数学分析第四学期试题.doc

试题（1卷）
一．填空（每小题3分，共15分）
1．若平面曲线由方程给出,且在点的某邻域内满足隐函数定理的条件,则曲线在点的切线方程为
；
2.含参量积分的求导公式为
；
3. 函数的表达式为 , ；
4.二重积分的中值定理为:若在有界闭区域上连续,则存在
,使 ；
5.当时，曲面积分的物理意义是：
.
二.完成下列各题(每小题5分,共15分)
1.设,求;
2. 设 求 ;
3. 求积分.
三.计算下列积分(每小题10分,共50分)
1. ,其中为曲线的一段;
2.,其中为圆在第一象限的部分，并取逆时针方向;
3．作适当变换计算,
其中;
4. ,其中是由与围成的区域;
5.,其中为圆锥面被平面截取的部分.
四.应用高斯公式计算,其中为球面的外侧. (10分)
五.求全微分的原函数. (10分)

试题（2卷）
一．填空（每小题3分，共15分）
1．若曲面S由方程给出,且在点
的某邻域内满足隐函数定理的条件,则曲面S在点
处的切平面方程为 ；
2.若在上 ,且含参量反常积分在上 ,则在上连续；
3.函数的表达式为
,；
4.二重积分的中值定理为:若在有界闭区域上连续,则存在,使得 ；
5.曲线积分的物理意义是：
.
二.完成下列各题(每小题5分,共15分)
1.设,求;
2. 设 求 ;
3. 设 , 求 .
三.计算下列积分(每小题10分,共50分)
1. ,其中为螺旋线
的一段;
2. ,其中为摆线从到的一段;
3.作适当变换计算,其中是由所
围区域;
4.,其中是由及所
围区域;
5. ,其中为上半球面.
四. 应用高斯公式计算 ,其中为立体的边界曲面的外侧. (10分)
五.应用斯托克斯公式计算 ,其中为平
面与三坐标面的交线,并取逆时针方向. (10分)
分析试题（三）
一、 填空题（每题3分，共30分）
1． 已知，则 ① 。
2． ② 。
3． 含参量积分在上不一致收敛的一个充要条件是 ③ 。
4． 若，则= ④ 。
5． 若为圆域：，则= ⑤ 。
6． 写出斯托克斯公式 ⑥ 。
7． 已知，则 ⑦ 。
8． 若为平面上封闭曲线，为任意方向向量，为曲线的外法线方向，则 ⑧ 。
9． 空间有界区域可求体积的一个充要条件是 ⑨ 。
10． 是椭球体，则
⑩ 。
二、 计算题（每题8分，共40分）
1. 计算第一型曲线积分，其中为螺旋线：
，，的一段。
2. 计算第二型曲线积分，其中为，方向取逆时针。
3. 计算二重积分，其中为轴，，和围成的有界闭区域。
4. 计算第一型曲面积分，其中
={，}。
5. 计算，其中为圆锥曲面
被平面，所截部分的外侧。
三、 证明题（每题10分，共30分）
1．利用二重积分证明，并由此导出。
2. 设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为常数。
（1） 证明：对上半平面内任意分段光滑简单闭曲线，有。
（2） 求的表达式。
3. 证明含参量非正常积分，对任意上一致收敛，而在上不是一致收敛的。

试题3参考答案和评分标准

四、 填空题（每题3分，共30分）
1．
2．
3． ，，，，有
。(注：此题解答不唯一)
4．
5．

7．
8．0
9．的边界的体积为0。 (注：此题答案不唯一)
10．
五、 计算题（每题8分，共40分）
(第一个等号4分，后面两个等号各2分。)
2. 解：，
于是有。（2分）
作圆，方向取逆时针。有格林公式知
（4分）
从而
。（8分）
3. 解：令，则。由题意知。（2分）
（4分）
故
。（8分）
4. 解：考虑到被积函数在曲面上积分，被积函数关于x,y都为偶函数，又曲面关于xoz,yoz平面对称，则

其中为中的部分。曲面的方程为（）。将向yoz平面投影得矩形区域：
（4分）
故由计算公式有：

5. 解：设为圆锥的底面，由高斯公式知
令，则。

而
故。（8分）
六、 证明题（每题10分，共30分）
1． 证：
令，

显然。（2分）

从而
取极限得 。（6分）
在函数中，令，则有

令，即得。（10分）
2. 证 在上任意取两点，将分成两部分和，以为两端点绕原点作分段光滑简单闭曲线，使得与不相交。由题意得
，（2分）
于是
从而
。（5分）
令 ，
则

于是
化简得 ，于是。代入上式得，于
是（10分）
3. 证 作变量替换，则。因
收敛，故，当时，有
取，当时，有，从而
。（5分）
所以，对任意上一致收敛。
因不连续，故在上不是一致收敛的。（10分）
分析试题（4）
一 、简述题（每小题10分，共30分）
1 含参变量反常积分一致收敛的Cauchy收敛定理。
2 Green公式的内容及意义。
3 n重积分的概念。
二 计算题（每小题10分，共50分）
1．计算积分，其中C为椭圆，沿逆时针方向。
2．已知 其中存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求关于的二阶偏导数。
3．求椭球体的体积。
4．若为右半单位圆周，求。
5．计算含参变量积分()的值。
三、 讨论题（每小题10分，共20分）
1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。试讨论积分
在每一个固定的处的一致收敛性。
2 讨论函数的连续性，其中在上是正的连续函数。
附：参考答案4
一、 叙述题（每小题10分，共30分）
1 含参变量反常积分关于在上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的， 存在与无关的正数， 使得对于任意的，
成立。
2 Green公式：设为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数在上具有连续偏导数，那么
，
其中取正向，即诱导正向。
Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。
3．设为上的零边界区域，函数在上有界。将用曲面网分成个小区域（称为的一个分划），记为的体积，并记所有的小区域的最大直径为。在每个上任取一点，若趋于零时，和式

的极限存在且与区域的分法和点的取法无关，则称在上可积，并称此极限为在有界闭区域上的重积分，记为
。
二 、计算题（每小题10分，共50分）
1 解 令则
.
2 解 令则

，.故

即

3 解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。
作广义极坐标变换
（）。
这时椭球面化为
。
又 ，于是

。所以椭球体积
。
4 解 的方程为：。由，

符号的选取应保证，在圆弧段上，由于，故
而在圆弧段上，由于，故
所以
。
5 解 。当时，由于
，
故为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。

。
于是，当时，（常数）。但是，，故，从而。
三 讨论题（每小题10分，共20分）
1 解 设为任一不为零的数，不妨设。取，使。下面证明积分在内一致收敛。事实上，当时，由于
， 且积分

收敛，故由Weierstrass判别法知积分

在内一致收敛，从而在点一致收敛。由的任意性知积分在每一个处一致收敛。
下面说明积分在非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域有：，有
。
由于
，
故取，在中必存在某一个，使有
，
即

因此，积分在点的任何邻域内非一致收敛，从而积分在时非一致收敛。
2．解 当时，被积函数是连续的。因此，为连续函数。
当时，显然有。
当时，设为在上的最小值，则。由于
及
，故有
。所以，当时不连续。

分析试题5
一、填空题（每小题5分，共20分）
1.若平面区域由曲线围成，则 .
2.设为任一条不含原点在内的闭曲线，则 .
3.曲面积分 .（指向外侧）.
4.设曲线是的交线，则＝ .
二 、计算题（每小题10分，共50分）
1．求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。
2．求平面，圆柱面，锥面所围成的曲顶柱体的体积。
3．计算三重积分
。
其中 。
4 利用含参变量积分的方法计算下列积分
。
5 计算其中为上半椭球面
定向取上侧.
三、 证明题（每小题15分，共30分）
1．若及证明不等式
2．证明关于在上一致收敛，但在上非一致收敛.
试题5答案
一、填空题（每小题5分，共20分）
1、3 2、0 3、4 4、2
二、计算题（每小题10分，共50分）。
解： 设，
它们在处的偏导数和雅可比行列式之值为：
和
， ， 。
所以曲线在处的切线方程为：
，即
法平面方程为
，即
。
2 解： 其体积

3 解

4 解：首先，令，则，在积分中，再令
，其中为任意正数，即得再对上式两端乘以
，然后对从到积分，得

注意到积分次序可换，即得

由于故
5 利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为

易得
因此
三、证明题（每小题10分，共20分）
1．证明 考虑函数在条件下的极值问题，设
解方程组

可得从而如果时，则结论显然成立.
2．证明 首先证在上一致收敛. 由于

因而一致有界，而是的单调减少函数且由于与无关，因此这个极限关于是一致的，于是由Dirichelt判别法知在上一致收敛.
再证在上非一致收敛. 对于正整数，取，这时

只要取则对于任意总存在正整数满足取，这时成立

由Cauchy收敛原理知在上非一致收敛.

分析试题6
一 、选择题（每小题6分，共30分）
1、设是第二象限内的一个有界必区域，而且，记
，，，则的大小顺序是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、设是由平面与三个坐标面围成四面体的表面并取外侧则曲面积分
（ ）
A、的表面积 B、的体积 C、 D、
3.曲面在点处的切方程是平面（ ）
4.积分变换顺序后为（ ）
5.设为球面（ ）

二、 计算题（每小题10分，共50分）
1．求，此处为联结三点的直线段。
2．计算二重积分。
其中 是以和为边的平行四边形。
3．一页长方形白纸，要求印刷面积占，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为，左部与右部之和为，试确定该页纸的长和宽，使得它的总面积为最小。
4．计算三重积分
。
其中是椭球体。
5．计算含参变量积分的值。
三 讨论题（每小题10分，共20分）
1 已 知，试确定二阶偏导数与的关系。
2 讨论积分的敛散性。

分析试题6答案
一 、 选择题（每小题6分，共30分）
1、C 2、D 3、C 4、B 5、0
二 计算题（每小题10分，共50分）
1.解: 。
在直线段上得

在直线段上得

在直线段上得
所以 。
2．解 .
3．解 由题意，目标函数与约束条件分别为与作Lagrange函数则有

由此解得

于是有
并且易知它是极小值点.
4．解 由于 ，
其中 ，
这里表示椭球面
或 。
它的面积为 。
于是 。
同理可得 ，
。
所以 。
5．计算含参变量积分的值。
解 因为，所以。注意到在域：上连续。又积分对是一致收敛的。事实上，当时，，但积分收敛。故积分是一致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得
。
从而得
。
三 讨论题（每小题10分，共20分）
1 当时， 。
，
，
，
，
于是，当时，。
当时， 。
2．首先注意到
。
若，则当充分大时，从而当充分大时函数是递减的，且这时
。
又因（对任何），故收敛。
若，则恒有，故函数在上是递增的。于是，正整数，有

常数，
故不满足Cauchy收敛准则，因此发散。

分析试题7
一、 单选题：（20分每小题4分）
1、积分关于参变量在（ ）
A.处不收敛 B.处不收敛
C.上一致收敛 D.上不一致收敛
2、如果在区域上连续，则函数
在[0，1]上（ ）
A.可微 B.连续 C.不连续 D.不可微
3、设是定义在平面光滑曲线L：上的连续函数，则（ ）
A . B.
C.
D.
4．如果D是平面上可求面积的有界闭区域，则以下结论正确的是（ ）
A．区域D上的有界函数是可积的。
B．凡在D上有定义的函数一定是可积的。
C．区域D上的不连续函数当然不可积。
D．区域D上的连续函数一定可积。
5．设是由所围成的正方
体，则 （ ）
A . B.
C． D.
二、填空题（20分每小题4分）
1．
2．椭球面在处的切平面方程是
3． 。
4． 。
5．若s是球面则： 。
三、计算（任选4题，每小题12分，共48分）
1．求：
2．计算：
3．试讨论方程组在点的附近能否确定形如的隐函数组？
4．求：其中V为由与所围区域。
5．计算：，其中S是球面被平面所截的顶部。