2015中考压轴题静态几何之四边形问题专题试题有答案.docx

中考压轴题中静态几何之四边形问题，涉及到平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形等所有特殊四边形，选择填空解答题型都有体现。 一. 平行四边形问题 原创模拟预测题1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 原创模拟预测题2. 如图，已知 ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F。 （1）若PF＝ PE，PE＝ ，EO＝1，求∠EPF的度数； （2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，PE＝PF，BF ＝BC＋ －4，求BC的长。 【答案】（1）连接PO , ∵PE⊥AC，PE＝3，EO＝1， ∴在Rt△PEO中， tan∠EPO＝ ＝ ，且PO=2。 ∴ ∠EPO＝30°。 ∵PF⊥BD，PF＝ PE＝ ， ∴在Rt△PFO中，cos∠FPO＝ ＝ 。 ∴ ∠FPO＝45°。 ∴∠EPF＝75°。 （2）∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP。 【考点】平行四边形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质。 【分析】（1）连接PO，利用解Rt△PEO求出∠EPO=30°，再解Rt△PFO求出∠FPO＝45°，从而得解。 （2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。 二. 矩形问题 原创模拟预测题3.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE=1，AF= ， AE、BF相交于点O，下列结论：（1）BF = AE；（2）AE⊥BF；（3） ；（4） 中正确的有【 】 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A。 【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理。 由△AOF∽△ADE得 ，即 ， ∴ 。 综上所述，结论（1），（2），（3），（4）都正确。故选A。 原创模拟预测题4.如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2， （1）求证：AE=EF； （2）延长EF交矩形∠BCD的外角平分线CP于点P（图2），试求AE与EP的数量关系； 【答案】（1）∵AE⊥EF，∴∠BEA+∠CEF=90°。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠C=90°。 ∴∠BAE +∠BEA =90°。∴∠BA E=∠CEF。 又∵AB=DC=6，BC=8，BE=2，∴AB=EC=6。 ∴△ABE≌△ECF（ASA）。 ∴AE=EF。 （2）如图，在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME。 ∴AM=CE。∴∠BME=45°。∴∠AME=135°。 ∵CP是外角平分线，∴∠ DCP=45°。∴∠ECP=135°。 ∴∠AME=∠ECP。 由（1）知∠MA E=∠CEP， ∴△AME∽△ECP。∴ 。 ∵AM=2，EC=3，∴ 。 ∴AE与EP的数量关系是 。 【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，外角平分线定义，相似三角形的判定和性质。 三. 菱形问题 原创模拟预测题5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，OB=OD， ∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB， ∴△OED≌△OFB， ∴DE=BF， 又∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形．
【解析】 四. 正方形问题 原创模拟预测题6.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M在边AD上，且AM= AD，延长MD至点E，使ME=MB，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为 。 【答案】 。 【考点】正方形的性质，勾股定理。 原创模拟预测题7. 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的矩形，也是特殊的菱形.因此，我们可利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题.回答下列问题： （1）将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系的下图中. （2）要证明一个四边形是正方形，可先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的_______相等；或者先证明四边形是菱形，在证明这个菱形有一个角是________ . （3）某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S=0.5a2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明. 【答案】（1） （2）邻边，直角； （3）正确. 【解析】（1）此题考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理；有一个角是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的平行四边是菱形，邻边相等的矩形是正方形。所以平行四边形包括正方形，矩形和菱形，即是矩形和菱形的平行四边形是正方形，所以 五. 等腰梯形问题 原创模拟预测题8.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，且BD⊥DC，AB=AD=DC=4，则 =【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】平行的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】如图，过D作DE∥AB交BC于点E，连接AE，交BD于点O，则 原创模拟预测题9.如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=135°，AB=AE=2，DE=4，则五边形ABCDE的面积等于　 　。 【答案】 。 【考点】等腰梯形、等腰直角三角形的判定和性质，转换思想的应用。 ∵DE=4，AB=4，∴EG=DG= ，BF=BC=2。∴DF=AE+2DG= 。 ∴S五边形ABCDE=S梯形AFDE�S△BCF= 。　 六.直角梯形问题 原创模拟预测题10.如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝1，AB＝ ，在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°，当点E是AB的中点时，线段DF的长度是　 　。 【答案】 。 【考点】直角梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，过E点作EG⊥DF，∴EG＝AD＝1。 原创模拟预测题11.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整，原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若 ＝3，求 的值． (1)尝试探究： 在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是________， CG和EH的数量关系是________， 的值是________． (2)类比延伸： 如图2，在原题条件下，若 ＝m(m＞0)则 的值是________(用含有m的代数式表示)，试写出解答过程． (3)拓展迁移： 如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F，若 ＝a， ＝b(a＞0，b＞0)则 的值是________(用含a、b的代数式表示)． 【答案】(1)AB＝3EH　CG＝2EH　 　(2) 　(3)ab＋1 【解析】(1)依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如图1′所示，则有△ABF∽△EHF 图1′ ∴CG＝2EH，∴ ＝ ＝ ＝ (2)如图2′所示，作EH∥AB交BG于点H， 图2′ (3)如图3′所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD

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