湖北省襄阳五中高三5月适应性考试一模数学理解析版.doc

襄阳五中高三年级五月适应性考试（一）
数 学 试 题（理科）
【试卷综析】模拟考试数学试卷覆盖了整个高中知识，突出了基础知识和主干知识的考查.纵观全卷，整卷难度比高考略低，试题体现了“考查基础知识的同时，注重考查能力”的数学考试原则和全面检测数学素养的考试思想..在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其在解答题，涉及高中数学的重点知识.明确了教学方向和考生的学习方向.本卷具有一定的综合性，很多题由多个知识点构成，在适当的规划和难度控制下，效果明显，通过知识交汇的考查，对考生数学能力提出了较高的要求，提高了区分度，完全符合课改的要求和学生学习的实际情况.
命题：任 健 审题：杨青林 2014.5.3
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【知识点】复数的除法;共轭复数;复数的几何意义.
【答案解析】 C 解析 ：解：,在复平面内对应的点在第三象限,故选答案C.
【思路点拨】把复数化成a+bi这种形式后找到其共轭复数为a-bi,从而得到其对应的点所在的象限.
【典型总结】复数a+bi与复平面内的点（a,b）一一对应,所以可依据复数z=a+bi的实部和虚部的符号判断z对应的点所在的象限.
2.设集合
A. B. C. D.
【知识点】一元二次不等式的解法;指数函数的值域;集合的交集.
【答案解析】 A 解析 ：解：,集合,集合,,故选A.
【思路点拨】先求出集合M、N的范围后,再求它们的交集.
3.设命题平面；
命题函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是
A.为真 B. C. 为假 D. 为真
【知识点】复合命题的真假判断.
【答案解析】 B 解析 ：解：命题p是假命题,因为;,图像关于直线对称,命题q是真命题,所以答案B正确.
【思路点拨】先判断出命题p、q的真假,从而得到正确的答案.
4．要得到一个奇函数，只需将的图象
A．向右平移个单位　　　B．向右平移个单位
C．向左平移个单位　　　D．向左平移个单位
【知识点】奇函数;三角函数的辅助角公式,图像的平移.
【答案解析】 C 解析 ：解：,向左平移个单位其解析式变为
,是一个奇函数,答案C正确.
【思路点拨】先用辅助角公式化成的形式,再用“左加右减”将其变成的形式即可得到一个奇函数.
5. 双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
【知识点】直线的方程;双曲线的离心率.
【答案解析】 A 解析 ：解：设,直线为,因为垂直于轴,所以,代入直线方程得,整理得,解得
.
【思路点拨】把直线的方程和点找到,再把点的坐标代入直线方程,可得到关于离心率的方程,解得即可.
6. 已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是
A. B. C. D.
【知识点】向量的模长;向量的数量积;向量的几何意义.
【答案解析】 A 解析 ：解：表示向量到向量的终点距离为1的一个圆,,所以的范围是.
【思路点拨】利用向量的几何意义能快速的解决此类问题.
7. 设是正数,且,,,则
A． B． C． D．
【知识点】一般形式的柯西不等式．
【答案解析】 C 解析 ：解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）
当且仅当时等号成立.
所以等号成立,所以,
所以,故选C.
【思路点拨】柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．
8. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,,,,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则
A. B.
C. D.

【知识点】三视图;圆台的体积.
【答案解析】 D 解析 ：解：
=
【思路点拨】由三视图转化为直观图后，再利用圆台棱台体积公式求得即可.
9.将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为,则
A． B． C. D．
【知识点】古典概型.
【答案解析】 A 解析 ：解：两面涂色的有36个,三面涂色的有8个,所以

【思路点拨】找到满足条件的个数,再除以125即可得到所求的概率.
10．已知为常数，函数有两个极值点，则
A. B.
C. D.
【知识点】利用导数研究函数的极值.
【答案解析】 B 解析 ：解：有两个根
且,所以方程得判别式
,则
则,令
,
在上是增函数,,所以
.
【思路点拨】对f（x）求导数，由f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，利用判别式和根与系数的关系求a的取值范围；由x1、x2的关系，用x2把a表示出来，求出f（x2）表达式的最值即可．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
(一)必考题（11—14题）
11．=_______.
【知识点】定积分的计算.
【答案解析】 解析 ：解：.
【思路点拨】根据求原函数与求导函数互为逆运算,找到被积函数的原函数,利用微积分基本公式求值.
12. 下图是一个算法的流程图，最后输出的
x=x-3
是
开始
S=0
x=2
输出x
结束
S=S+x

否

【知识点】程序框图的应用.
【答案解析】 解析 ：解：S=0,x=2,S=2,x=-1,S=1; …S=-10,x=-10,S=-20.结束循环,输出x=-10.
【思路点拨】按着程序框图执行循环,直到条件满足结束循环,从而得到输出的值.
13. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价(元)
8

9
销量(件)
90
84
83
80
75
68
由表中数据,求得线性回归方程为.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为________________.
【知识点】线性回归方程;古典概型.
【答案解析】 解析 ：解：250,线性回归方程为样本点在其左下方的有(8.2,84),(9,68)这两个点,所以概率为P=.
【思路点拨】先求出a的值,利用线性规划得到在线性回归方程左下方的点,概率即可求得.
14.观察下列等式：

……………………………………

，
可以推测，当≥2（）时， ， .
【知识点】归纳推理的应用.
【答案解析】 解析 ：解：根据题中所给的等式归纳推测的表达式.
【思路点拨】根据题中所给的等式归纳推测的表达式.
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑． 如果全选，则按第15题作答结果计分．）
15．（选修4-1：几何证明选讲）已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B，C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q. 若AQ=2AP，AB=，BP=2，则QD

【知识点】平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，切割线定理.
【答案解析】 解析 ：解：如图：，
又 AQ=2AP，AB=，BP=2， ，由切割线定理得：，，又
.
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理，求得,再两次使用切割线定理QD的长.
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线(为参数)相交于两点,则
【知识点】极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程.
【答案解析】 解析 ：解：把极坐标方程化为直角坐标方程的x=4，把
曲线(为参数)化为普通方程得.由方程组得A(4,8)、B（4，-8），所以.
【思路点拨】把极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程，利用直角坐标系下的方程求交点坐标，再利用两点间距离公式求得长.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. (本小题满分12分)
在中,角的对边分别为,且.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 若,,求向量在方向上的投影.
【知识点】二倍角公式;两角的和与差公式;正弦定理;余弦定理;向量的数量积的意义.
【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）
解析 ：解：由,得
,
即,
则,即 6分
由,得,
由正弦定理,有,所以,.
由题知,则,故.
根据余弦定理,有,
解得或(舍去).
故向量在方向上的投影为 12分
【思路点拨】由二倍角的降幂公式和两角的和差公式找到角A的余弦值;进而得到其正弦值,利用正弦定理得到的值,角B也可得到,再利用余弦定理求出c边长,由数量积的几何意义得到向量在方向上的投影.
18. （本小题满分12分）
已知数列中，，当时，.
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ) 设，数列前项的和为,求证:.
【知识点】等比数列通项公式;数列的前n项和.
【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）略
解析 ：解：(1) 当时，
数列是以为首项,公比为的等比数列 ……3分
…… 6分
(2) …9分

= …… 12分
【思路点拨】由已知时，构造等比数列,从而得到数列
的通项公式; (2)中找到,从而易得.
19．（本小题满分12分）
如图,四棱锥的底面是正方形,平面,,，点是上的点,且.
(Ⅰ)求证: 对任意的,都有.
(Ⅱ)设二面角的大小为,直线与平面所成的角为,若,求的值.
【知识点】线面垂直的判断;二面角;直线和平面所成的角.
【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）
解析 ：解：(Ⅰ)证法1:如图1,连接BE、BD,由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD.
SD⊥平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影,AC⊥BE 4分

(Ⅱ)解法1:如图1,由SD⊥平面ABCD知,∠DBE= ,
SD⊥平面ABCD,CD平面ABCD, SD⊥CD.
又底面ABCD是正方形, CD⊥AD,而SD AD=D,CD⊥平面SAD.
连接AE、CE,过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F,连接CF,则CF⊥AE,
故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角,即∠CDF=.
在Rt△BDE中,BD=2a,DE=
在Rt△ADE中,
从而
在中,.
由,得.
由,解得,即为所求. 12分
【思路点拨】连结BD,由线面垂直得到线线垂直;找到二面角的平面角,利用直角三角形中的关系得到DF的关系式,得到的值,由得到的值.
20. （本小题满分12分）
“蛟龙号”从海底中带回的某种生物,甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为,乙组能使生物成活的概率为,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的.
(Ⅰ) 甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率.
(Ⅱ) 如果乙小组成功了4次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.
(Ⅲ) 若甲乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为,求的分布列及数学期望.
【知识点】独立重复试验，相互独立事件同时发生的概率，随机变量的分布列及数学期望.
【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的分布列为

0
1
2
3
4
P

解析 ：解：(1)甲小组做了三次实验,至少两次试验成功的概率为 3分
(2)乙小组在第4次成功前,共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,其中各种可能的情况种数,
因此所求的概率= 6分
(3)由题意的取值为0,1,2,3,4

+

10分
故的分布列为

0
1
2
3
4
P

12分
【思路点拨】（1）根据n次独立重复试验中,事件A发生恰k次的概率计算公式,求甲小组做了三次试验,至少两次试验成功的概率.
（2）将两次连续失败的试验看成一个整体,把它和另一次失败试验插入前三次成功试验形成的四个空位中，得前六次试验中满足第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败情况有种.由此求得：=.
（3）易知的取值为0,1,2,3,4.再根据取各值时甲乙两小组各成功的次数求,从而获得的分布列,再利用期望公式求的期望.

21. （本小题满分13分）
在矩形中,，,分别为矩形四条边的中点,以所在直线分别为轴建立直角坐标系(如图所示).若分别在线段上,且.
(Ⅰ) 求证: 直线与的交点在椭圆:+=1上;
(Ⅱ) 若为椭圆上的两点，且 GM与直线GN的斜率之积为, 求证: 直线过定点；并求面积的最大值.
【知识点】直线的方程;直线和椭圆的位置关系;三角形的面积公式.
【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）
解析 ：解：(Ⅰ)∵,∴,

又 则直线的方程为 ①
又 则直线的方程为 ②
由①②得
∵
∴直线与的交点在椭圆上 3分
(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,设
不妨取 ∴ ,不合题意
②当直线的斜率存在时,设

联立方程 得

则

又
即
将代入上式得
解得或(舍)
∴直线过定点 8分
∴,点到直线的距离为
∴
由及知:,令 即
∴ 当且仅当时, 13分
【思路点拨】(Ⅰ)由两点式得到直线与的方程,联立解得P点坐标,代入满足椭圆方程,证明P点在椭圆上.
(Ⅱ)分别考虑直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况,斜率存在满足题意,联立椭圆和直线方程,消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系和斜率之积为定值得到定点T的坐标,再由三角形的面积公式得到三角形的面积的最大的值.
22. （本小题满分14分）
已知函数,且在处的切线方程为
(Ⅰ) 求的解析式；
(Ⅱ) 证明:当时,恒有
(Ⅲ) 证明:
若且则.
【知识点】曲线的切线方程;函数的导数与单调性;函数的最小值.
【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）略（Ⅲ）略
解析 ：解：（Ⅰ）切线斜率
在处的切线方程为即.
（Ⅱ）令,
当时,当时,
故即
（Ⅲ）先求在处的切线方程,由（Ⅰ）知,故在
处的切线方程为即
下先证.
令

时,时,

【思路点拨】（Ⅰ）函数求导得到在该点处的切线斜率,利用点斜式求出切线的方程.
（Ⅱ）构造新函数,对其求导,得到它的单调区间,进而得到最小值,从而得到证明.
（Ⅲ）在（Ⅰ）的基础上得到在点处的切线方程
构造函数,求导得到
从而,进而得到证明的结果.