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第五章 常微分方程（简记ODE）
本章主要知识点
l 可分离变量的ODE
l 一阶线性非齐次常微分方程及推广
l 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程
l 一些特殊类方程
一、可分离变量的ODE
1．基本型的解法
基本型：
基本解法：

例5.1．
解：

通解为： 将得：
得
例5.2．
解：
，
得：
例5.3．
解：，
得：
例5.4．已知满足，求。
解：由知。方程两边对求导得
，分离变量求得，
将代入得，。

2．可转化的可分离变量的齐次方程

方法：令
。
例5.5．
解：
令

，
将代入即可。
例5.6．
解： ，
令

即，，将代入即可。
二、一阶线性齐次方程（ODE）
1．基本型公式
公式：
注：应用此公式要注意：不定积分不带C；基本型又称标准型。
例5.7．
解：，其中。

，

由公式得，。
例5.8．
解：
，

将代入得，，
。
2．Bernoulli方程

方法：令 ，方程可简化为

例5.9．
解：令 ，则，得

，

故，
例5.10．
解：令，代入即得：

即

三、二阶常系数线性ODE
1．齐次方程，其中为常数。
求解步骤：1）特征方程 ，求根。
2） 互异实根，，
，；
，。
其中为任意实数。
例5.11．
解：得=4，-1，
（其中为任意实数）
例5.12．
解：，

例5.13．
解：，
。
例5.14．
解：，，
。
2．非齐次方程
其中，表示次多项式。
解结构：齐次方程通解特解。
特解形式设定如下：
（1）识别；
（2）计算，和特征根相等个数，。
（3）特解可设为，
其中为次多项式。
注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成。
例5.15．
解：（１），
，，
齐次通解
（２），
，
，
又设，代入原方程得
，。

例5.16．
解：（１），

（２），
，，

可设

计算得：

代入原方程得
，，
。
例5.17．
解：（１），

（２）的特解
，
，，，。
又设

代入原方程得

解得；
（3）的特解
可设，代入得，D＝，。
综合得。
例5.18．设其中为连续函数，求的具体表达式。
解：原式两边求导得：
再求导得：，即且
（1）

（2）设特解为代入原方程得
。
。
由条件得，

四、特殊类方程
（1）,等
方法：直接积分
例5.19．
解：
积分，
再积分，
（2） 不显含
方法：令，则
，则得到
，降为一阶方程
例5.20．
解：令 ，
，
如果，则，
或
分离积分法
如果，那么 （其包含在上述解之中）
方程通解 （其中,为任意实数）。
单元练习题5
1．下列微分方程哪一个是线性的（　　）
(A) (B)
(C) (D)
2．方程，它是 阶微分方程。
3．方程的通解是 。
4．方程的特解可设为 。
5．求解下列常微分方程：

6．求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于，并且曲线通过原点。
7．设曲线上任一点处切线与直线垂直，求这个曲线的方程
8．一链条挂在一个无摩擦的钉上，假定运动开始时，链条一边垂下8m，另一边垂下10m，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？
9．设，为连续函数。求。
10．设处处可导，且并对任意实数x和y有 求.
11．有连结A(0,1)，B(1,0)两点的一条凸曲线，它位于AB弦的上方。P(x,y)为该曲线上的任一点。已知该曲线弧与AP之间的面积为。求该曲线方程。

历年真考题
1．（2001）微分方程的通解为： 。
2．（2001）求微分方程，满足初始条件的特解。
3．（2002）微分方程的通解是（ ）
A. B.
C. D.
4．（2002）设满足微分方程，且，则 。
5．（2002）求，满足的解。
6．（2003）满足的解是（ ）
A. B.
C. D.
7．（2003）解微分方程的通解。
8．（2004）微分方程的特解的形式应为
A. B. C. D.
9．（2004）设函数可导，且满足方程，求。
10．（2005）求微分方程满足初始条件的特解。

本章测试题
1．微分方程的阶数 。
2．的通解是 。
3． 的特解 形如 。
4．微分方程的通解是（ ）
Ａ．　Ｂ．　 Ｃ．　Ｄ．　　
5．
6．
7．（1）
（2）
8．设为连续函数且满足。求。
9．已知是的解。
（1）求p,q
（2）写出该方程的通解；并求满足条件的特解。

单元练习题5答案
1． C 2．二阶 　　3． 4．
5. (1)解：
。
(2)

。
(3)令
，即。
(4)

。
(5)

，
将代入，

（6） 令

，

，

。
即 ，为任意常数
（7）令

若，即 （不合定解条件）
若，
，
将，，代入，

代入，得，即
（8）解：（1）
齐次方程通解 ，
，

又设

代入原方程得

得到：。

（9）解：（1）
齐次方程通解。
（2）
，
可设

，
得到，
6．解： 且，即，

，
，
由 得

所以
7．设原曲线的方程为
则 即

8．设左边绳x处在t时刻滑过钉子，此时，

且满足定解条件 ，
解得：
令得到
解得：。
9．
10．令得f(0)=0

＝
即，解得。
11．设曲线方程为，则梯形OAPQ的面积，依题意得：
，两边对x求导得
，解得。

本章测试答案
1. 一阶 　2. 　　3.
4.A
5.
，，，
设，

，
原方程解为
6．（1）

（2）设，

代入得，，
，
7． (1)
令则，，
（2）令，。
积分得，，，
积分，
或，其中为任何实数。
8．求导得：，解得。
9．特征根，则特征方程为，方程为
故有。
通解；
特解。