第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题及详细解答高年级.doc

第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛笔试试题A（小学高年级组）
（时间: 2012年4月21日10:00～11:30）
一、填空题（每小题 10分, 共80分）
1. 算式 的值为 .
2. 箱子里已有若干个红球和黑球, 放入一些黑球后, 红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后, 红球的数量是黑球的三分之二. 若放入的黑球和红球数量相同, 则原来箱子里的红球与黑球数量之比为 .
3. 有两个体积之比为5:8的圆柱, 它们的侧面的展开图为相同的长方形, 如果把该长方形的长和宽同时增加6, 其面积增加了114. 那么这个长方形的面积为 .
4. 甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食, 如果从甲粮库调90袋到乙粮库, 则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库, 则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有 袋的粮食.
5. 现有211名同学和四种不同的巧克力, 每种巧克力的数量都超过633颗. 规定每名同学最多拿三颗巧克力, 也可以不拿. 若按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组, 则人数最多的一组至少有 名同学.
6. 张兵1953年出生，在今年之前的某一年, 他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和，那么这一年他 岁.
7. 右图是一个五棱柱的平面展开图, 图中的正方形边长都为2. 按图所示数据, 这个五棱柱的体积等于 .

8. 在乘法算式

中, 汉字代表非零数字, 不同汉字代表不同的数字, 那么所代表的四位数最小是 .
二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）
9. 如右图, ABCD 是平行四边形, E为AB延长线上一点, K为AD延长线上一点.连接BK, DE相交于一点O. 问: 四边形ABOD与四边形ECKO的面积是否相等? 请说明理由.
10. 能否用500个右图所示的的小长方形拼成一个的大长方形, 使得的长方形的每一行、每一列都有偶数个星? 请说明理由.
11. 将一个2n位数的前位数和后位数各当成一个位数, 如果这两个位数之和的平方正好等于这个2n位数, 则称这个2n位数为卡布列克 (Kabulek) 怪数，例如，, 所以3025是一个卡布列克怪数. 请问在四位数中有哪些卡布列克怪数?
12. 已知98个互不相同的质数, 记 , 问: N被3除的余数是多少？
三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）
13. 小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步, 两人同时同地出发, 小李顺时针跑,每72秒跑一圈; 小张逆时针跑, 每80秒跑一圈. 在跑道上划定以起点为中心的圆弧区间, 那么两人同时在划定的区间内所持续的时间为多少秒?
14. 把一个棱长均为整数的长方体的表面都涂上红色, 然后切割成棱长为1的小立方块, 其中, 两面有红色的小立方块有40块, 一面有红色的小立方块有66块, 那么这个长方体的体积是多少?

第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛笔试试题A参考答案
（小学高年级组）
一、填空（每题 10 分, 共80分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
9.3
1:2
40
153
7
18
7
4396
二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）
9. 答案：是.
解答. 连接AC. 则

所以
.
因此 即
四边形ABOD的面积=四边形ECKO的面积.
10. 答案：能
解答. 首先构造的长方形如下:

然后用50个的即可拼成的长方形.
11. 答案：2025, 3025, 9801.
解答. 设一个四位卡布列克怪数为 , 其中. 则由题意知 , 两边模99得
,
因此 , 故与中有一个能被9整除, 也有一个能被11整除（可能是同一个数）, 且有，即
. （*）
若能被99整除，由（*）知只能是99，满足条件的四位数是9801；若－1能被99整除，由（*）, 显然没有满足条件的四位数；此外，可设＝9m，－1＝11n，则有9m-11n=1, 由（*）, m和n均为小于12的正整数，故得到m＝5，n＝4， 只能是45，满足条件的四位数是2025；反之，可设－1＝9m，＝11n，满足条件的四位数是3025.
故四位数中有三个卡布列克怪数, 它们分别为2025, 3025和9801.
12. 答案：1或2
解答. 对于质数3, 被3整除. 其余的质数, 要么是型的数, 要么是型的数. 由于

被3除余1, 且
,
被3除也余1. 因此有
（1）若这98个质数包含3时, N被3除的余数等于97被3除的余数, 等于1.
（2）若这98个质数不包含3时, N被3除的余数等于98被3除的余数, 等于2.
三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程）
13. 答案：
解答. 设起跑时间为0秒时刻, 则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为
, , ,
和
, , .
其中 [a, b] 表示第a秒时刻至第b秒时刻. 显然 即前9秒里两类时间段的公共部分. 此外, 考虑和的公共区间, 为正整数, 分两种情况:
1) , 即小李和小张分别跑了圈和圈同时回到起点, 他们二人同时在划定区域跑了18秒.
2) , 例如

①.
两人同时在划定区域内跑了. 由①知, . 于是两人同时在划定区域内跑持续时间为11秒或3秒. 其它情况类似可得同样结果.
综上, 答案为.
14. 答案: 150
解答. 设立方体的长, 宽, 高分别为, 其中, 且为整数. 注意, 两面有红色的小立方块只能在长方体的棱上出现.
如果, 则没有两面为红色的立方块, 不符合题意.
如果, 则没有只有一面为红色的立方块, 不符合题意.
因此. 此时两面出现红色的方块只能与长方体的棱共棱. 一面出现红色的方块只与立方体的面共面. 有下面的式子成立
, （1）
. （2）
由（1）得到
, （3）
由（2）得到
. （4）
由（3）和（4）可得，，这样 . 由（4）得到
. （5）
若, 则由（5）得到, 的取值不能满足（3）.
若, 则由（5）得到, 的取值不能满足（3）.
若, 则由（5）得到, 的取值不能满足（3）.
当时, 由（5）得到, 此时满足条件.
如果, 则, 与（3）矛盾.
综上, 是问题的解, 这是长方体的体积为150.