2015广东省东莞市高一上期末数学试卷A卷解析版.doc

2015-2016学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A卷）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，设集合A={2，4，5}，集合B={1，2，3，4}，则（CUA）∩B=（　　）
A．{2，4} B．{1，3} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，6，7}
2．下列图形中，不可作为函数y=f（x）图象的是（　　）
A． B． C． D．
3．设A={x|x是锐角}，B=（0，1）．从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素30°相对应的B中的元素是（　　）
A． B． C． D．
4．直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于（　　）
A．或B．或C．或D．或
5．下列四个命题：
①平行于同一平面的两条直线相互平行
②平行于同一直线的两个平面相互平行
③垂直于同一平面的两条直线相互平行
④垂直于同一直线的两个平面相互平行
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．在平面直角坐标系内，一束光线从点A（﹣3，5）出发，被x轴反射后到达点B（2，7），则这束光线从A到B所经过的距离为（　　）
A．12 B．13 C． D．2
7．下列不等关系正确的是（　　）
A．log43＜log34 B．log3＜log3
C．3D．3＜log32
8．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（　　）
A． B．8π C． D．4π
9．已知a，b为异面直线，a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β=m，则直线m（　　）
A．与a，b都相交 B．至多与a，b中的一条相交
C．与a，b都不相交 D．至少与a，b中的一条相交
10．如图，Rt△A′O′B′的直观图，且△A′O′B′为面积为1，则△AOB中最长的边长为（　　）

A．2B．2C．1 D．2
11．已知圆O1：（x+1）2+（y﹣3）2=9，圆O2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，则这两个圆的公共弦长为（　　）
A． B． C． D．
12．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．[，2） C．（1，） D．（1，]

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．计算： =　　　　　　．
14．一条线段的两个端点的坐标分别为（5，1）、（m，1），若这条线段被直线x﹣2y=0所平分，则m=　　　　　　．
15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为　　　　　　．

16．已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]的图象如，给出下列四个命题：
（1）方程f[g（x）]=0有且仅有6个根
（2）方程g[f（x）]=0有且仅有3个根
（3）方程f[f（x）]=0有且仅有5个根
（4）方程g[g（x）]=0有且仅有4个根
其中正确命题是　　　　　　．

三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知集合A={x|x≤﹣2或x＞1}关于x的不等式2a+x＞22x（a∈R）的解集为B．
（1）当a=1时，求解集B；
（2）如果A∩B=B，求实数a的取值范围．
18．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，﹣1），C（4，2）．
（1）求直线CD的方程；
（2）求平行四边形ABCD的面积．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO=2，M为PD中点．
（1）证明：AD⊥平面PAC；
（2）求三棱锥M﹣ACD的体积．

20．经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散．用f（x）表示学生的注意力，x表示授课时间（单位：分），实验结果表明f（x）与x有如下的关系：f（x）=．
（1）开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长的时间？
（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？
21．设f（x）=mx2+（m+4）x+3．
（1）试确定m的值，使得f（x）有两个零点，且f（x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；
（2）若m=﹣1时，在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）﹣a＞0成立，求a的取值范围．
22．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x）≥M成立，则称f（x）是D上的有下界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界．已知函数f（x）=（a＞0）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（2）求函数f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合．

2015-2016学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，设集合A={2，4，5}，集合B={1，2，3，4}，则（CUA）∩B=（　　）
A．{2，4} B．{1，3} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，6，7}
【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案．
【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，
∴CUA={1，3，6，7}，
又B={1，2，3，4}，
∴（CUA）∩B={1，3}．
故选：B．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．

2．下列图形中，不可作为函数y=f（x）图象的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由函数的概念，C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义．
【解答】解：由函数的概念，C中有的x，存在两个y与x对应，
不符合函数的定义，
ABD均符合．
故选：C
【点评】本题考查函数的概念的理解，属基本概念的考查．解答的关键是对函数概念的理解．

3．设A={x|x是锐角}，B=（0，1）．从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素30°相对应的B中的元素是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接由映射概念结合三角函数的求值得答案．
【解答】解：∵A={x|x是锐角}，B=（0，1），且从A到B的映射是“求余弦”，
由，
可得与A中元素30°相对应的B中的元素是．
故选：A．
【点评】本题考查映射的概念，考查了三角函数的值，是基础题．

4．直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于（　　）
A．或B．或C．或D．或
【分析】圆心到直线的距离等于半径，求解即可．
【解答】解：圆的方程（x﹣1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径或者
故选C．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．

5．下列四个命题：
①平行于同一平面的两条直线相互平行
②平行于同一直线的两个平面相互平行
③垂直于同一平面的两条直线相互平行
④垂直于同一直线的两个平面相互平行
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①平行于同一平面的两条直线相互平行，由线线的位置关系判断；
②平行于同一直线的两个平面相互平行，由面面的位置关系判断；
③垂直于同一平面的两条直线相互平行，由线面垂直的性质判断；
④垂直于同一直线的两个平面相互平行，由线面垂直的性质判断．
【解答】解：①平行于同一平面的两条直线相互平行，此命题错误，两条直线平行于同一平面，则两者的关系是相交、平行、异面都有可能．
②平行于同一直线的两个平面相互平行，此命题错误，平行于同一直线的两个平面可能平行也可能相交；
③垂直于同一平面的两条直线相互平行，此命题正确，由线面垂直的性质知，两条直线都垂直于同一个平面，则两线平行；
④垂直于同一直线的两个平面相互平行，此命题正确，垂直于同一直线的两个平面一定平行．
综上③④正确
故选C
【点评】本题考查平面的基本性质及推论，解题的关键是有着较好的空间想像能力以及对空间中点线面的位置关系的情况掌握得比较熟练，本题考查了推理论证的能力

6．在平面直角坐标系内，一束光线从点A（﹣3，5）出发，被x轴反射后到达点B（2，7），则这束光线从A到B所经过的距离为（　　）
A．12 B．13 C． D．2
【分析】利用反射原理可知反射光线经过A（﹣3，5）关于x轴的对衬点A′（﹣3，﹣5），从而可求得答案．
【解答】解：∵A（﹣3，5）关于x轴的对衬点A′（﹣3，﹣5），
由反射原理可知反射光线经过A′（﹣3，﹣5），
设入射光线与x轴相交于M，
则这束光线从A到B所经过的距离为：
|AM|+|MB|=|A′M|+|MB|=|A′B|===13．
故选B．
【点评】本题考查直线关于点关于直线对称的问题，考查转化思想与推理运算的能力，属于中档题．

7．下列不等关系正确的是（　　）
A．log43＜log34 B．log3＜log3
C．3D．3＜log32
【分析】直接利用指数式和对数函数的性质逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：∵log43＜1，log34＞1，∴log43＜log34，A正确；
∵log3=﹣1，log3=﹣log23＜﹣1，∴log3＞log3，B错误；
∵，∴，C错误；
∵3＞1，log32＜1，∴3＞log32，D错误．
故选：A．
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数和对数函数的运算性质，是基础题．

8．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（　　）
A． B．8π C． D．4π
【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．
【解答】解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1
球的半径为：R=
所以球的表面积：4πR2=4π×=8π
故选B．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．

9．已知a，b为异面直线，a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β=m，则直线m（　　）
A．与a，b都相交 B．至多与a，b中的一条相交
C．与a，b都不相交 D．至少与a，b中的一条相交
【分析】a∥m，b∩m=A，满足题意；m与a、b都不相交，则a，b平行，与异面矛盾；m可以与a、b都相交，交点为不同点即可．
【解答】解：对于A，a∥m，b∩m=A，满足题意，故A不正确；
对于B，m与a、b都不相交，则l与a、b都平行，所以a，b平行，与异面矛盾，故B不正确；
对于C，m可以与a、b都相交，交点为不同点即可，故C不正确；
对于D，由A，B，C的分析，可知D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．

10．如图，Rt△A′O′B′的直观图，且△A′O′B′为面积为1，则△AOB中最长的边长为（　　）

A．2B．2C．1 D．2
【分析】求出O′A′=A′B′=，O′B′=2，从而在△AOB中，OA=2O′A′，OB=O′B′，且OA⊥OB，由此能求出△AOB中最长的边长．
【解答】解：如图，Rt△A′O′B′的直观图，且△A′O′B′为面积为1，
∴设O′A′=A′B′=x，则=1，
解得O′A′=A′B′=，∴O′B′==2，
∴△AOB中，OA=2O′A′=2，OB=O′B′=2，且OA⊥OB，
∴OB==2．
∴△AOB中最长的边长为2．
故选：C．

【点评】本题考查三角形中最长边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面图形直观图的性质的合理运用．

11．已知圆O1：（x+1）2+（y﹣3）2=9，圆O2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，则这两个圆的公共弦长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由点到直线的距离公式求出一个圆的圆心到该弦的距离，用弦心距、弦的一半，半径建立的直角三角形求出弦的一半，即得其长．
【解答】解：两圆的方程作差得6x﹣8y+12=0，即3x﹣4y+6=0，
∵圆C1：（x+1）2+（y﹣3）2=9，故其圆心为（﹣1，3），r=3
圆到弦所在直线的距离为d==
弦长的一半是=
故弦长为．
综上，公共弦所在直线方程为3x﹣4y+6=0，弦长为．
故选：A．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长，属于中档题．

12．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．[，2） C．（1，） D．（1，]
【分析】由＞0可知f（x）在R上是增函数，且f（x）在（﹣∞，0]上的最大值小于f（x）在（0，+∞）上的最小值．列出不等式组解出．
【解答】解：∵＞0恒成立，∴f（x）在定义域上是增函数，
∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，∴2﹣a＞0，即a＜2．且f（0）=3a﹣4．
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴a＞1，且x→0+时，f（x）→1，
∵f（x）在R上是增函数，∴3a﹣4≤1，解得a≤．
综上，a的取值范围是（1，]．
故选：D．
【点评】本题考查了分段函数的单调性，需要特别注意f（x）在不同定义域上最值的大小关系，属于中档题．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．计算： =　﹣2　．
【分析】根据对数的运算法则，将式子化简合并，再结合常用对数的性质即可得到原式的值．
【解答】解：原式=﹣lg4﹣lg25
=﹣lg（4×25）=﹣lg100=﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题着重考查了常用对数的定义和对数的运算性质等知识，属于基础题．

14．一条线段的两个端点的坐标分别为（5，1）、（m，1），若这条线段被直线x﹣2y=0所平分，则m=　﹣1　．
【分析】由已知得这条线段的中点（，1）在直线x﹣2y=0上，由此能求出m．
【解答】解：∵一条线段的两个端点的坐标分别为（5，1）、（m，1），
这条线段被直线x﹣2y=0所平分，
∴这条线段的中点（，1）在直线x﹣2y=0上，
∴，解得m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．

15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为　（12+2）π　．

【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，
∴在轴截面中圆锥的母线长是，
∴圆锥的侧面积是，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，
圆柱的高是2，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×2=12π
∴空间组合体的表面积是，
故答案为：
【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．

16．已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]的图象如，给出下列四个命题：
（1）方程f[g（x）]=0有且仅有6个根
（2）方程g[f（x）]=0有且仅有3个根
（3）方程f[f（x）]=0有且仅有5个根
（4）方程g[g（x）]=0有且仅有4个根
其中正确命题是　（1）（3）（4）　．

【分析】把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．
【解答】解：∵在y为[﹣2，﹣1]时，g（x）有两个自变量满足，在y=0，y为[1，2]时，g（x）同样都是两个自变量满足
∴（1）正确
∵f（x）值域在[﹣1，2]上都是一一对应，而在值域[0，1]上都对应3个原像，
∴（2）错误
同理可知（3）（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点评】本题考查了复合函数的对应问题，做题时注意外层函数的定义域和内层函数值域的对接比较．

三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知集合A={x|x≤﹣2或x＞1}关于x的不等式2a+x＞22x（a∈R）的解集为B．
（1）当a=1时，求解集B；
（2）如果A∩B=B，求实数a的取值范围．
【分析】（1）当a=1时，利用指数函数的单调性，求解集B；
（2）如果A∩B=B，B⊆A，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵2a+x＞22x，a=1，
∴1+x＞2x，
∴x＜1，
∴B=（﹣∞，1）；
（2）∵2a+x＞22x，
∴a+x＞2x，
∴x＜a，
∴B=（﹣∞，a），
∵A∩B=B，
∴B⊆A，
∴a≤﹣2．
【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

18．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，﹣1），C（4，2）．
（1）求直线CD的方程；
（2）求平行四边形ABCD的面积．

【分析】（1）由平行四边形ABCD的性质求出CD的斜率，由此能求出直线CD的方程．
（2）求出点A（0，0）到直线CD的距离d和|CD|=|AB|，由此能求出平行四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，﹣1），C（4，2），
∴=﹣，
∴直线CD的方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），
整理，得x+2y﹣8=0．
（2）点A（0，0）到直线CD的距离d==，
|CD|=|AB|==，
∴平行四边形ABCD的面积：
S平行四边形ABCD=|CD|•d==8．

【点评】本题考查直线方程的求法，考查平行四边形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO=2，M为PD中点．
（1）证明：AD⊥平面PAC；
（2）求三棱锥M﹣ACD的体积．

【分析】（1）由PO⊥平面ABCD可得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC可知△ACD是直角三角形，AC⊥AD．故AD⊥平面PAC；
（2）由M为中点可知M到底面的距离为PO，把△ACD看做棱锥的底面，则棱锥的高为，代入体积公式计算．
【解答】证明：（1）∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=45°，∴AD⊥AC．
∵PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴PO⊥AD，又∵AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，
∴AD⊥平面PAC．
（2）∵M是PD的中点，∴M到平面ABCD的距离d=PO=1．
S△ACD==．
∴三棱锥M﹣ACD的体积V=S△ACD•d==．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．

20．经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散．用f（x）表示学生的注意力，x表示授课时间（单位：分），实验结果表明f（x）与x有如下的关系：f（x）=．
（1）开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长的时间？
（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？
【分析】（1）根据f（x）在各段上的单调性可判断计算出答案．
（2）解不等式求出学生注意力不低于55的持续时间即可．
【解答】解：（1）当0＜x≤10时，f（x）是增函数，fmax（x）=f（10）=59，
当16＜x≤30时，f（x）是减函数，f（x）＜f（16）=59．
∴开始授课10分钟后，学生的注意力最集中，能维持6分钟．
（2）当0＜x≤10时，令f（x）=5x+9≥55，解得≤x≤10．
当10＜x≤16时，f（x）=59＞55．
当16＜x≤30时，令f（x）=﹣3x+107≥55，解得16＜x≤．
∴学生注意力不低于55的持续时间为﹣=＜10．
∴老师能不能在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题．
【点评】本题考查了分段函数的应用，分类讨论思想．属于基础题．

21．设f（x）=mx2+（m+4）x+3．
（1）试确定m的值，使得f（x）有两个零点，且f（x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；
（2）若m=﹣1时，在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）﹣a＞0成立，求a的取值范围．
【分析】（1）f（x）为二次函数，令△＞0得出m的取值范围，根据根与系数得关系用m表示两根的绝对值，求出新函数的最小值即可．
（2）求出f（x）在[0，λ]上的最大值fmax（x），则a＜fmax（x）．
【解答】解：（1）∵f（x）有两个零点，∴，解得m≠0．
设f（x）的两个零点为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．
∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣=﹣+1=16（﹣）2+．
∴当m=8时，∴|x1﹣x2|2取得最小值．∴|x1﹣x2|的最小值为．
（2）当m=﹣1时，f（x）=﹣x2+3x+3，f（x）的对称轴为x=．
①若0，则fmax（x）=f（λ）=﹣λ2+3λ+3，
②若，则fmax（x）=f（）=．
∵在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）﹣a＞0成立，∴a＜fmax（x）．
综上，当0时，a的取值范围是（﹣∞，﹣λ2+3λ+3）；
当时，a的取值范围是（﹣∞，）．
【点评】本题考查了二次函数的零点个数与系数的关系，二次函数的单调性与最值，属于中档题．

22．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x）≥M成立，则称f（x）是D上的有下界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界．已知函数f（x）=（a＞0）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（2）求函数f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可；
（2）通过定义证明函数f（x）在区间[lna，+∞）上是增函数，求出函数的最小值，从而求出满足条件的集合即可．
【解答】解：（1）函数f（x）=（a＞0）是R上的偶函数，f（﹣x）=f（x），
即（ex﹣e﹣x）=a（﹣）=a（ex﹣e﹣x）在R恒成立，
∴=a，解得：a=1，（a＞0），
（2）在[lna，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣a=（﹣）•，
∵y=ex是增函数，lna≤x1＜x2，
∴﹣＜0，∴x1+x2＞2lna=lna2，
∴＞=a2，∴﹣a2＞0，
∵a•＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在[lna，+∞）上是增函数，
∴f（x）min=f（lna）=+=2，
∴函数f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合是（﹣∞，2]．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查函数单调性的定义的应用，是一道中档题．