂心和两条高线在其_一选择题（共9小题）1如图，在ABC中，BC边上的高是、在BCE中，BE边上的高、在ACD中，AC边上的高分别是（）AAF、CD、CEBAF、CE、CDCAC、CE、CDDAF、CD、CE2下列说法中正确的是（）A三角形三条高所在的直线交于一点B有且只有一条直线与已知直线平行C垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离3ABC中BC边上的高作法正确的是（）ABCD4如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D任意三角形5不一定在三角形内部的线段是（）A三角形的角平分线B三角形的中线C三角形的高D以上皆不对6已知AD是ABC的中线，且ABD比ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A2cmB3cmC4cmD6cm7下列说法中正确的是（）A三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部B三角形中至少有一个内角不小于60C直角三角形仅有一条高D三角形的外角大于任何一个内角8三角形的中线、角平分线、高都是线段；三条高必交于一点；三条角平分线必交于 一点； 三条高必在三角形内其中正确的是（）ABCD9（2015春无锡校级月考）下列说法正确的是（）三角形的角平分线是射线；三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；三角形的三条高都在三角形内部；三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分ABCD二填空题（共2小题）10如图，在ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则ABC的周长是cm11如图，在ABC中，BD平分ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE=cm，如果ABD=30，则ABC=三解答题（共10小题）12已知：MON=40，OE平分MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D设OAC=x（1）如图1，若ABON，则ABO的度数是；当BAD=ABD时，x=；当BAD=BDA时，x=（2）如图2，若ABOM，则是否存在这样的x的值，使得ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由13如图，在ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE=（2）BAD=（3）AFB=（4）SAEC=14如图（1），ABC中，AD是角平分线，AEBC于点E（1）若C=80，B=50，求DAE的度数（2）若CB，试说明DAE=（CB）（3）如图（2）若将点A在AD 上移动到A处，AEBC于点E此时DAE变成DAE，（2）中的结论还正确吗？为什么？15如图，AD是ABC的BC边上的高，AE是BAC的角平分线，（1）若B=47，C=73，求DAE的度数（2）若B=，C= （），求DAE的度数（用含、的代数式表示）16如图，ABC的周长为9，AD为中线，ABD的周长为8，ACD的周长为7，求AD的长17已知：如图，ABC中，AD、AE分别是ABC的高和角平分线，BF是ABC的平分线，BF与AE交于O，若ABC=40，C=60，求DAE、BOE的度数18如图（1），AD是ABC的高，如图（2），AE是ABC的角平分线，如图（3），AF是ABC的中线，完成下列填空：（1）如图（1），=90；SABC=；（2）如图（2），BAE=；（3）如图（3），BF=；SABF=19如图，完成下面几何语言的表达AD是ABC的高（已知）；ADBC，=AE是ABC的中线（已知），=，=2=2；AF是ABC的角平分线（已知），=，=2=220在ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：（1）当=时，有=；（2）当=时，有=；（3）当=时，有=；当=时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；若=，且AD=18，求AO点评：本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键已知ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是ABC的BC边上的中线，则ABD的面积ACD的面积（填“”“”或“=”）（2）如图2，若CD、BE分别是ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：SADO=SBDO，同理：SCEO=SAEO，设SADO=x，SCEO=y，则SBDO=x，SAEO=y由题意得：SABE=SABC=30，SADC=SABC=30，可列方程组为：，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由 答案一选择题（共9小题）1（2015楚雄州校级模拟）如图，在ABC中，BC边上的高是、在BCE中，BE边上的高、在ACD中，AC边上的高分别是（）AAF、CD、CEBAF、CE、CDCAC、CE、CDDAF、CD、CE考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可解答：解：在ABC中，BC边上的高是AF；在BCE中，BE边上的高CE；在ACD中，AC边上的高分别是CD；故选B点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键2（2015春东平县校级期末）下列说法中正确的是（）A三角形三条高所在的直线交于一点B有且只有一条直线与已知直线平行C垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：A正确，即三角形的垂心；B应有无数条因此错误；C在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行所以错误；D中语言错误线段不能叫距离解答：解：B中应为：有无数条直线与已知直线平行，故B错；C中应为：在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C错，D中应写成垂线段长度；A正确故选A点评：本题考查了三角形的垂心知识和一些几何基础知识，做题时注意严格对比概念3（2015春邢台期末）ABC中BC边上的高作法正确的是（）ABCD考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答解答：解：为ABC中BC边上的高的是D选项故选D点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键4（2015春昌乐县期末）如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D任意三角形考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据三角形高的定义知，若三角形的两条高都在三角形的内部，则此三角形是锐角三角形解答：解：利用三角形高线的位置关系得出：如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形故选：A点评：此题主要考查了三角形的高线性质，了解不同形状的三角形的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的三条高中，有两条是它的直角边，另一条在内部；钝角三角形的三条高有两条在外部，一条在内部5（2015春沙河市期末）不一定在三角形内部的线段是（）A三角形的角平分线B三角形的中线C三角形的高D以上皆不对考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据三角形的角平分线、中线、高线的定义解答即可解答：解：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高故选C点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键6（2015春莘县期末）已知AD是ABC的中线，且ABD比ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A2cmB3cmC4cmD6cm考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解解答：解：AD是ABC的中线，BD=DC，ABD与ACD的周长之差=（AB+AD+BD）（AC+AD+CD）=ABAC，ABD比ACD的周长大3cm，AB与AC的差为3cm故选B点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于ABAC是解题的关键7（2015春崇安区期中）下列说法中正确的是（）A三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部B三角形中至少有一个内角不小于60C直角三角形仅有一条高D三角形的外角大于任何一个内角考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质菁优网版权所有分析：根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断A；根据三角形的内角和定理判断B；根据三角形的高的定义及性质判断C；根据三角形外角的性质判断D解答：解：A、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误；B、如果三角形中每一个内角都小于60，那么三个角的和小于180，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确；C、直角三角形有三条高，故本选项错误；D、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项错误；故选B点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记定理与性质是解题的关键8（2015春深圳校级期中）三角形的中线、角平分线、高都是线段；三条高必交于一点；三条角平分线必交于 一点； 三条高必在三角形内其中正确的是（）ABCD考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据三角形的中线、角平分线、高的定义对四个说法分析判断后利用排除法求解解答：解：三角形的中线、角平分线、高都是线段，说法正确；三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故三条高必交于一点的说法错误；三条角平分线必交于一点，说法正确； 锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部故三条高必在三角形内的说法错误；故选：B点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线熟记概念与性质是解题的关键9（2015春无锡校级月考）下列说法正确的是（）三角形的角平分线是射线；三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；三角形的三条高都在三角形内部；三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分ABCD考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据三角形的角平分线的定义与性质判断与；根据三角形的高的定义及性质判断；根据三角形的中线的定义及性质判断即可解答：解：三角形的角平分线是线段，说法错误；三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部说法错误；三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确故选D点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线二填空题（共2小题）10（2014海南模拟）如图，在ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则ABC的周长是cm考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据三角形的中线定理：AB2+BC2=2（BE2+AE2），来求出BC的长度，然后再来求ABC的周长解答：解：在ABC中，BE是边AC上的中线，AB2+BC2=2（BE2+AE2），AE=AC，AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，BC=（cm），AB+BC+AC=（cm），即ABC的周长是cm点评：本题主要考查了三角形的中线定理11（2014春合川区校级期中）如图，在ABC中，BD平分ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE=5cm，如果ABD=30，则ABC=60考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据题意，E是边AC的中点，所以AE=AC，代入数据计算即可；根据角平分线的定义，ABC=2ABD，然后代入数据计算即可解答：解：BE是AC边上的中线，AC=10cm，AE=AC=10=5cm，BD平分ABC，ABD=30，ABC=2ABD=230=60故答案为：5；60点评：本题主要考查了三角形中线的定义以及三角形角平分线的定义，熟记定义并灵活运用是解题的关键，是基础题三解答题（共10小题）12（2015春邢台期末）已知：MON=40，OE平分MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D设OAC=x（1）如图1，若ABON，则ABO的度数是20；当BAD=ABD时，x=120；当BAD=BDA时，x=60（2）如图2，若ABOM，则是否存在这样的x的值，使得ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由考点：三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理菁优网版权所有专题：计算题分析：利用角平分线的性质求出ABO的度数是关键，分类讨论的思想解答：解：（1）MON=40，OE平分MONAOB=BON=20ABONABO=20BAD=ABDBAD=20AOB+ABO+OAB=180OAC=120BAD=BDA，ABO=20BAD=80AOB+ABO+OAB=180OAC=60故答案为：20 120，60（2）当点D在线段OB上时，若BAD=ABD，则x=20 若BAD=BDA，则x=35 若ADB=ABD，则x=50当点D在射线BE上时，因为ABE=110，且三角形的内角和为180，所以只有BAD=BDA，此时x=125 综上可知，存在这样的x的值，使得ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125点评：本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和13（2014秋剑川县期末）如图，在ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE=CE=BC（2）BAD=DAC=BAC（3）AFB=AFC=90（4）SAEC=3考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积菁优网版权所有分析：分别根据三角形的中线、角平分线和高及三角形的面积公式进行计算即可解答：解：（1）AE是中线，BE=CE=BC故答案为：CE，BC；（2）AD是角平分线，BAD=DAC=BAC故答案为：DAC，BAC；（3）AF是高，AFB=AFC=90故答案为：AFC，90；（4）AE是中线，AF是高，BE=2，AF=3，BE=CE=2，SAEC=CEAF=23=3故答案为：3点评：本题考查的是三角形的中线、角平分线和高，熟知三角形的中线、角平分线和高的性质是解答此题的关键14（2012春桑日县校级期中）如图（1），ABC中，AD是角平分线，AEBC于点E（1）若C=80，B=50，求DAE的度数（2）若CB，试说明DAE=（CB）（3）如图（2）若将点A在AD 上移动到A处，AEBC于点E此时DAE变成DAE，（2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理菁优网版权所有专题：动点型分析：（1）先根据三角形内角和定理求出BAC的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在ADC中，利用三角形内角和求出ADC的度数，从而可得DAE的度数（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用B和C表示出ADE，再根据三角形的内角和定理可证明DAE=（CB）解答：解：（1）在ABC中，BAC=180BC=1805080=50；AD是角平分线，DAC=BAC=25；在ADC中，ADC=180CDAC=75；在ADE中，DAE=180ADCAED=15（2）DAE=180ADCAED=180ADC90=90ADC=90（180CDAC）=90（180CBAC）=90180C（180BC）=（CB）（3）（2）中的结论仍正确ADE=B+BAD=B+BAC=B+（180BC）=90+BC；在DAE中，DAE=180AEDADE=18090（90+BC）=（CB）点评：本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键15（2012春都江堰市校级期中）如图，AD是ABC的BC边上的高，AE是BAC的角平分线，（1）若B=47，C=73，求DAE的度数（2）若B=，C= （），求DAE的度数（用含、的代数式表示）考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理菁优网版权所有分析：（1）根据三角形的内角和定理求出BAC的度数，再根据角平分线的定义求出BAE的度数，根据直角三角形两锐角互余求出BAD的度数，然后根据DAE=BADBAE计算即可得解；（2）根据（1）的思路，把度数换为、，整理即可得解解答：解：（1）B=47，C=73，BAC=1804773=60，AD是ABC的BC边上的高，BAD=9047=43，AE是BAC的角平分线，BAE=BAC=30，DAE=BADBAE=4330=13；（2）B=，C=，BAC=180，AD是ABC的BC边上的高，BAD=90，AE是BAC的角平分线，BAE=BAC=（180），DAE=BADBAE=90（180），=9090+，=（）点评：本题考查了三角形的角平分线，三角形的高线，以及三角形的内角和定理，仔细分析图形，观察出DAE=BADBAE，然后分别表示出BAD与BAE是解题的关键16如图，ABC的周长为9，AD为中线，ABD的周长为8，ACD的周长为7，求AD的长考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：先根据三角形的中线的定义求出BC=2BD=2CD，再根据三角形周长的定义得出AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，进而求出即可解答：解：AD是ABC的中线，BC=2BD=2CD，ABC的周长为9，AD为中线，ABD的周长为8，ACD的周长为7，AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）（AB+BC+AC）=8+79，2AD=6，AD=3点评：本题考查了三角形的中线，三角形的周长，关键是求出2AD=（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）（AB+BC+AC）=617已知：如图，ABC中，AD、AE分别是ABC的高和角平分线，BF是ABC的平分线，BF与AE交于O，若ABC=40，C=60，求DAE、BOE的度数考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：先根据三角形的内角和定理得到BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出DAC=BAC，而EAC=90C，然后利用DAE=DACEAC进行计算即可由三角形外角的性质求得AFO=80，利用三角形内角和定理得到AOF=50，所以对顶角相等：BOE=AOF=50解答：解：在ABC中，ABC=40，C=60，BAC=180BC=80AE是的角平分线，EAC=BAC=40AD是ABC的高，ADC=90在ADC中，DAC=180ADCC=1809060=30DAE=EACDAC=4030=10BF是ABC的平分线，ABC=40，FBC=ABC=20，又C=60，AFO=80，AOF=1808050=50，BOE=AOF=50点评：考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180也考查了三角形的高线与角平分线的性质18如图（1），AD是ABC的高，如图（2），AE是ABC的角平分线，如图（3），AF是ABC的中线，完成下列填空：（1）如图（1），ADB=ADC=90；SABC=；（2）如图（2），BAE=EAC=BAC；（3）如图（3），BF=FC=BC；SABF=SAFC考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理菁优网版权所有分析：（1）根据三角形的高的概念即可完成填空；（2）根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；（3）根据三角形的中线的概念即可完成填空解答：解：（1）如图（1），ADB=ADC=90；SABC=；（2）如图（2），BAE=EAC=BAC；（3）如图（3），BF=FC=BC；SABF=SAFC故答案为：ADB；ADC；EAC；BAC；FC；BC；SAFC点评：此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系19如图，完成下面几何语言的表达AD是ABC的高（已知）；ADBC，ADB=ADC=90AE是ABC的中线（已知），BE=CE=BC，BC=2BE=2CE；AF是ABC的角平分线（已知），BAF=CAF=BAC，BAC=2BAF=2CAF考点：三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据三角形的定义和垂直的定义解答；根据三角形的中线的定义和线段的中点的定义解答；根据三角形的角平分线和角平分线的定义解答解答：解：AD是ABC的高（已知）；ADBC，ADB=ADC=90AE是ABC的中线（已知），BE=CE=BC，BC=2BE=2CE；AF是ABC的角平分线（已知），BAF=CAF=BAC，BA=2BAF=2