解三角形题型5正余弦定理判断三角形形状.doc

解三角形题型5：正、余弦定理判断三角形形状
1、（2013·陕西高考文科·Ｔ9）设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 ( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
2、（2010上海文数）18.若△的三个内角满足，则△
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
4、在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。
5、在△ABC中，已知,那么△ABC一定是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
6、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ΔABC是______三角形.
7、在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形
8、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
9、（2010辽宁文数17）在中，分别为内角的对边，
且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状.
10、在中，已知,判断该三角形的形状。
11、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b2=ac； ②b2tanA=a2tanB；
③sinC=④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).

题型5：正、余弦定理判断三角形形状答案
1、【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向.
【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得
sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,
sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形.
2、解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得，所以角C为钝角
3、解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、 c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大．
而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A
4、解：由正弦定理得：，，。
所以由可得：，即：。
又已知，所以，所以，即，
因而。故由得：，。所以，△ABC
为等边三角形。
5、B解析：2sinAcosB＝sinC =sin（A＋B）=sinAcosB+cosAsinB
∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
另解：角化边
点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径
6、纯角
9、解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
又，得
因为，
故 所以是等腰的钝角三角形。
10、【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：

由正弦定理，即知

由，得或
即为等腰三角形或直角三角形
方法二：同上可得
由正、余弦定理，即得：

即
或
即为等腰三角形或直角三角形
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）
11、分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
，
. 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②由
∴A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△. ③，由正弦定理：再由余弦定理：
. ④由条件变形为
.
∴△ABC是等腰△或Rt△.