湖北省黄冈市届高三月份质量数学试题理含答案.doc

黄冈市2017年高三年级3月份质量检测
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，若，是虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.下列四个结论：
①若，则恒成立；
②命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；
③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
④命题“”的否定是“”.
其中正确结论的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.《孙子算经》中有道算术题：“今有百鹿人城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；再每3户共分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如下，则输出的值是（ ）

A.74 B.75 C.76 D.77
5.某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）

A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A.或0 B.或0 C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，则的值为（ ）
A.3 B.2 C. D.
8.函数的图象大致是（ ）

A B C D
9.已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率恰好为，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知，则（ ）
A.2017 B.4034 C. D.0
11.如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成，构成四棱锥，若为线段的中点，在翻转过程中有如下4个命题：①平面；②存在某个位置，使；③存在某个位置，使；④点在半径为的圆周上运动，其中正确的命题个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.已知函数，如在区间上存在个不同的数，使得比值成立，则的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知两个平面向量满足，，且与的夹角为，则 ．
14.当实数满足不等式组：时，恒有成立，则实数的取值范围是 ．
15.如图，在中，，，点在线段上，且，，则的面积为 ．

16.设，在上恒成立，则的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.数列中，，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，若数列的前项和是，求证：.
18.在如图所示的几何体中，平面平面，四边形是菱形，是矩形，，，，是中点.

（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19.已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒，则在另外一组中逐个进行化验.
（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.
（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？
20.如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且.

（1）求圆的方程；
（2）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接、，求证：.
21.已知函数.
（1）若，恒有成立，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，斜率为.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.
23.已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.
黄冈市2017年三月高三年级调研考试
数学(理科)参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
B
C
A
B
D
C
C
C
B
13、 2 14、 15. 16. 2017．
17.【解析】(Ⅰ)由题设，数列是首项为2，公比的等比数列 ………………4分
所以，
(Ⅱ) ，注意对任意，
所以
所以
18.【解析】(Ⅰ)连结BD，由四边形是菱形，，是的中点. 所以，
因为四边形是矩形，平面⊥平面且交线为
所以平面，又平面，所以
又，所以平面；
又平面，所以平面平面；
(Ⅱ)方法1：由，，故，
因为四边形是矩形，平面⊥平面且交线为，，所以平面；以为原点，为轴建立如图所示的坐标系，则，，，，设（）
，，平面，平面的法向量为
设平面的法向量为，，，即，
取，，
假设在线段上存在点，使二面角的大小为．
则，所以点在线段上，符合题意的点存在，此时．

(Ⅱ) 方法2：如图所示，假设在线段上存在点，使二面角的大小为．
延长交于点则,过作于,连结．
因为四边形是矩形，平面⊥平面，
所以平面，又在平面内，所以．又,
所以，是二面角的平面角，
由题意，在中，,
.
由面积公式可得，所以
在中，，，
所以点在线段上，符合题意的点存在，此时．

19、【答案】（1）；（2）分布列见解析，；试题解析：（1）方案乙所需化验恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒,再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为,第二种,先化验一组，结果含病毒，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为.
所以依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为……………5分
（2）设方案甲化验的次数为，则可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费用为元,则
，，
，，

则其化验费用的分布列为

所以（元）.
所以甲方案平均需要化验费元………12分
考点：1、离散型随机变量及其分布列；2、离散型随机变量的期望与方差．
20．（Ⅰ）设圆的半径为， 依题意，圆心坐标为．
∵，∴，解得．
圆的方程为．
（Ⅱ）把代入方程，解得或，
即点，．
（1）当轴时，可知．
（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．
联立方程，消去得，．
设直线交椭圆于两点，则，．
∴
若，即
∵，∴．
21. （1）由，恒有成立，即，对任意成立,
记，，
当，单增；当，单减；最大值为，
所以
（2）函数有两个相异的极值点，即有两个不同的实数根．
①当时， 单调递增， 不可能有两个不同的实根；
②当时，设，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴，∴，
不妨设，∵，
∴，，，
先证，即证，即证，
令，即证，设，
则，函数在单调递减，
∴，∴，又，∴，
∴
考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数的综合应用．
22. 解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
点的极坐标为：，化为直角坐标为
直线的参数方程为，即 (为参数)
（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，
整理得：，
显然有，则，，
，，
所以
23.（1）当时，，，
上述不等式化为数轴上点到两点，距离之和小于等于1， 则，
即原不等式的解集为
（2）∵的解集包含，∴当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，∴，
即，∴在上恒成立，
∴，∴.

黄冈市2017年三月高三年级调研考试
数学(理科)参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
B
C
A
B
D
C
C
C
B
13、 2 14、 15. 16. 2017．
17.【解析】(Ⅰ)由题设，数列是首项为，公比的等比数列 ………………4分
所以 ……………6分
(Ⅱ) ，注意对任意，
所以 ……………………………8分
所以 …………12分
18.【解析】(Ⅰ)连结BD，由四边形是菱形，，是的中点. 所以DE⊥AB， …………………………2分
因为四边形是矩形，平面⊥平面且交线为AD
所以平面，又DE平面，所以DE⊥AM………………………4分
又AM∩AB=A，所以DE⊥平面ABM；又DE平面DEM，所以平面DEM⊥平面ABM；……………………6分
(Ⅱ)方法1：由DE⊥AB，AB//CD，故DE⊥CD，因为四边形是矩形，平面⊥平面且交线为AD，ND⊥AD，所以ND⊥平面；以D为原点，DE为X轴建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），N（0，0，1），设P（，-1，m）（）
，,ND⊥平面，平面ECD的法向量为，。。。。8分
设平面PEC的法向量为，，，即，取z=1, ,。。。。。。10分
假设在线段上存在点，使二面角的大小为．则所以点在线段上，符合题意的点存在，此时． …………………………12分

(Ⅱ) 方法2：如图所示，假设在线段上存在点，使二面角的大小为．
延长交于点则,过作于,连结．
因为四边形是矩形，平面⊥平面，
所以平面，又在平面内，所以．又,
所以，是二面角的平面角， ……………………………………8分
由题意，在中，,
.
由面积公式可得，所以.。。。。。。10分
在中，，,
所以点在线段上，符合题意的点存在，此时． …………………………12分

19、【答案】（1）；（2）分布列见解析，；试题解析：（1）方案乙所需化验恰好为次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒,再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为,第二种,先化验一组，结果含病毒，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为.
所以依据方案乙所需化验恰好为次的概率为……………5分
（2）设方案甲化验的次数为，则可能的取值为,对应的化验费用为元,则
,
,
………………9分
则其化验费用的分布列为

所以（元）.
所以甲方案平均需要化验费元………12分
考点：1、离散型随机变量及其分布列；2、离散型随机变量的期望与方差．

20．（Ⅰ）设圆的半径为， 依题意，圆心坐标为．
，解得．
圆的方程为．（4分）
（Ⅱ）把代入方程，解得或，
即点，．
（1）当 轴时，可知．（5分）
（2）当与x轴不垂直时，可设直线的方程为．
联立方程，消去得，．
设直线交椭圆于、两点，则， ．（7分）

若，即（9分）
，．（12分）
21. （1）由x>0,恒有成立，即对任意x>0成立，………1分
记H（x）=, H/（x）=，………………2分
当H(x)单增；当H(x)单减；H（x）最大值为，
所以……………5分
（2）函数有两个相异的极值点，即有两个不同的实数根．
①当时，单调递增，不可能有两个不同的实根；……………6分
②当时，设，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴，∴，……………8分
不妨设，∵，
∴
先证，即证，即证，
令，即证，设，…………9分
则，函数在单调递减，∴，∴，又，∴，
∴……………12分
考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数的综合应用．
22. 解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，…………2分
点的极坐标为：，化为直角坐标为……………3分
直线的参数方程为，即 (为参数)……………5分
（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，
整理得：，
显然有，则，………………8分
，所以………………10分
23.（1）当时，，上述不等式化为数轴上点x到两点-2(1)，2(1)距离之和小于等于1， 则，
即原不等式的解集为 ……………5分
（2）的解集包含当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，，
即在上恒成立，
……………10分