东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学理试题word版.doc

哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2014年高三第一次高考模拟考试理 科 数 学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A．R
B．
C．
D．
2．若复数z满足iz = 2 + 4i，则复数z =
A．2 + 4i
B．2 - 4i
C．4 - 2i
D．4 + 2i
3．在的二项展开式中，第二项的系数为
A．10
B．-10
C．5
D．-5
4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①，②，③，④，
则输出的函数是
A．
B．
C．
D．
5．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：
① 若m∥n，n∥α，则m∥α；
② 若m∥β，α∥β，则m∥α；
③ 若m⊥n，n⊥α，则m∥α；
④ 若m⊥β，α⊥β，则m∥α。
其中正确命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
6．等差数列的前n项和为Sn，若a2 + a4 + a6 = 12，则S7的值是
A．21
B．24
C．28
D．7
7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
8．
A．0
B．
C．
D．
9．变量x，y满足约束条件若使z = ax + y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是
A．
B．
C．
D．
10．一个五位自然数，，，当且仅当a1 > a2 > a3，a3 < a4 < a5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为
A．110
B．137
C．145
D．146
11．双曲线的右焦点为，以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为，则双曲线C的离心率为
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，若存在k使得函数的值域是，则实数a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若向量a，b满足，，且a与b的夹角为，则__________。
14．若，则__________。
15．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________。
16．已知数列的通项公式为，前n项和为Sn。若对于任意正整数n，不等式恒成立，则常数m所能取得的最大整数为__________。
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且。
（1）求内角B的余弦值；
（2）若，求ΔABC的面积．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA = 2，AD = DC = 1。
（1）若点E在SD上，且AE⊥SD，证明：AE⊥平面SDC；
（2）若三棱锥S—ABC的体积，求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值大小。

19．（本小题满分12分）
某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：
API

空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：

试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
附：
P(K2 ≥ k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

非重度污染
重度污染
合计
供暖季

非供暖季

合计

100
20．（本小题满分12分）
椭圆的离心率为，且经过点。直线与椭圆M交于A，C两点，直线与椭圆M交于B，D两点，四边形ABCD是平行四边形。
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点D；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值。
21．（本小题满分12分）
已知函数（e为自然对数的底数）。
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在函数，使得成立成立，求实数t的取值范围。
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）
选修4 – 1：几何证明选讲
如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ = ∠PBC。求证：
（1）；
（2）ΔADQ ∽ ΔDBQ。
23．（本小题满分10分）
选修4 – 4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点，倾斜角为
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值。
22．（本小题满分10分）
选修4 – 5：不等式选讲
设函数。
（1）求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式在上无解，求实数t的取值范围。

2014年东北三省三校第一次高考模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
A
D
C
D
B
B
D
A
B
二、填空题
13．
14．
15．4π
5
三、解答题
17．解：(Ⅰ)
……………………….2分
………………………4分
又因为
所以……………………….6分
(Ⅱ) ……………………….8分
S
A
D
C
B
E
x
y
z
又因为……………………….10分
所以……………………….12分
18．(Ⅰ)证明：侧棱底面，底面
. ……………………….1分
又底面是直角梯形，垂直于和
,又
侧面,……………………….3分
侧面

平面……………………….5分
(Ⅱ) 连结,底面是直角梯形，垂直于和,
,,设，则，三棱锥,.……………………….7分
如图建系，则,由题意平面的一个法向量为，不妨设平面的一个法向量为，
,则,得，不妨令，则……………………….10分
,……………………….11分
设面与面所成二面角为，则……………………….12分
19．解：
（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A……1分
由，得，频数为39，……3分
……………………….4分
（Ⅱ）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染
重度污染
合计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
合计
85
15
100
……………………….8分
K2的观测值……………………….10分
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分
20．解：
（Ⅰ）依题意有，又因为，所以得
故椭圆的方程为. ……3分
（Ⅱ）依题意，点满足
所以是方程的两个根.
得
所以线段的中点为.
同理，所以线段的中点为.……………………….5分
因为四边形是平行四边形，所以
解得，或(舍).
即平行四边形的对角线和相交于原点. ……7分
（Ⅲ）点满足
所以是方程的两个根，即
故.
同理，. ……………………….9分
又因为，所以，其中.
从而菱形的面积为
，
整理得，其中.……………………….10分
故，当或时，菱形的面积最小，该最小值为. ……12分
21． 解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，……………………….2分
∴当时，，当时，。
∴在上单调递增，在上单调递减。……………………….4分
（Ⅱ）假设存在，使得成立，则。
∵
∴………………………6分
① 当时，，在上单调递减，∴，即。
……………………….8分
②当时，，在上单调递增，∴，即。
……………………….10分
③当时，
在，，在上单调递减
在，，在上单调递增
所以，即——
由（Ⅰ）知，在上单调递减
故，而，所以不等式无解
综上所述，存在,使得命题成立. ………………………12分
22．证明：
（Ⅰ）连结.因为△∽△，所以.
同理.
又因为，所以，即. ……5分
（Ⅱ）因为，，
所以△∽△，即.
故.
又因为，
所以△∽△. ……10分
23．解：（Ⅰ）圆C：，直线l：……………………….5分
（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程可得，……………………….8分
设是方程的两个根，则，所以……………………….10分

24．解：
（Ⅰ），
所以原不等式转化为 ……3分
所以原不等式的解集为………………….6分
（Ⅱ）只要，……………………….8分
由（Ⅰ）知解得或……………………….10分