2012度高二下期期末复习理科数学试题4.doc

高2014级高二下期末复习数学（理科）试题四 姓名
满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1、满足条件|z+2i|+|z－2i|=4的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )A．一条直线 B．两条直线C．线段 D．椭圆
2、下面说法正确的是（ ）A．命题“”的否定是“”。
B．实数成立的充要条件。C．设为简单命题，若“”为假命题，则“”也为假命题。D．命题“”的逆否命题为真命题。命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（　　）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数
3、已知函数f（x）=-mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）A．（-∞，-2] B．（-∞，-1] C．[-2，-1] D．[-2，+∞）
4、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）A.36个    B.48个    C.66个    D.72个
5、如果命题p(n)对n＝k成立(n∈N*)，则它对n＝k＋2也成立，若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是( )．
A．p(n)对一切正整数n都成立 B．p(n)对任何正偶数n都成立
C．p(n)对任何正奇数n都成立 D．p(n)对所有大于1的正整数n都成立
6、等比数列{an}中，a1=2，a8=4，f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），f'（x）为函数f（x）的导函数，则f'（0）=（　　）
A．0 B．26 C．29 D．212
7、已知a为常数，若曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是（　　）
A．[-，+∞） B．[-，0） C．[，+∞） D．[1，+∞）
8、（1）曲线C：y=ex在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则A点的坐标为（　　）
A．（1，e） B．（1，1） C．（e，1） D.（，1）
（2）曲线C：y=ex在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C、直线l、y轴围成的图形面积为（　　）
A、 B、 C、 D、-1
9、已知函数f (x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f (x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　 　)
A．m≥ B．m> C．m≤ D．m<
10、在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=ex以及该曲线在x=a（a≥1）处的切线所围成图形的面积是（　　）A．ea B．ea-1 C、 D、-1
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．
11、（1）二项式(x3-)8的展开式中常数项为 ．
（2）设有三个命题：“①0＜＜1．②函数是减函数．③当0＜a＜1时，函数是减函数”．当它们构成三段论时，其“小前提”是 (填序号)．
（3）已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x-2x+1+m=0”，若命题┐P是假命题，则实数m的取值范围是  
（4）已知命题p：|x－8|＜2，q：＞0，r：x2－3ax＋2a2＜0(a＞0)．若命题r是命题p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．
12、设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c-1），则c= ．
14、已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+)=4的距离的最小值是 ．
15、如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为 ．
16、（1）设a，b，c为正数，且a＋b＋4c＝1，则＋＋的最大值是__________．
（2）若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是_____．　
（3）若不等式≥对任意的正数总成立，则正数的取值范围为 ．
（4）设a,b,c,x,y, z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40, ax+by+cz=20,则
三、解答题（共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分13分）
的三个内角成等差数列，求证：

18. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
已知函数 。
如果，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；
当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。

19、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望.

A
B
C
D
M
N
P
20、如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米.（I）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （II）若AN的长不小于4米，试求矩形AMPN的面积的最小值以及取得最小值时的长度.

21、（本小题满分12分）已知函数在x=±1处取得极值（1）求函数的解析式；（2）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有≤4；（3）若过点A（1，m）（m ≠－2）可作曲线的三条切线，求实数m的范围。

22、已知函数，数列｛｝满足，；数列｛｝满足，;其中
求证：（1）； （2）； （3）若，则当时，

高2014级高二下期末复习数学（理科）试题四 姓名
满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1、满足条件|z+i|+|z－i|=4的复数z在复平面上对应点的轨迹是( C )．
A．一条直线 B．两条直线 C．线段 D．椭圆
2、下面说法正确的是（ D ）
A．命题“”的否定是“”。
B．。
C．设为简单命题，若“”为假命题，则“”也为假命题。
D．命题“”的逆否命题为真命题。
命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（　C　）
A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数
3、已知函数f（x）=-mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）A．（-∞，-2] B．（-∞，-1] C．[-2，-1] D．[-2，+∞）
解：∵f（x）=-mx3+nx2，∴f′（x）=-3mx2+2nx，∴f′（-1）=-3m-2n，
∵函数f（x）=-mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，-3m-2n=-3 m+n=2
，解得m=-1，n=3，∴f′（x）=3x2+6x，令f′（x）=3x2+6x≤0，解得-2≤x≤0，∴函数f（x）在[-2，0]上单调递减，
∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，t≥-2 t+1≤0，解得-2≤t≤-1．故选C．
0

1，3

4、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（D ）
（A）36个        （B）48个     （C）66个       （D）72个
误解：如右图，最后一位只能是1或3有两种取法，又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取
法，剩下3个数排中间两个位置有种排法，共有个.错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数.
正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个.
5、如果命题p(n)对n＝k成立(n∈N*)，则它对n＝k＋2也成立，若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是( )．
A．p(n)对一切正整数n都成立 B．p(n)对任何正偶数n都成立
C．p(n)对任何正奇数n都成立 D．p(n)对所有大于1的正整数n都成立
6、等比数列{an}中，a1=2，a8=4，f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），f'（x）为函数f（x）的导函数，则f'（0）=（　　）
A．0 B．26 C．29 D．212
解：f(x)展开就是一个关于x的多项式，可以设为f(x)=x^9 +ax^8 +bx^7 +……+cx^2+(a1a2a3……a7a8)x
求得f‘(x)后，x的系数成为常数项f‘（0）就是f‘(x)的常数项，也就是f(x)中x的系数，为a1a2a……a7a8=(a1a8)^4=2^12
7、已知a为常数，若曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是（　A　）
A．[-，+∞） B．[-，0） C．[，+∞） D．[1，+∞）
解：令y=f（x）═ax2+3x-lnx由题意，x+y-1=0斜率是-1，则与直线x+y-1=0垂直的切线的斜率是1
∴f′（x）=1有解∵函数的定义域为{x|x＞0}∴f′（x）=1有正根
∵f（x）=ax2+3x-lnx ∴f'（x）=2ax+3-=1有正根∴2ax2+2x-1=0有正根∴2a= ∴2a≥-1
8、（1）曲线C：y=ex在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则A点的坐标为（　A　）
A．（1，e）B．（1，1）C．（e，1）D.（，1）
解：设A（a，ea），则∵y=ex，∴y′=ex，∴x=a时，y′=ea，∴曲线C：y=ex在点A处的切线l的方程为y-ea=ea（x-a）将（0，0）代入，可得0-ea=ea（0-a）∴a=1，∴A点的坐标为（1，e）故选A．
（2）、曲线C：y=ex在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C、直线l、y轴围成的图形面积为（　D　）
A、 B、 C、 D、-1
9、已知函数f (x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f (x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　A　)
A．m≥ B．m> C．m≤ D．m<
10、在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=ex以及该曲线在x=a（a≥1）处的切线所围成图形的面积是（　D　）
A．ea B．ea-1 C、 D、-1
解：∵y=ex，∴y′=ex，故曲线y=ex在x=a处的斜率为ea，切线方程为y-ea=ea（x-a），
令y=0得x=a-1≥0．如图所示，点A（a-1，0），D（a，0），，B（a，ea），两坐标轴的正半轴，
曲线y=ex以及该曲线在x=a（a≥1）处的切线所围成图形的面积等于曲边形ODBC的面积减去△ADB的面积，曲边形ODBC的面积为∫0aexdx=ea-1，△ADB的面积为
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．
11、（1）二项式(x3-)8的展开式中常数项为28．（2）设有三个命题：“①0＜＜1．②函数是减函数．③当0＜a＜1时，函数是减函数”．当它们构成三段论时，其“小前提”是 ① (填序号)．
（3）已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x-2x+1+m=0”，若命题┐P是假命题，则实数m的取值范围是  
解析：命题p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，即m＝－(4x－2x＋1)．令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是(－∞，1]．
（4）已知命题p：|x－8|＜2，q：＞0，r：x2－3ax＋2a2＜0(a＞0)．若命题r是命题p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．
12、设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c-1），则c=2．
14、已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+)=4的距离的最小值是 ．
15、如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为 ．
16、（1）设a，b，c为正数，且a＋b＋4c＝1，则＋＋的最大值是__________．
（2）若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是_____．(－∞，－3]∪[3，＋∞)　
（3）若不等式≥对任意的正数总成立，则正数的取值范围为 ．
（4）设a,b,c,x,y, z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40, ax+by+cz=20,则

（1）　解析：由柯西不等式得(＋＋)2≤[()2＋()2＋()2]＝×1.
∴＋＋≤＝.
（2）解析：方法一：|x＋1|＋|x－2|表示数轴上一点A(x)到B(－1)与C(2)的距离之和，而|BC|＝3.
∴|AB|＋|AC|≥3.∴|a|≥3，∴a≤－3或a≥3.
方法二：设f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)的图象如图所示，∴f(x)≥3，
∴|a|≥3，∴a≤－3或a≥3.
方法三：∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|a|≥3.∴a≤－3或a≥3.
三、解答题（共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分13分）
的三个内角成等差数列，求证：
证明：要证原式，只要证
即只要证而由余弦定理，有cosB=
整理得于是结论成立，即
18. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
已知函数 。
如果，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；
当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。
解（1）因为， x >0，则， 当时，；当时，.
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值.
因为函数在区间（其中）上存在极值，所以 解得.
（2）不等式即为 记
所以
令，则， ，
在上单调递增， ，
从而,故在上也单调递增，所以， 所以 .
19、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望.
解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.
（Ⅰ）设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得.
（Ⅱ）的所有可能值为0，1，2，3，4，且，
.从而知有分布列

0
1
2
3
4

所以，
.

20、如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米.（I）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （II）若AN的长不小于4米，试求矩形AMPN的面积的最小值以及取得最小值时的长度.
A
B
C
D
M
N
P
解：设， ∵，∴.
∴.
（I）由得.
∵，∴，即.
解得，即长的取值范围是.
（Ⅱ）由条件AN的长不小于4，所以.
当且仅当，即时取得最小值，且最小值为24平方米．

答：（略）
21、（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问4分）
已知函数在x=±1处取得极值
（1）求函数的解析式；
（2）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有≤4；
（3）若过点A（1，m）（m ≠－2）可作曲线的三条切线，求实数m的范围。
解：（1）=3ax2+2bx－3，依题意，f′（1）=f′（－1）=0，
即 ………………… 2分
解得a=1，b=0．∴f（x）=x3－3x． ……………………… 4分
（2）∵f（x）=x3－3x,∴f ′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1），
当－1<x<1时，f ′ （x）<0，故f（x）在区间[－1，1]上为减函数，
fmax（x）=f（－1）=2，fmin（x）=f（1）=－2 …………………… 6分
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f（x1）－f（x2）|≤|fmax（x） －fmin（x）|
|f（x1）-f（x2）|≤|fmax（x）-fmin（x）|=2-（－2）=4 ……………… 8分
（3）f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1），
∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上．
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得．∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x0方程=0有三个实根． ……………… 10分
设g（x0）= ，则g′（x0）=6，由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1．
∴g（x0）在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
∴函数g（x0）= 的极值点为x0=0，x0=1
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3<m<－2．
故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2． …………… 12分
22、已知函数，数列｛｝满足，；数列｛｝满足，;其中
求证：（1）； （2）； （3）若，则当时，
解：（1）用数归法证，①当n=1时，由已知，结论成立； ②假设当n=k时，结论成立，即，因为当0<x<1时，,所以f（x）在(0,1)上是增函数，所以，即，故当n=k+1时，结论成立。由①②知，对一切成立。
（2）设，，则，所以g（x）在（0，1）上是是增函数，所以，故，即。
（3），，
又因为，所以时， ；
又