广东中山一中物理竞赛模拟训练试卷三.doc

模拟训练试卷（3）
1．水平桌面上有一半径为R的固定光滑圆环形轨道，在桌面上距圆心R／2处开有一小孔，劲度系数为、质量可略的弹性绳一端固定在孔的正下方某处，在绳处于自由长度状态时绳的另一端恰好位于小孔处。将绳从孔中拉出，在端点上连接质量为m的光滑小球，将小球嵌在圆环轨道内，使其可在环内无摩擦地运动。设开始时小球与孔的距离为R／2，且具有初速，如图所示。
(1) 为使小球能绕圆轨道连续不停运动，试求的取值范围；
(2) 假设为上问所取范围的下限，小球将在何处停住? 在这之前，小球到孔的距离为何值时，轨道对小球的支持力指向圆心朝里? 为何值时，该支持力为零?为何值时，该支持力背离圆心朝外？

2．如图所示，在一车厢底部固定一个半径为R的光滑半圆柱，圆柱面顶部有一质量为m的小球。设车厢始终在水平地面上匀速向右运动，速度大小为。开始时小球相对车厢静止，而后滑下，直至滑离柱面，计算此过程中柱面支持力对小球所作总功

3．冰的密度记为，海水密度记为，有。
(1)高为H的圆柱形冰山碎块竖立在海水中，将其轻轻按下，直到顶部在水面下方处，而后让它在竖直方向上自由运动。略去运动方向上的所有阻力，试求冰块运动周期。
(2) 金字塔形(四棱锥形)的冰山浮在海水中，平衡时塔尖离水面高度为，试求冰山自身高度H和冰山在平衡位置附近作竖直方向小振动的周期。

4．一种单原子理想气体经历的准静态过程，在PV坐标面上对应的过程线向左平移V0量后恰为T。等温线，试讨论按图所示方向行进的该过程中吸、放热区域的划分。已知该理想气体每摩尔升温l K，内能增量为。

5．如图所示，有—长为、宽为、高为的矩形管，图中斜线的前后两侧面为金属板，上、下面为绝缘板。用导线将两金属板相连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为的水银流过矩形管，流速为。设管中水银的流速与管两端压强差成正比，已知流速为时的压强差为。在垂直于矩形管上、下平面的方向上加一匀强磁场，磁感应强的方向已在图中示出，求加磁场后水银的流速

6．田字形电阻丝网络如图所示，每一小段电阻丝的电阻均为R，试求网络中A、B两点间的等效电阻 。

7．图中的矩形ABCD代表一个折射率为n的透明长方体，其四周媒质的折射率为l，一束单色细光束以角入射至AB面上的P点，。不考虑光在长方体内的二次及二次以上的多次反射，试解下面三个问题。
(1) 若要求此光束进入长方体后能射至AD面上，角θ的最小值应为多大?
(2) 若要求此光束能在AD面上全反射，角应在什么范围内? 长方体的折射率n应在什么范围内?
(3)画出角小于上问中许可的最小角及大于上问中许可的最大角时的光路图。

8．用低能中子束检验重力引起的物质波干涉的实验如图所示，由A入射的中子束沿等长的两条路径ABCEF和ABDEF在E点会合时可产生干涉。三块互相平行、能使中子束部分反射、部分透射的晶片是从一块平薄的单晶片上切下来的。为了改变重力势能的影响，整个装置能绕水平直线ABD旋转，旋转角记为，规定支路ABCEF在水平面内时＝0。参量、已在图中给出。

（1）证明由于重力势能的影响，在E点会聚的两束中子波之间的位相差可表述成

式中为A点入射中子束的初始波长，是为一常量。在此假定与中子经典动能相比，重力势能变化是小量。
（2）设 、、 ，当从变到900时，试问在此变化过程中F处的中子计数器能记录到多少次极大?
已知： 中子质量 ， 为真空光速
， 为普朗克常量

模拟训练试卷（3）解答
1．(1)设小球与孔相距r时速度为，如图37所示。据能量守恒有

r越大，越小。最大的r＝3R／2，若此处>0，则小球可连续不停地作圆周运动。据此要求
即得这就是的取值范围。
(2) 若取下限那么小球将在处停住。
在这之前，参考图37，有

其中为弹性力，N为轨道对小球朝外的支持力。由上述两式可得

因 有
代入N表述式后，可得
因此，当 时，N<0,N指向圆心朝里；
当时，N=0 当 时，N>0,N背离圆心朝外。
2．车厢为惯性系，小球下滑到图38中的角方位时相对车厢
的速度记为，若此时恰好滑离柱面，则有
据此可得 若小球朝右滑下，即如图38所示，
那么相对地面参照系有

若小球朝左滑下，则仍有 相对地系面参照有

3．(1)开始时冰块受向上合力
式中S为冰块圆截面积。冰块获得向上的匀加速度

冰块顶部上升到水面所经时间为
此时速度达到
冰块顶部上升水面上方处时，所受向上合力为

设到达高处力干衡．则有
引入以平衡点为原点、竖直向上的y坐际，即有 则

这是—个线性恢复力．冰块将作简谐振动，振动表述式为

振动速度为
振动的初位置和初速度分别为
即有
因

可解得
经时间，冰块顶部上升到平衡位置上方振幅处(此时冰块顶部在水面上方处)，冰块速度减为零，满足下述关系：

即有……
=1对应最小的非零值，为 计算可得

而后，冰块将竖直下落，故竖直向上运动时间为
因运动方向上的阻力均被略去，冰块下落运动为上升运动的
逆过程，所经时间与相同。这样，便得冰块运动周期为
(2)金字塔形冰山的正方形底面边长记为，所受重力大小为
冰山排开海水体积为
对应浮力为
平衡时 即可解得
建立竖直向下的y轴，冰山从平衡位置沿y轴偏移y小量时，所受浮力为

冰山沿y轴正方向的合力便为
这是一个线性恢复力。考虑到冰山的质量为

因此冰山作简谐振动的角频率可算得为
小振动周期为
4．据已给的关系，此过程在PV坐标面上的过程方程为
与理想气体状态方程 联立，消去V，可得
V的取值范围为
这一过程中的每个小过程吸热量为
因过程方向指明恒为正，故可将均改用表示。由
可得

将代得
再由前面已导得的T—P关系式，可得
将上述两式代入表述式，即得
因此，

5．.加磁场后，水银(液态导体)固有运动速度，会产生沿着宽边方向的感应电动势，从而在横向形成电流，它将使水银柱受到阻碍其流动的纵向安培力。的存在使水银柱两端
面之间产生附加的压强差P，于是水银柱两端面之间的合成压强差从原来的P。成为新的。流速也将从原来的改变为新的。
对于平衡后新的流速，产生的感应电动势为
水银柱中形成的横向电流为
式中R是水银柱的电阻，为
代入上两式，得
水跟柱所受安培力的方向与水银流速反向，大小为
使水银柱两端面之间形成反向的附加压强差为
故两端面之间合成的压强差为
因压强差与流速成正比，有
代入上式，即可解得流速为
6．对于从A端流入、B端流出的电流流动方式，这一网络并不具有直观的对称性。但若是根据电流的可叠加性，将电流I从A点流入B点流出的方式，处理为电流I从A点流入、O点(网
络中心)流出的方式与电流I从O点流入、B点流出的方式的叠加，那么后两种方式均具有对称性，于是便将原不对称的问题转化成了对称性的问题。

电流I从A点流入、O点流出的电流分布如图39所示。从A点流入的电流I对称地分流，即得
因对称性，BCD部分无电流。由电阻并联倍数关系，很易得
电流I从O点流入、B 点流出的电流分布如图40所示。利用对称性，不难算得(过程从略)
图39和图40所示的两种对称性电流分布，叠加成图41所示的原网络电流分布，则有
A、B间电压便为 即得所求RAB为
7．(1)若要求光束进入长方体后能到达AD面，折射光至少 需能射至D点，如图42所示。由图可知
便需满足
即得

(2)设长方体内射至AD面上的光束的入射角为时，其折射角为／2，如图43所示，即为全反射的临界角。于是有
今欲发生全反射，要求图43中的与的关系为
改取图43中的角，则有
即要求
据折射定律 ，便得 即
但角最小为，故欲在AD面上全反射，角应取

上式中有解的条件是 即
另一方面．为确保在
范围内sin有解，要求 即
因此可取范围为
（3）角较（2）问中许可的最小角还要小时，光路如图44所示。
角较（2）问中许可的最大角还要大时，光路如图45所示。这一情况发生的条件是

8．(1)由于重力的影响，中子在B点的动能大于在C点的动能，因此中子通过BC段时的动量大于通过CE段的动量．波长也就不同。
对于BC、DE两段，因中于在B、D两点的动能相同，在C、E两点的动能也相同，因此在这两段中动能的变比相同，波长的变化也相同．其间不会产生附加位相差。
在E点的位相差便为
其中 为中子束在BD段的波长，为中子束在CE段的波长
故 。
因中子动能很低，不考虑相对论效应，有
其中为C、B之间的高度差。由波粒二象性公式，可得
代入到前面的表述式，可得
前面的能量公式也可表述为
因重力势能差很小，与相差也就很小，近似有
便有
再将 代入，得
即为A点入射中子束的初始波长，因此有

（2）从变到时，从-1变到1，从变到
又因 将已给数据代入，可得
故 因此能记录到21次极大。

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