2011成都二诊四川成都市高三第二次诊断性考试数学理.doc

四川成都市
2011届高三第二次诊断性考试
数学试题（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）l至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至l页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件、互斥，那么 球的表面积公式

如果事件、相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，
那么次独立重复试验中恰好发生次的概率
其中表示球的半径
一、选择题：
（1）已知为虚数单位，则复数 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）已知向量，，若，则实数的值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）在等比数列中，若，则
（A） （B） （C） （D）

（4）若，则的值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）

（5）在中，角、、所对边的长分别为、、．若，则的值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）设集合，，记，则集合中元素的个数有 （ ） （A）3个 （B）4个 （C）l个 （D）2个

（7）某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需13万元／辆，购买B型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元／辆，B型汽车的纯利润为1．5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买 （ ）
（A）8辆A型出租车，42辆B型出租车 （B）9辆A型出租车，41辆B型出租车
（C）11辆A型出租车，39辆B型出租车 （D）10辆A型出租车，40辆B型出租车
（8）过点作直线与圆交于、两点，若，则圆心到直线的距离等于（ ）
（A）5 （B）4
（C）3 （D）2
（9）已知，则的值为（ ）
（A）—33 （B） —32 （C） —31 （D） —30
（10）某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有 （ ）
（A）144种 （B）150种 （C）196种 （D）256种

（11）将函数的图象按向量平移，得到函数的图象．若函数在点处的切线恰好经过坐标原点，则下列结论正确的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
（12）如图，在半径为l的球中．、是两条互相垂直的直径，半径平面．点、分别为大圆上的劣弧、的中点，给出下列结论：
①向量在向量方向上的投影恰为；
②、两点的球面距离为；
③球面上到、两点等距离的点的轨迹是两个点；
④若点为大圆上的劣弧的中点，则过点且与直线、成等角的直线只有三条，其中正确的是
（A）②④ （B）①④ （C）② （D）②③
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．
（13）设，则______________________．
（14）在底面边长为2的正四棱锥中，若侧棱与底面所成的角大小为，则此正四棱锥的斜高长为______________________．
（15）已知椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点，点在上，若（为坐标原点）的重心恰好在椭圆上，则______________________．
（16）已知定义在上的函数．给出下列结论：
①函数的值域为；
②关于的方程有个不相等的实数根；
③当时，函数的图象与轴围成的图形面积为，则；
④存在，使得不等式成立，
其中你认为正确的所有结论的序号为______________________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知函数．
（I）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当时，函数的最小值为，求实数的值．

（18）（本小题满分12分）
如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．
（I）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

（19）（本小题满分12分）
某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励．现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立．
（I）求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率；
（Ⅱ）记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量，求的分布列和数学期望．

（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到轴的距离为，且．
（I）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若、是（I）中上的两点，，过、分别作直线的垂线，垂足分别为、．证明：直线过定点，且为定值．

（21）（本小题满分12分）
记，其中，如，令．
（I）求的值；
（Ⅱ）求的表达式；
（Ⅲ）已知数列满足，设数列的前项和为，若对一切，不等式恒成立，求实数的最大值．

（22）（本小题满分14分）
已知函数为实常数）．
（I）当时，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若方程（其中）在区间上有解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：（参考数据：）

参考答案
1．，选B

2．，选A
3．，，选B
4．，选C
5．，，选B
6．由于直线与双曲线的渐近线平行，所以选C
7．解法一：A时，成本为万元，利润为万元
B时，成本为万元，利润为万元
C时，成本为万元，利润为万元
D时，成本为万元，利润为万元
而，选D
解法二：设购买A型出租车辆，购买B型出租车辆，第一年纯利润为，则，，作出可行域，由解得，选D
8．解法一：如图，，，，当时，，舍A
当时，，成立，选B
解法二：由得，
，，，选B

9．解：，的系数为，令，则
，所以，选A
10．解，把学生分成两类：311，221，所以共有，选B
11．解：，，
切线方程为，令得，即，所以，选A
12．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
①向量在向量方向上的投影为，错；舍B
②，
对；
③过点的中点及球心的大圆上任意点到点、的距离都相等，错；舍D
④由于等角的值不是一定值，因此将直线、都平移到点M，可知过点且与直线、成等角的直线有无数多条，错，舍A；
选C
13．解：，填

14．解：如图，，，在正中，，填

15．解：设，则焦点，重心，因为重心恰好在椭圆上，所以，即，所以，填

16．解：

其图象特征为：在每一段图象的纵坐标缩短到原来的一半，而横坐标伸长到原来的2倍，并且图象右移个单位，从而
①对；
②显然当时，的图象与的图象只有2个交点，而非个，错；
③当时，函数的图象与轴围成的图形面积为，对；
④，结合图象可知错
填①③

17．解：（I）
1分
…3分
．
的最小正周期 ……6分
（Ⅱ）当，即时，有，
． ……8分
． ……10分
得到的最小值为．由已知，有．， ……12分
18．解：（Ⅰ）分别是的中点，．又，所以．
，……2分
四边形是平行四边形．．是的中点，．……3分
又，，平面平面……5分
（Ⅱ）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，
平面． …6分
于是可建立如图所示的空间直角坐标系．
则有，，，，
，． …7分
设平面的法向量为，
由．
取，得．……9分
平面的法向量为． …10分
…11分
而二面角的大小为钝角，
二面角的大小为． …12分
19．解：（I）记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E，事件E发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确．
． ……6分
（Ⅱ）随机变量取值为：0、900、1800、2700．
； …．．7分
； …8分
； ……9分
． …10分

0
900
1800
2700

的分布

． 12分
20．解：（Ⅰ）．
由及，得． ……2分
整理，得．即为所求动点的轨迹的方程． ……3分
（Ⅱ）设，．由题意，知直线的斜率必定存在，
故设直线的斜率为，方程为． ……4分
联立．则，． …6分

．．从而． ……8分
又，即，故．经检验符合题意．
当时，直线的方程为，恒过定点． ……10分
由题意，知，．则．
故当时，为定值． ……12分
解：（Ⅰ）
． ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ），知．
且． …4分
，，
．
…7分
（Ⅲ） ，
． ……9分．
恒成立恒成立
恒成立恒成立． …10分
而，时，取得最小值．
，实数的最大值为 …12分
22．解：（Ⅰ）当时，，，令，又，
在上单调递减，在上单调递增．当时，．的最小值为． …．4分
（Ⅱ） 在上有解在上有解在上有解．令，
，
令，又，解得：．
在上单调递增，上单调递减，
又．．即．故．……9分
（Ⅲ）设，

由（I），，．．
．
．
构造函数，当时，．
在上单调递减，即．当时，．
．即．
．
故． …14分