历年浙江省高等数学微积分竞赛工科类试题.doc
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1、04年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题(工科类)一 计算题(每小题15分,满分60分)1 计算:。解: 原式 其中原式.在课堂上作为一个典型的例子;2 计算:。解: 原式.其他想法: 原式后者, 看来做不下去了!3 求函数在上的最大、小值。解: 在圆内(开集), , 解得驻点, 但不在圆域内.在圆周上, 求的极值, 是条件极值问题.解得: 驻点,故最大值为, 最小值为.4 计算:,其中。这题不能用对称、奇偶性等性质来做!二(本题满分20分) 设,求.解: , 则,则两边对求阶导数,由莱布尼茨公式得:,令,得:,而,则 .三(本题满分20分) 设椭圆在点的切线交轴于点,设为从到的直线段,试
2、计算。解: 方程两边对求导得: , 则, 直线段的方程为: 令,则, .四(本题满分20分) 设函数连续,且,试证明:,。证明: 由于, 故, 无论怎么分、怎么取,存在且相等, 即,由于连续,故,;(理由说的不够充分)假设存在,使得,不妨设,则,由于函数连续,故在内存在最大、最小值分别为,显然,而与矛盾,故假设错误,即,。五(本题满分15分) 判别级数的敛散性。解:斯特林公式:极限形式:.故收敛.判别的敛散性: 证明: (1) 证明, 即1) 当, 显然成立;2) 假设时也成立,即;3) 当时, 而是单调递增数列, 而且有界(证明两个重要极限里第2个)., 而, 由夹逼定理得: .,而收敛,
3、由比较判别法得: 也收敛.六(本题满分15分) 设函数在上连续,证明:,。证明: .许瓦兹不等式:有限项情况:, (乘积和的平方小于等于平方和的乘积)可推广到可数情况: ;均值的形式: ;积分的形式: 2005年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题一、 计算题(每小题12分满分散60分)1 计算2 设可导,求常数的值3 计算4 计算5 求函数的值。二、 (本题满分20分)设在点二阶可导,且,求和的值。三、 (本题满分20分)证明:当时,四、 (本题满分20分)设,试比较A,B,C的大小。五、 (本题满分15分)设(1) 求;(2) 证明数列单调减少。六、 (本题满分15分)对下列分别说明是否
4、存在一个区间使,并说明理由。(1) (2) (3)2005年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题解答一1. 解 .2. 解:, ,因为在处连续,所以, ,由在处可导, ,于是.3. 解:.4. 解:, , .5. 解:当时,;当时,;当时,;当时,.二 解:;, ,所以.三 证明:令,;因为,;,; ,所以,进而,即得,.四 解: ; ,由于,得,利用,得,于是,故.五、设,.(1) 求; (2)证明数列单调减少.解:(1)显然 故有 .(2) , ,于是数列单调减少.六 解:(1),在上严格单调递增,欲使,必有,.考虑,所以存在区间,使.(3) 在上严格单调减少,欲使,必有,.,所以存在区间,使
5、得.(4) 在上严格递增,欲使,必须,.,此方程无实数解,故不存在区间,使得. 2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题一、 计算题(每小题12分,满分60分)1、计算.解: 。2、求.解: .3、求.解: .4、求过且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.解:令则,令所求平面方程为: ,在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则.解得: 即所求平面方程为: .二、(15分)设,问有几个实根?并说明理由.解: 当, 当, 且的增长速度要比来得快!所以无实根.三、(满分20分)求中的系数.解: 当时, 故中的系数为.四、(20分) 计算,其中是球面与平面的交线.解
6、: 而,故.五、(20分)设为非负实数,试证:的充分必要条件为.证明:必要性 由于,则, .充分性;要证明,只需证明: ,这里,若,不等式显然成立;即只需证明: ,而,故只要说明: ,即,当时,显然成立;假设当时,也成立,即;当时, . 六、(15分)求最小的实数,使得满足的连续函数都有.解: , 取,显然,而, 取,显然,而, 故最小的实数.2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) 一.计算题(每小题12分,满分60分)1、求.解: 。2、求.解: .3、求的值,使.解: 被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: , 解得: .4、计算.解: , 其中如右图.5、
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