第七届学用杯全国数学知识应用竞赛八年级初赛试题AB卷及答案.doc

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
八年级初赛试题（A）卷
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
题号
一
二
三
四
总分
得分

温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧，愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷。

一、选择题（每小题6分，共30分）
1．我们知道：太阳的温度很高，其表面温度大概有6 000℃，而太阳中心的温度更是达到了惊人的19 200 000℃，其实，对于具有一定质量的恒星来说，它的核心部分的温度总是随着年龄的增长而逐渐升高的，天文学家估算，有些恒星中心温度最高可以达到太阳中心温度的312.5倍，请你用科学记数法表示出这些恒星中心的温度为（　　）
A．6.0×℃ B．6.0×℃
C．6.0×℃ D．6.1×℃
2．岩岩家住在人民广场附近，她经常看到有好多人把自行车存到广场旁边．有一次她问看自行车的老大爷，得知当天的存车量为6 882辆次，其中普通自行车的存车费是每辆次0.2元，电动自行车的存车费是每辆次0.5元，且到19∶00以后，两种存车费都要翻倍．已知该天普通自行车19∶00之前的存车量为5 180辆次，19∶00之后的存车量为335辆次，其总收入为电动自行车的1.5倍．那么电动自行车在晚19∶00前和19∶00后的存车量各有（　　）
A．1 072辆次、294辆次 B．1 174辆次、193辆次
C．973辆次、394辆次 D．1 173辆次、254辆次
3．期中考试过后，李老师把八年级一班60名学生的成绩进行了统计，制成了如图1所示的统计图，其中60分以下的人数和90分以上的人数一样多，而其它三个分数段（60—70，70—80，80—90）的频率分别是0.15、0.35、0.30．按学校规定成绩在80分以上（含80分）为优秀，那么这次考试中成绩优秀的学生有（　　）
A．20人 B．24人 C．25人 D．27人

4．小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整（　　）
A．13分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．16分钟
5．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（　　）
A．8 000，13 200 B．9 000，10 000
C．10 000，13 200 D．13 200，15 400
二、填空题（每小题6分，共30分）
6．小龙乘坐商场的自动扶梯下楼，他以每步一级的速度往下走，结果走了30步就到楼下，猛然发现，由于匆忙包丢在购物处了，接着他又以下楼时速度的3倍冲上楼梯，结果走了90步才到楼上，当电梯停下时，露在外面的电梯一共有　　　　级．
7．如图2，是一玻璃盛水容器，高度为45厘米，现容器中水面高度为15厘米，如图2（1）所示，现将容器口密封并倒置此容器后，如图2（2）所示，这时水面高度为25厘米，已知，此容器最多可盛水700毫升，那么此时容器中水的体积为　　　　毫升．

8．“爱心”教育基金会资助某山村学校13 440元，其中七、八年级的学生平均每人60元，七、八年级的每位学生都接受了资助；九年级每个学生100元，但九年级学生有40%因家庭条件好而未接受资助．则该学校一共有　　　　名学生．
9．如图3所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为　　　　cm．

10．你看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图4，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC=　　　　cm．
三、解答题（本大题共60分）
11．（本题10分）去年在德国举行的“世界杯”足球赛吸引了世界各国球迷的目光，不知道你对足球比赛的积分规则了解多少呢？最为常用的足球比赛的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．现在知道，有一支足球队在某个赛季共需比赛16场，现已比赛了9场，输了2场，得19分．
请问：
（1）前9场比赛中，这支球队共胜了多少场？
（2）这支球队打满16场比赛，最高能得多少分？
（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满16场比赛，得分不低于34分，就可以达到预期的目标．请你分析一下，在后面的7场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？

12．（本题15分）2008年北京奥运会的主会场——鸟巢年底就要竣工了，也许你也知道它全都是利用优质钢筋焊接而成的．也许你会为它骄傲，为它自豪．可是你是否知道为了节约钢筋，还有许多科学道理呢？如图5就是从长为40cm，宽为30cm的矩形钢板的左上角剪下一块长为20cm、宽为10cm的矩形后剩下的一块脚料，工人师傅为了节约，要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件再重新使用．
（1）请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图5（2）和图5（3）中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得的正方形，保留拼接的痕迹）；
（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好些？说说你的看法和理由．也为建设节约型社会做出一点贡献！

13．（本题15分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风（圣帕）于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图6所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：
（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

14．（本题20分）如图7是一测力器，在不受力的自然状态下， 测力器弹簧MN为40cm（如图7（1））；当被测试者将手掌放在点P处，然后尽力向前推， 测力器弹簧MN的长度会随着受力大小的不同而发生变化，此时测力器的刻度表的指针所指的数字就是测试者的作用力；图7（2）是测力器在最大受力极限状态时，测力器弹簧MN的最小长度为8cm；　　　　图7（3）、图7（4）是两次测试时，测力器所展现的数据状态；已知测力器弹簧MN的长度y （cm）与受力x（N）之间存在一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当指针指向300时，MN的长是多少?
（3）求该测力器在设计时所能承受的最大作用力是多少?

三、开放题（本题30分）
15．材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估计好比分母．分母越大，则分数的值越小．”
材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的张凯同学失学了．班长说：“唉，分母变小了，分数值增大了”．
请你针对上述两个材料就“分子与分母”这个话题，结合你身边的实例，谈谈你对分母变大，分数值变小的理解．

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛八年级
初赛试题（A）卷参考答案
一、选择题（每小题6分，共30分）
1．B
2．B
3．B
4．C（提示：从8∶30到12∶00共三个半小时，在这三个半小时内闹钟共慢了14分钟，平均每小时慢4分钟，所以慢钟与正常钟走时之比为，慢的闹钟从11点46分走到12点整，按慢钟来计要走14分钟，因此若按准时的钟来计就要15分钟了．）
5．C（提示：由题设可知A、B、C三市派往D市的运输车的辆数分别是、、（）辆，派往E市的运输车的辆数为，，，
则总运费
．依题意有，解之，得，当时，元，当时，元．故选C．）
二、填空题（每小题6分，共30分）
6．60（提示：设往下走时，人走一步电梯往下走级，则有，解得，所以电梯的级数为（级）．）
7．300（提示：由图可知，瓶中水的体积和空的部分之比为．又知此容器的容积为700毫升，所以水的体积为300毫升．）
8．224（提示：资助九年级学生每人100元，但有40%的学生没有接受资助，这样九年级所有学生的平均钱数也是每人60元，而七、八年级每人60元，即整个学校每个学生平均能得到60元，所以该校学生总人数为（人）．）
9．52（提示：设的较长直角边为，短直角边为，斜边为，依题意有，．又由勾股定理得，所以，故徽标的外围周长．）
10．25（提示：因为，所以可设，则，在中，根据勾股定理可得：，解得．即机器人行走的路程为25cm）．
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．解：（1）设这个球队胜x场，则平了（）场．
根据题意，得．
解之，得．
所以前9场比赛中，这个球队共胜了6场．
（2）打满16场比赛最高能得（分）．
（3）由题意知，以后的7场比赛中，只要分不低于15分即可．
所以胜不少于5场，一定达到预期目标，而胜4场、平3场，正好达到预期目标．所以在以后的比赛中这个球队至少要胜4场．
12．（1）图1和图2即为所作图．

（2）图1中第一种分割方案较好，因为分割的块数较少．但焊接处和图2中第二种方案一样长．
13．解：（1）该城市会受到台风影响．
理由：如图3，过点A作于D点，
则即为该城市距离台风中心的最短距离．
在中，因为．
∴（千米）．
由题可知，距台风中心在（千米）以内时，则会受到台风影响．
因为120＜200，因此该城市将会受到“圣帕”影响．
（2）依题（1）可知，当点A距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC上作；台风中心从点E移动到点F处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图4）
由勾股定理得，（千米）．
所以（千米）．
又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动．
所以台风影响该城市（小时）．
（3）该城市受台风影响最大风力7.2级．
14．（1）设函数解析式为，由于图象过点（200，30）（100，35）．
所以　　　　解之得．
∴．
（2）当时，代入解析式得．
∴当指针指向300时， MN的长是25cm．
（3）当时，代入解析式得．
∴该测力器所能承受的最大作用力是640N．
四、开放题（本题30分）
15．略．

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
八年级初赛Ｂ．卷试题

一、选择题（每小题6分，共30分）
1．图1是石家庄市中华大街与二环路交叉口的转盘示意图．在周日某时段车流高峰期，单
位时间内进出路口A，B，C，D的机动车数量如图1所示，请你计算该高峰期单位时间内通过路段（假设单位时间内，在上述路段中，同一路口驶入与驶出的车辆数固定）车辆最多的是（　　）
     Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

2．手工课上，小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了．于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为 （　　）
     Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
3．骑电动自行车出行是很多人的选择，电动自行车比脚踏自行车省力，比摩托车环保， 可谓好处多多，当然价格居高不下也是因为这些好处．受市场影响，某品牌同种价位的电动车在三个商场都进行了两次提价（第二次提价的百分比是以第一次提价后的价格为基础的），A商场第一次提价的百分比为x，第二次提价的百分比为y；B商场两次提价的百分比都是；C商场第一次提价的百分比为y，第二次提价的百分比为x，如果，则提价最多的商场是 （　　）
     Ａ．A商场 Ｂ．B商场 Ｃ．C商场 Ｄ．无法确定
 4．小张和小李听说某商场在“十·一”期间举行特价优惠活动，两人约好前去购物，当他们到的时候，只剩两种商品还在搞特价，每件商品单价分别是8元和9元，于是他们各自选购了这两种商品数件，已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花了172元，请问两人共购买了几件商品 （　　）
     Ａ．18件 Ｂ．19件 Ｃ．20件 Ｄ．21件
 5．师范大学学生张丽、王云、李玲三人一起去银行柜员机取钱，张丽取款一次，王云取款两次，李玲取款三次，假设每取款一次所用时间相同，请问她们三人按什么样的顺序取款，才能使三人所花总时间最少（包括等待时间）（　　）
Ａ．张丽，王云，李玲 Ｂ．李玲，张丽，王云
Ｃ．张丽，李玲，王云 Ｄ．王云，李玲，张丽

  二、填空题（每小题6分，共30分）
  6．如图3，有一楼梯每一阶的长度、宽度与增加的高度都一样．有一工人在此楼梯的一侧贴上大小相同的正方形磁砖，第一阶贴了4块，第二阶贴了8块，……，依此规律共贴了144块磁砖后，刚好贴完楼梯的一侧．则此楼梯共有　　　　　阶．

7．华云中学在20周年校庆时，有100位老同学聚会，他们中有73人家住河北省内，有78人住在城市里，有68人购买了住房，95人有笔记本电脑，假设至少有x人和不超过y人住在河北省的城市里，且有自己的住房和笔记本电脑，则　　　，　　　．
 8．小李家有一块四边形菜地ABCD，这块菜地里有一口井O，从O向四边的中点挖了四条水渠，分别是OE，OF，OG，OH，把四边形菜地分成四块（如图4所示），已知四边形AEOH的面积等于30，四边形EOFB的面积为40，四边形OFCG的面积为50，那么请你算一算四边形DGOH的面积是　　　　．
9．学校田径运动会快要举行了，小刚用自己平时积攒的零花钱买了一双运动鞋，他发现鞋码与脚的大小不是的关系，爱动脑筋的他就想研究一下，到底鞋码与脚的大小是怎样一种关系，于是小刚回家量了量妈妈36码的鞋子，内长是23cm，量了量爸爸42码的鞋子，内长是26cm，又量了量自己刚买的鞋子内长是24.5cm，他认真思考，觉得鞋子内长x与鞋子号码y之间隐约存在一种一次函数关系，你能帮助小刚求出这个一次函数关系式吗？
　　　　，并说出小刚刚买的鞋是　　　　码．
 10．长期以来，地域偏远、交通不便一直是制约经济发展的重要因素，“要想富，先修路”，某地政府为实施辖区内偏远地区的开发，把一条原有铁路延伸了一段，并在沿途建立了一些新车站，因此铁路局要印制46种新车票，这段铁路线上新老车站加起来不超过20个．请问该地一共新建了　　　个车站，原有　　　　个车站．
 三、解答题（每小题15分，共60分）
 11．如图5（1），某住宅小区有一三角形空地（三角形ABC），周长为2 500m，现规划成休闲广场且周围铺上宽为3m的草坪，求草坪面积．(精确到1)

 由题意知，四边形AEFB，BGHC，CMNA是3个矩形，其面积为2 500×3，而3个扇形EAN，FBG，HCM的面积和为×32，于是可求出草坪的面积为7 500＋9π≈7528（）．
     （1）若空地呈四边形ABCD，如图5(2)，其他条件不变，你能求草坪面积吗？若能，请
你求出来；若不能，请说明理由；
     （2）若空地呈五边形ABCDE，如图5(3)，其他条件不变，还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；
     （3）若空地呈边形，其他条件不变，这时你还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来．
12．集体供暖有燃料的利用率高、供暖效果好和环保等明显特点，被越来越多的人们所接受， 2007年11月，市统计部门随机抽查100户家庭供暖方式，以及集体供暖用户对供热的认可情况．制成统计图如图6（1），图6（2），试回答下列问题．

     （1）在被抽查的100户中，采用其他供暖方式的用户有　　　　户．
     （2）补充完整条形统计图．
     （3）如果该城市大约有12万户，请你估计大约有多少集体供暖用户对供热认可为基本满意或满意．
     （4）请你对市政府或热力公司提出一条合理化建议．
 13．2007年8月22日，中国人民银行再次上调存款基准利率，这是央行本年内第4次加息，根据决定，一年期存款基准利率上调0.27个百分点，由现行的3.33%提高到3.60%，活期存款不变，仍是以前上调后的基准，利率为0.81%．
     （1）李红现有5000元，若在8月22日存入银行，按活期存入，一年后本息共多少？按一年期存入，一年后本息又是多少元？
     （2）王明曾在2007年5月29日调息时存入20000元一年期定期存款,为获得更大的利息收益，在8月22日，是否有必要转存为调整后的一年期定期存款？
     （提示：2007年8月15日之前利息税率为20%，8月15日利息税率改为5%，若转存，转存前的天数的利息按活期利率计算，且一年存款按365天计算）．
14．奥威汽车俱乐部举行沙漠拉力训练，每组两辆车，两辆车从同一地点出发，沿同一个方向直线行驶，每车最多只能携带30桶汽油，每桶汽油可以使一辆汽车行进80km，两车都必须返回出发点，但可以先后返回，且两车可以相互赠用双方的汽油，为了使其中一辆车尽可能的远离出发点，请问另一辆车应在离出发点多远处返回？远行的那辆车往返最多能行驶多少千米？
四、开放题(本题30分）
15．著名数学家华罗庚先生说：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．事实上，有些代数问题，通过构造图形来解，常使人茅塞顿开，突破常规思维，进入新的境界；还有三国时期数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明——他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，由此可见，“数形结合思想”在解决数学问题中占有重要地位，请你根据所学的数学知识自己编写一道用数形结合思想解决的实际问题，说明解题思路，给出解答过程．同学们展开你的想象力，试试吧！
第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
八年级初赛（B）卷试题参考答案
一、1．C．（理由：假设该高峰期路段上行驶的车辆数为x．
则上行驶的车辆数为x－20+30=x+10．
上行驶的车辆数为x+10－45+60=x+25．
上行驶的车辆数为x+25－35+30=x+20．
据此判断可得此时上行驶的车辆数最多．）
2．A
3．B（取特殊值代入验证即可得出答案）
4．C（设每人购买了n件商品，两人共购买了单价为8元的商品x件，单价为9元的商品y件．
则解得
因为x≥0，y≥0，所以≤n≤，n取整数，故n=10，所以共购买了20件．)
5．A
二、6．8．
7．14，68．(提示：根据已知解得，有27人不住在河北省，22人不住在城市，32人没有自己的住房，5人没有笔记本电脑，这个总数是86．他们在四项中至少缺一项，所以至少有14人具有四项中的每一项．因为仅有68人拥有自己的住房，而拥有其他项的人数都大于68，所以具有四项条件的人数最多为68人．)
8．40
9．y=2x－10，39．
10．2，11（提示：设原有车站x个，新车站有y个．则每个新车站需要印制的车票有（x+y－1）种，y个新车站要印（x+y－1)y种，对于x个老车站，要印xy种．
根据题意，有(x+y－1)y+xy=46，即y(2x+y－1)=46．
由于46=1×46=2×23，因为x，y必须取正整数，加之新车站合起来不超过20个，则有符合题意，解得即新建2个，原有11个．）
三、11．解：（1）如图5(2)，空地呈四边形ABCD时，其草坪面积为：
S草＝S矩形ABFE＋S矩形BGHC＋S矩形CMND＋S矩形DPQA＋4个小扇形的面积的和．
∵4 个小扇形可以组成一个圆．
∴S草地＝2 500×3＋9π≈7 528（m2）．
（2）∵空地呈五边形时，5个小扇形可以组成一个圆．
∴S草地＝2 500×3＋9π≈7 528（m2）．
（3）∵空地呈n边形时，n个小扇形也可以组成一个圆．
∴S草地＝2 500×3＋9π≈7 528（m2）．
答：不论空地呈三角形、四边形还是五边形，…，还是n(n≥3)边形，其面积都是 7 528m2．
12．解：（1）15；
（2）略；
（3）9.69万户；
（4）不惟一，示例：对市政府可以是继续进行热力改造，扩大集体供暖用户的数量；对热力公司改进服务质量，提高老百姓的认可率．
13．解：（1）按活期存入，一年后的本息和为：
5 000×(1+0.81%×95%）=5 038.475（元）；
按一年期存入，一年后的本息和为：
5 000×（1+3.60%×95%)=5 171（元）．
(2)王明若从5月29日起存入20 000元，一年期定期存款不转存，则可以得到利息为：
20 000×3.33%××0.8+20 000×3.33%××0.95≈611.35（元）．
若在8月22日转存，王明从5月29日起一年后获得的利息为：
20 000××0.81%×0.8+20 000××0.81%×0.95+20 000××3.60%×0.95≈555.36(元）．
由于611.35>555.36，所以王明没有必要转存自己于5月29日的存款．
14．解：设两车中，甲车应在离出发点xkm处即返回，乙车最远能离出发点ykm，因而甲车能赠给乙车的汽油为（30－)桶，由题意可得

解不等式①，得．
由方程②，得．
要使y最大，则需x取最小值．
故当x=800时，．
因而往返全程最多为．
即甲车行驶至800km处应返回，乙车往返最多可行驶3 200km．
四、15．答案不惟一．略．