四川省资阳中学7月自主招生数学试题.doc

资阳中学高2017级学生核心素养评价（数学）
本试题卷分第Ⅰ卷（单项选择题）和第Ⅱ卷（非单项选择题）。考生作答时，须将答案写在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。全卷满分120分，考试时间110分钟。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题：（每小题只有一个正确答案，共10小题，每小题4分，共40分）
1.某同学做了四道题：①3m+4n=7mn；②（-2a2）3=-8a6；③6x6÷2x2=3x3；④y3•xy2=xy5，其中正确的题号是（　 ）
A.②④     B.①③     C.①②     D.③④
2.小明在解决一个关于计算机病毒传播的问题时，设计算机有x台，列方程3+x+x（x+3）=48，则方程的解中一定不合题意的是（　　）
A.5       B.9       C.-5      D.-9
3.为促进朗诵艺术的普及，某校初二年级举办朗诵大赛，凡凡同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　 　）
中位数
众数
平均数
方差
9.2
9.3
9.1
0.3
A.中位数    B.众数     C.平均数    D.方差
4.我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“”，使其满足i2=-1（即方程x2=-1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=-1，i3=i2•i=（-1）•i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，从而对任意正整数n，则 =（　 　）
A.-1     B.1       C.i      D.-i
5.已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则=（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　 　）
A.4      B.    C.    D.

5题图 6题图 7题图
7.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE交AC于点G，连接BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S四边形DGOF=2：7．其中正确结论的个数是（　 　）
A.1个     B.2个     C.3个     D.4个
8.如图，平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点C（3，4），边OA落在x正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA交平行四边形各边如图．若反比例函数的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为（　 　）
A.16      B.20      C.24      D.28
9.如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，现将△ABC绕顶点B顺时针方向旋转△A′BC′的位置，此时A′C′与BC的交点D是BC的中点，则线段C′D的长度是（　 　）
A.  B.   C.  D.

8题图 9题图 10题图
10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①3a+2b+c＜0； ②3a+c＜b2-4ac； ③方程2ax2+2bx+2c-5=0没有实数根；
④m（am+b）+b＜a（m≠-1）． 其中正确结论的个数是（　 　）
A1个     B.2个      C..3个      D.4个
Ⅱ卷 非选择题部分
二、填空题：（本题5小题，每小题4分，共20分）
11.分解因式：1-a2+2ab-b2=_ __．
12.一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1=，an=（n≥2，且n为整数），则a1+a2+a3+…+a2017= _ _ ．
13.在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y=-x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数的图象上．若AB=，则k= _ __ ．
14.已知(2x+1)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则(a0+a2+a4+a6+a8)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2的值为____________．
15.如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是 ____ __ ．
三、解答题：（本题共7小题，共60分）
16.(7分)已知，求的值．

17.某数学兴趣小组将我校九年级某班学生一分钟跳绳的测试成绩进行了整理，分成5个小组（x表成绩，单位：次，且100≤x＜200），根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中B、E两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图标中相关数据回答下列问题：
         测试成绩频数分布表
组别
成绩x次
频数（人数）
频率
A
100≤x＜120
5

B
120≤x＜140

b
C
140≤x＜160
15
30%
D
160≤x＜180
10

E
180≤x＜200
a

（1）填空：a= ______ ，b= ______ ，本次跳绳测试成绩的中位数落在 ______ 组（请填写字母）； (3分)
（2）补全频数分布直方图； (2分)
（3）已知本班中甲、乙两位同学的测试成绩分别为185次、195次，现要从E组中随机选取2人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中至少1人被选中的概率．(3分)

18.已知：A(a，y1)．B(2a，y2)是反比例函数 (k＞0)图象上的两点．
(1)若A、B两点在一次函数第一象限的图象上(如图所示)，分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，且S△OAB=8，求a的值； (4分)
(2)在(1)的条件下，如果3m=-4x+24，，求使得m＞n的x的取值范围．(4分)

19.已知△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，D是BA边上一点（点D不与A，B重合），M是CA中点，当以CD为直径的⊙O与BA边交于点N，⊙O与射线NM交于点E，连接CE，DE．
（1）求证：BN=AN； (4分)
（2）猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由．(4分)

20.已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式计算． 例如：求点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离为==．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）已知⊙Q的圆心Q的坐标为（0，4），半径r为2，判断⊙Q与直线y=x+8的位置关系并说明理由； (4分)
（2）已知直线y=-2x+1与y=-2x+6平行，A、B是直线y=-2x+1上的两点且AB=8，P是直线y=-2x+6上任意一点，求△PAB的面积．(4分)

21.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点（不含端点），且EG、FH均过正方形的中心O．
（1）当四边形EFGH为矩形时，请问线段AE与AH应满足什么数量关系；(4分)
（2）当四边形EFGH为正方形时，AO与EH交于点P，求OP2+PH•PE的最小值． (5分)

22.已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（s，t）（s≠0）．
（1）当s=2时，t=1时，求抛物线对应的二次函数的表达式； (4分)
（2）若（1）中的抛物线与x轴交于点B，过B作OA的平行线交抛物线于点D，求△BDO三条高的和； (4分)
（3）当点A在抛物线y=x2-x上，且-1≤＜2时，求a的取值范围． (4分)

数学试题（2017）参考答案
一、选择题：（每小题只有一个正确答案，共10小题，每小题4分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
A
D
A
A
C
B
C
B
B
D

二、填空题：（本题5小题，每小题4分，共20分）
11. (1+a-b)(1-a+b) 12. 1008 13.
14. 15.

三、解答题：（本题共7小题，共60分）
16. 解：∵， ∴a=2-＜1，………………..3分
∴原式=- =a-1- =a-1+ =2--1+2+ =4-1=3．… 7分
17.解：（1）由题意可知总人数=15÷30%=50（人），
所以D所占百分比=10÷50×100%=20%，A所占百分比=5÷50×100%=10%，
因为B、E两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，
所以5a=50-5-15-10， 解得a=4，
所以b=16÷50×100%=32%， 因为B的人数是16人，
所以中位线落在C组，
故答案为4，32%，C； ………………..3分
（2）由（1）可知补全频数分布直方图如图所示：
………………..5分
（3）设甲为A，乙为B，画树状图为：

由树状图可知从E组中随机选取2人介绍经验，则甲、乙两人中至少1人被选中的概率==． ………………..8分
18. 解： (1)∵A(a，y1)、B(2a，y2)在反比例函数(k＞0)的图象上，
∴AC=y1=，BD=y2=， ∴y1=2y2．
又∵点A(a，y1)、B(2a，y2)在一次函数y=-x+b的图象上，
∴y1=a+b，y2=a+b， ∴a+b=2(a+b)， ∴b=4a，
∵S△AOC+S梯形ACDB=S△AOB+S△BOD，
又∵S△AOC=S△BOD， ∴S梯形ACDB=S△AOB，
∴ [(a+b)+( a+b)]•a=8， ∴a2=4， ∵a＞0， ∴a=2． ……………….4分
(2)由(1)得，一次函数的解析式为y=x+8，
反比例函数的解析式为：y=， A、B两点的横坐标分别为2、4，
且m=x+8、n=，
因此使得m＞n的x的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围， 从图象可以看出2＜x＜4或x＜0． ………………..8分

19. （1）证明：∵CD为⊙O的直径， ∴∠CND=90°， ∴CN⊥AB，
∵BC=AC， ∴BN=AN； ………………..4分
（2）解：CD=DE，
理由如下：∵△ABC中，∠BCA=90°，BN=AN，
∴CN=AN， ∵点M是CA中点， ∴NM平分∠CNA， ∵∠CNA=90°，
∴∠CNM=45°， ∴∠CDE=∠CNE=45°， ∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED=90°， ∴∠DCE=45°=∠CDE， ∴DE=CE，
∵CE2+DE2=CD2， ∴CD=DE． ……………….4分
20. 解：（1）结论：判断⊙Q与直线y=x+8相切．
理由：根据点到直线的距离公式可知：点Q（0，4）到直线y=x+8的距离d==2．
∵⊙Q的半径为2， ∴d=r，
∴⊙Q与直线y=x+8相切． ……………….8分
（2）在直线y=-2x+6上取一点Q（0，6），
根据点到直线的距离公式可知：点Q（0，6），到直线y=-2x+1的距离d==，
∵直线y=-2x+1与y=-2x+6平行，
∴S△PAB=•AB•d=•8•=4． ………………..8分

21解：（1）当四边形EFGH为矩形时，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
在正方形ABCD中，∠HAE=∠EBF=90°，
∴∠AEH+∠AHF=90°，
∴∠AHE=∠BEF， ∴△AEH∽△BFE，
∴，
令AE=x，AH=y，则BF=1-y，BE=1-x，
∴，
即x-y=x2-y2=（x+y）（x-y），
∴x=y或x+y=1，
∴AE=AH，或AE+AH=1； ………………..4分
（2）如图所示，当四边形EFGH为正方形时，∠HOE=90°，OH=OE，
∴∠OEH=∠OHE=45°，
∴∠OHP=∠PAE=45°，
∵∠HPO=∠APE，
∴△OPH∽△EPA，
∴，即PH×PE=OP×AP，
∴OP2+PH×PE=OP2+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA，
∵∠OEP=∠OAE=45°，∠POE=∠EOA，
∴△OPE∽△OEA，
∴，即OP×OA=OE2，
∴OP2+PH×PE=OE2，
∵当OE⊥AB时，OE最小，此时OE=，
∴当OE=时，OP2+PH×PE最小，且等于． ………………..9分

22. 解：（1）由题意可知A（2，1）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，
由于抛物线过原点， ∴将（0，0）代入y=a（x-2）2+1，
∴解得a=-， ∴抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+1或，……..4分
（2）令y=0代入y=-（x-2）2+1， ∴解得x=4或x=0， ∴B（4，0）
设直线OA的解析式为：y=kx， 将A（2，1）代入y=kx，
∴k=， ∵BD∥OA， ∴设直线BD的解析式为：y=x+m，
将B（4，0）代入y=x+m， ∴m=-2
∴直线BD的解析式为：y=x-2
联立 解得：x=4或x=-2∴D（-2，-3）
∴由勾股定理可知：OD=，BD=3，
设OB、OD、BD边上的高分别为h1，h2，h3，
∴h1=3又∵OB=4， ∴S△BDO=OB•h1=6， ∴BD•h3=OD•h2=6， ∴h2=，h3=， ∴△BDO三条高的和h1+h2+h3=3++， ……………….8分
（3）由题意可知：t=s2-s，
∵A（s，t）是y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点，
∴y=a（x-s）2+t， 又因为该抛物线经过原点， ∴0=as2+t，
∴0=as2+s2-s， ∴s=（a+1）s2， 当s=0时， 此时，a全体实数，
当s≠0时，此时-1≤s＜0或0＜s＜2，
∴a=， ∴a≤-2或a＞-，
综上所述，a≤-2或a＞-， ………………..12分