四川省绵阳市2014高一上学期期末数学试卷Word版含解析.doc

四川省绵阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）9=（）
A． 9 B． C． 27 D．

2．（4分）已知非空数集 A={x∈R|x2=a}，则实数a的取值范围为（）
A． a=0 B． a＞0 C． a≠0 D． a≥0

3．（4分）下列对应f：A→B是从集合 A到集合 B的函数的是（）
A． A={x|x＞0}，B={y|y≥0}，f：y=
B． A={x|x≥0}，B={y|y＞0}，f：y=x2
C． A={x|x是三角形}，B={y|y是圆}，f：每一个三角形对应它的内切圆
D． A={x|x是圆}，B={y|y是三角形}，f：每一个圆对应它的外切三角形

4．（4分）已知集合A={y|y=log3x，x＞1}，B={y|y=，x＞1}，则A∩B=（）
A． B． {y|0＜y＜1} C． D． ∅

5．（4分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上是单调递增函数的是（）
A． y=﹣x2+1 B． y=|x|+1 C． y=log2x+1 D． y=x3

6．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a的值为（）
A． ﹣3 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 1

7．（4分）已知定义在R上的奇函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）
A． ﹣ B． C． ﹣ D．

8．（4分）若loga（a+1）＜0（a＞0，且a≠1），则函数f（x）=的定义域为（）
A． （﹣∞，0） B． （﹣1，0） C． （0，+∞） D． （0，1）

9．（4分）如图所示为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，那么f（﹣3）=（）

A． ﹣ B． 0 C． ﹣1 D． 1

10．（4分）已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=，且当x∈时，f（x）=|x|，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间上的零点的个数为（）
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
11．（4分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∪（∁UB）=．

12．（4分）一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对圆心角的弧度数为．

13．（4分）已知函数f（x）=2x2﹣kx+1在区间上是增函数，则实数k的取值范围为．

14．（4分）已知α∈（，），=4，则=．

15．（4分）已知函数f（x）=（a是常数且a＞0）．给出下列命题：
①函数f（x）的最小值是﹣1；
②函数f（x）在R上是单调函数；
③函数f（x）在（﹣∞，0）上的零点是x=lg；
④若f（x）＞0在上的值域．

19．（10分）已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在（0，+∞）上是增函数，又g（x）=loga（a＞1）．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当x∈（t，a）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求a与t的值．

四川省绵阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）9=（）
A． 9 B． C． 27 D．

考点： 有理数指数幂的化简求值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据分数指数幂的运算法则进行化简．
解答： 解：9==，
故选：D
点评： 本题主要考查有理数指数幂的化简，比较基础．

2．（4分）已知非空数集 A={x∈R|x2=a}，则实数a的取值范围为（）
A． a=0 B． a＞0 C． a≠0 D． a≥0

考点： 空集的定义、性质及运算．
专题： 集合．
分析： 集合A的元素是方程x2=a的实数根，由集合A={x|x2=a，x∈R}是非空集合，所以只要使方程x2=a有实根即可
解答： 解：由于集合A={x|x2=a，x∈R}是非空集合，所以方程x2=a有实数根，
则a≥0，则实数a的取值范围是
故选：A
点评： 本题主要考查函数的定义，根据函数的定义是解决本题的关键．

4．（4分）已知集合A={y|y=log3x，x＞1}，B={y|y=，x＞1}，则A∩B=（）
A． B． {y|0＜y＜1} C． D． ∅

考点： 交集及其运算．
专题： 函数的性质及应用；集合．
分析： 根据对数函数、指数函数的单调性分别求出集合A、B，再由交集的运算求出A∩B．
解答： 解：因为y=log3x在定义域上是增函数，且x＞1，
所以y＞0，则集合A={y|y＞0}，
因为y=在定义域上是增函数，且x＞1，
所以0＜y＜，则集合B={y|0＜y＜}，
则A∩B={y|0＜y＜}，
故选：A．
点评： 本题考查交集及其运算，以及对数函数、指数函数的单调性，属于基础题．

5．（4分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上是单调递增函数的是（）
A． y=﹣x2+1 B． y=|x|+1 C． y=log2x+1 D． y=x3

考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
解答： 解：A．y=﹣x2+1是偶函数，在（0，+∞）上单调递减，不满足条件．
B．y=|x|+1是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，满足条件．
C．log2x+1的定义域为（0，+∞），关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．
D．y=x3是奇函数，在（0，+∞）上单调递增，不满足条件．
故选：B
点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．

6．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a的值为（）
A． ﹣3 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 1

考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由已知得f（a）=﹣f（1）=﹣3，当a＞0时，f（a）=3a；当a≤0时，f（a）=2a+1=﹣3．由此进行分类讨论，能求出a的值．
解答： 解：∵f（x）=，f（a）+f（1）=0，
∴f（a）=﹣f（1）=﹣3，
当a＞0时，f（a）=3a=﹣3不成立，
当a≤0时，f（a）=2a+1=﹣3，解得a=﹣2．
故选：B．
点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数性质的合理运用．

7．（4分）已知定义在R上的奇函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）
A． ﹣ B． C． ﹣ D．

考点： 函数的周期性；函数奇偶性的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化即可．
解答： 解：∵奇函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数，
∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）=﹣f（），
∵当x∈时，f（x）=sinx，
∴f（）=sin=，
∴f（）=﹣f（）=﹣，
故选：C
点评： 本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质，是解决本题的关键．

8．（4分）若loga（a+1）＜0（a＞0，且a≠1），则函数f（x）=的定义域为（）
A． （﹣∞，0） B． （﹣1，0） C． （0，+∞） D． （0，1）

考点： 对数函数的单调性与特殊点；函数的定义域及其求法．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据对数函数的性质对a进行分类讨论，分别利用对数、指数函数的单调性求出函数f（x）的定义域．
解答： 解：当0＜a＜1时，由loga（a+1）＜0得，loga（a+1）＜，
所以a+1＞1，解得a＞0，则0＜a＜1，
由1﹣ax＞0得，x＞0，
所以函数f（x）=的定义域为（0，+∞）；
当a＞1时，由loga（a+1）＜0得，loga（a+1）＜，
所以a+1＜1，解得a＜0，则a无解，
综上得，函数f（x）=的定义域为（0，+∞），
故选：C．
点评： 本题考查对数、指数函数的性质，以及分类讨论思想，属于中档题．

9．（4分）如图所示为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，那么f（﹣3）=（）

A． ﹣ B． 0 C． ﹣1 D． 1

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： 由图象得到振幅A，半周期，然后求出ω，再由f（﹣1）=2求φ的值，则解析式可求，从而求得f（﹣3）的值．
解答： 解：由图象可知，A=2.T=3﹣（﹣1）=4，T=8，
则ω==，
∴函数解析式为f（x）=2sin（x+φ）．
由f（﹣1）=2，得2sin（φ﹣）=2，
∴φ﹣=2k，k∈Z．
又0≤φ≤π，
∴φ=．
则f（x）=2sin（x+）．
∴f（﹣3）=2sin（﹣3×+）=2sin0=0．
故选：B．
点评： 本题考查了由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，解决此类问题的方法是先由图象看出振幅和周期，由周期求出ω，然后利用五点作图的某一点求φ，是中档题．

10．（4分）已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=，且当x∈时，f（x）=|x|，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间上的零点的个数为（）
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11

考点： 正弦函数的图象；根的存在性及根的个数判断．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由题意可得可得f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数．本题即求函数f（x）的图象和函数g（x）的图象在区间上的交点的个数，数形结合可得结论
解答： 解：由f（x+1）=，可得f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期为2的周期函数．
函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间上的零点的个数，
即函数f（x）的图象和函数g（x）=的图象在区间上的交点的个数，
当x∈时，f（x）=|x|，
如图所示：数形结合可得函数f（x）的图象和函数g（x）的图象
在区间上的交点的个数为10，
故选：C．

点评： 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，正弦函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
11．（4分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∪（∁UB）={2，4，5，6}．

考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析： 由题意和补集、交集的运算依次求出∁UB和A∪（∁UB）．
解答： 解：因为全集U={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，3，5，7}，
所以∁UB={2，4，6}，
又A={2，4，5}，则A∪（∁UB）={2，4，5，6}，
故答案为：{2，4，5，6}．
点评： 本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．

12．（4分）一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对圆心角的弧度数为．

考点： 进行简单的演绎推理．
专题： 计算题．
分析： 设出圆的半径，利用弦长等于圆的半径，得到一个等边三角形，其内角为60°，从而求出弧所对的圆心角的弧度数．
解答： 解：设半径为r，则弦长为r，
由两半径，弦可构成一个等边三角形，其内角为60°，
则这条弦所对圆心角的弧度数为 ．
故答案为：．
点评： 解决弦长与半径问题，一般利用弧长公式l=rα，但本题中中只须注意构成等边三角形即可．注意公式中圆心角以弧度为单位．

13．（4分）已知函数f（x）=2x2﹣kx+1在区间上是增函数，则实数k的取值范围为（﹣∞，4]．

考点： 二次函数的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 对称轴为x=，函数f（x）=2x2﹣kx+1在区间上是增函数，≤1，求解即可．
解答： 解：∵函数f（x）=2x2﹣kx+1
∴对称轴为x=
∵函数f（x）=2x2﹣kx+1在区间上是增函数，
∴≤1
即k≤4
故答案为：（﹣∞，4]
点评： 本题考查了二次函数的单调性，对称性，难度不大，属于容易题，关键是确定对称轴．

14．（4分）已知α∈（，），=4，则=．

考点： 同角三角函数基本关系的运用．
专题： 三角函数的求值．
分析： 原式被开方数利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的性质化简，
解答： 解：∵α∈（，），即α+∈（，π），
∴sinα＞cosα，即sinα﹣cosα＞0，sinα+cosα=sin（α+）＞0，
已知等式整理得：==2tanα=4，
∴tanα=2，
则原式===．
故答案为：
点评： 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

15．（4分）已知函数f（x）=（a是常数且a＞0）．给出下列命题：
①函数f（x）的最小值是﹣1；
②函数f（x）在R上是单调函数；
③函数f（x）在（﹣∞，0）上的零点是x=lg；
④若f（x）＞0在
其中正确命题的序号是①③⑤．（写出所有正确命题的序号）

考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 计算题；数形结合；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： 画出函数f（x）=（a是常数且a＞0）的图象，
①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；
②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；
③函数f（x）在（﹣∞，0）的零点是lg；
④只需说明f（x）＞0在
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（10分）已知f（α）=．
（1）化简f（α）；
（2）若角 A是△A BC的内角，且f（A）=，求tan A﹣sin A的值．

考点： 运用诱导公式化简求值．
专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： （1）运用诱导公式即可化简．
（2）由（1）知，cosA=，由A是△ABC的内角，可求得sinA，tanA，即可得解．
解答： 解：（1）．…（5分）
（2）由（1）知，cosA=，
∵A是△ABC的内角，
∴0≤A≤π，
∴sinA=．…（7分）
∴，
∴tanA﹣sinA=． …（10分）
点评： 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式的解法，属于基础题．

17．（10分）如图，某渠道的截面是一个等腰梯形，上底 AD长为一腰和下底长之和，且两腰 A B，CD与上底 AD之和为8米，试问：等腰梯形的腰与上、下底长各为多少时，截面面积最大？并求出截面面积S的最大值．

考点： 函数最值的应用．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 先表示梯形的面积，再利用配方法，即可得出结论．
解答： 解：设腰AB=CD=x米，则上底AD为8﹣2x，下底BC为8﹣3x，所以梯形的高为．
由x＞0，8﹣2x＞0，8﹣3x＞0，可得．…（4分）
∵=═，…（7分）
∴时，．
此时，上底AD=米，下底BC=米，最大截面面积最大为平方米．…（10分）
点评： 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．

18．（10分）已知函数f（x）=2sin（2ωx﹣）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）有相同的对称中心．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）将函数g（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数h（x）的图象，求函数h（x）在上的值域．

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）由题意可得f（x），g（x）的周期相同，求出ω的值，可得f（x）的解析式；再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．
（2）由条件利用诱导公式可得，k∈Z，求得，可得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得h（x）的范围．
解答： 解：（1）∵f（x），g（x）有相同的对称中心，∴f（x），g（x）的周期相同．
由题知g（x）的周期为，故对f（x），由=π，得ω=1，∴．
则≤≤，k∈Z，解得≤x≤，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
（2）∵g（x）=cos（2x+φ）=sin（2x+φ+），f（x）=2sin（2x﹣）与g（x）有相同的对称中心，
∴φ+=kπ﹣，k∈Z，结合，得，∴g（x）=cos（2x+）．
∴h（x）=cos+1=cos（2x﹣）+1．
∵，则，由余弦函数的图象可知，
∴h（x）∈．
点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．

19．（10分）已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在（0，+∞）上是增函数，又g（x）=loga（a＞1）．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当x∈（t，a）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求a与t的值．

考点： 函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）利用幂函数的单调性以及性质，列出关系式，求出m，即可求解函数g（x）的解析式；
（2）求出g（x）的定义域．结合a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，设x1，x2∈（1，+∞），判断g（x）在（1，+∞）上是减函数，通过g（x）的值域列出方程，即可求解a的值．
解答： 解：（1）∵f（x）是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，
∴解得m=﹣1，
∴．…（3分）
（2）由＞0可解得x＜﹣1，或x＞1，
∴g（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．…（4分）
又a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，
设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，于是x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，
∴＞0，
∴．
由 a＞1，有，即g（x）在（1，+∞）上是减函数．…（8分）
又g（x）的值域是（1，+∞），
∴得，可化为，
解得，
∵a＞1，∴，
综上，．…（10分）
点评： 本题考查函数的基本性质，单调性以及函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．