2018中考数学总复习第1编教材知识梳理篇图形的相似.docx

第五章　图形的相似与解直角三角形 第一节　图形的相似与位似 河北五年中考命题规律 年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分 2016 15 相似三角形判定 从一个三角形纸片剪下一个三角形，判定与原三角形相似条件 2 11 23 位似图形的性质 利用位似图形的性质证线段的数量和位置关系 9 2014 13 相似三角形、相似多边形的判定 根据已知方式变换后得到新图形，判定两个图形是否相似 3 3 2013 11 相似三角形的判定及性质 以菱形为背景，利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质求线段长度 3 3 2017、2015年均未考查 命题规律 纵观河北近五年中考，本考点共考查了4次，题型有选择题、解答题，分值2～11分，难度中偏下，基础题为主，其中相似三角形的判定和性质考查了3次，相似多边形考查了1次(选择题). 河北五年中考真题及模拟 　 　　　　　 　　　　　 　　　　
　图形相似的判定及性质 1．(2016河北中考)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　C　) ,A)　 ,B)　 ,C)　　　 ,D) 2．(2014河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似. 图① 图② 乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是(　A　) A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 　图形的位似 3．(2017保定中考模拟)图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是(　D　) A．点M B．点N C．点O D．点P 4．(2017保定中考模拟)若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(　A　) A．87° B．60° C．75° D．120°
5．(2017唐山中考模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是(　D　) ①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似． A．4 B．2 C．1 D．3 6．(2016沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(　A　) A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5
7．(2016石家庄二十八中一模)如图，在 ▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线 于点F，BG⊥AE于点G，BG＝42，则△EFC 的周长为(　D　) A．11 B．10 C．9 D．8 8．(2016保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作(　C　) A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 9．(2016邯郸一模)如图，在正方形ABCD 中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为(　D　) A．4 B．2 C．5 D．3 10．(2016保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是(　D　) A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 11．(2016石家庄二十八中一模)如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC. (1)求证：AC＝AD＋CE； (2)若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求DPPQ的值． 解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE， ∴∠ADB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°. ∴∠ADB＝∠EBC. 又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE(ASA)， ∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE； (2)过点Q作QH⊥BC于点H. 则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE， ∴ADHP＝APHQ，BHBC＝QHEC. 设AP＝x，QH＝y，则有BH3＝y5， ∴BH＝3y5，PH＝3y5＋5－x， ∴33y5＋5－x＝xy，即(x－5)•(3y－5x)＝0. 又点P不与A，B重合， ∴x≠5，即x－5≠0. ∴3y－5x＝0，即3y＝5x. ∴DPPQ＝xy＝35.
12．(2016河北中考)如图①，E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧． (1)AE和ED的数量关系为________； AE和ED的位置关系为________； (2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，H是B C所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图②和图③. ①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点，求证：GH＝HD，GH⊥HD. ②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代数式表示) 解：(1)AE＝ED；AE⊥ED； (2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°， AB＝BE＝EC＝DC. ∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2， ∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝12AB，EF＝12EB， ∴∠GFE＝∠C. ∵H是EC的中点， ∴EH＝HC＝12EC， ∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝12EB＋12EC＝12BC＝EC＝CD， ∴△HGF≌△DHC. ∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC. ∵∠HDC＋∠DHC＝90°， ∴∠GHF＋∠DHC＝90°. ∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD； ②∵GH＝HD，GH⊥HD， ∴∠FHG＋∠DHC＝90°. ∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC. 在△FGH和△CHD中， ∠FGH＝∠CHD，∠GFH＝∠HCD，GH＝HD， ∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH. ∵EF＝FG，∴EF＝CH. ∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC＝2， ∴BE＝EC＝1， ∴EF＝k，∴CH的长为k. ,中考考点清单)
　比例的相关概念及性质 1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比． 2．比例中项：如果ab＝bc，即b2＝__ac__，我们就把b叫做a，c的比例中项． 3．比例的性质
性质 内容 性质1 ab＝cd⇔__ad__＝bc(a，b，c，d≠0)．
性质2 如果ab＝cd，那么a±bb＝c±dd.
性质3 如果ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，则a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝__mn(不唯一)__.
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使ACAB＝__BCAC__，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__． 　相似三角形的判定及性质 5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 6．性质： (1)相似三角形的__对应角__相等； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例； (3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 7．判定： (1)__有两角__对应相等，两三角形相似； (2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似； (3)三边__对应成比例__，两三角形相似； (4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似． 【方法技巧】判定三角形相似的几条思路： (1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)； (2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]； (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； (4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案． 如：ABBC＝DEEF，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．
　相似多边形 8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比． 9．性质： (1)相似多边形的对应边__成比例__； (2)相似多边形的对应角__相等__； (3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__． 　位似图形 10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比． 11．性质： (1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的 比等于__k或－k__； (2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__． 12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__． 13．画位似图形的步骤： (1)确定__位似中心__； (2)确定原图形的关键点； (3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点； (5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
,中考重难点突破) 　比例的性质 【例1】已知a5＝b4＝c3，且3a－2b＋c＝20，则2a－4b＋c的值为________． 【解析】比例的性质中常见题型，把a，b，c用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可． 【答案】－6 1．(2015沧州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则2x＋yz－y的值是(　A　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．－5 B．－103 C.103 D．5 　相似三角形的判定与性质 【例2】(茂名中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3 cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2 cm的速度向点B运动，运动时间为t s0<t<103，连接MN. (1)如图①，若△BMN与△ABC相似，求t的值； (2)如图②，连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值． 【解析】(1)△BMN与△ABC相似，分两种情况：△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t的值；(2)过点M作MD⊥BC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值． 【答案】解：(1)由题意知BA＝62＋82＝10(cm)，BM＝3t cm，CN＝2t cm， ∴BN＝(8－2t)cm. ①当△BMN∽△BAC时，有BMBA＝BNBC， ∴3t10＝8－2t8，解得t＝2011； ②当△BMN∽△BCA时，有BMBC＝BNBA， ∴3t8＝8－2t10，解得t＝3223. ∴当△B MN与△ABC相似时，t的值为2011或3223； (2)如图②，过点M作MD⊥CB于点D. 由题意得BM＝3t cm，CN＝2t cm， DM＝BM•s inB＝3t•610＝95t(cm)， BD＝BM•cosB＝3t•810＝125t(cm)， ∴CD＝8－125tcm. ∵AN⊥CM，∠ACB＝90°， ∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°， ∴∠CAN＝∠MCD. ∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°， ∴△CAN∽△DCM.∴ACCD＝CNDM， ∴68－125t＝2t95t，解得t＝1312.
2．如图，不等 长的两对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA ∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是(　B　) A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似 C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似 3．(自贡中考)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，求证：DE�12BC. 证明：∵D是AB的中点，E是AC的中点， ∴ADAB＝12，AEAC＝12， ∴ADAB＝AEAC. 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴ADAB＝DEBC＝12，∠ADE＝∠B， ∴BC＝2DE，BC∥DE， 即DE�12BC. 　位似图形 【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C ′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是(　D　) A．(－2，3) B．(2，－3) C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3) 【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′. 【答案】D 4．(2016沧州八中二模)如图， △OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为(　B　) A．(1，2) B．(1，1) C．(2，2) D．(2，1)

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