3月中考数学模拟试卷鞍山市铁西区附答案和解释.docx

2018年3月中考数学模拟试卷（鞍山市铁西区附答案和解释） 2018年辽宁省鞍山市铁西区中考数学模拟试卷（3月份） 　 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）2018的相反数是（　　） A．8102 B．�2018 C． D．2018 2．（3分）如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，则从它左边看到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．3a2�2a2=1 B．a2•a3=a6 C．（a�b）2=a2�b2 D．（a+b）2=a2+2ab+b2 4．（3分）如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1=34°，则∠2的大小为（　　） A．34° B．54° C．56° D．66° 5．（3分）七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，现在从七年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况如下表： 节水量（m3） 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 家庭数 1 2 2 4 1 那么这组数据的众数和平均数分别是（　　） A．0.4m3和0.34m3 B．0.4m3和0.3m3 C．0.25m3和0.34m3 D．0.25m3和0.3m3 6．（3分）若关于x的一元二次方程kx2�6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　） A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞1 7．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论： ①∠BOD=90°；②DO∥AB；③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤ = 正确的有（　　） A．①② B．①④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 8．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图 所示，图象过点（�1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞�3b；（3）7a�3b+2c＞0；（4）若点A（�3，y1）、点B（� ，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x�5）=�3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜�1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 　 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为　 　． 10．（3分）分解因式：x3y�xy=　 　． 11．（3分）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有　 　个红球． 12．（3分）如图，平面直角坐标系中，经过点B（�4，0）的直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点 ，则不等式mx+2＜kx+b＜0的解集为　 　．
13．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为　 　． 14．（3分）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，点D为斜边AC上一点，AD=2CD，DB的延长线交y轴于点E，函数y= （k＞0）的图象经过点A，若S△BCE=2，则k=　 　． 15．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是 上的一动点（不与A、B重合），点F是 上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论： ① = ； ②△OGH是等腰三角形； ③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化； ④△GBH周长的最小值为4+ ． 其中正确的是　 　（把你认为正确结论的序号都填上）． 16．（3分）如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、P2017，把△ABC分成　 　个互不重叠的小三角形． 　 三、解答题（共2小题，每题8分，共16分） 17．（8分）先化简：（ �a+1）÷ ，并从0，�1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 18．（8分）A，B两地间仅有一长为180千米的平直公路，若甲，乙两车分别从A，B两地同时出发匀速前往B，A两地，乙车速度是甲车速度的 倍，乙车比甲车早到45分钟． （1）求甲车速度； （2）乙车到达A地停留半小时后以来A地时的速度匀速返回B地，甲车到达B地后立即提速匀速返回A地，若乙车返回到B地时甲车距A地不多于30千米，求甲车至少提速多少千米/时？ 　 四、解答题（共2小题，每题10分，共20分） 19．（10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα=6．求灯杆AB的长度． 20．（10分）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2 ．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若∠BAC=60°，DE= ，求图中阴影部分的面积； （3）若 = ，DF+BF=8，如图2，求BF的长． 　 五、解答题（共2小题，每题10分，共20分） 21．（10分）某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图： （1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有　 　人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为　 　%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有　 　人喜欢篮球项目． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 22．（10分）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y= （k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1） ． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上． ①求OF的长； ②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形． 　 六、解答题（第23题10分，第24题11分，共21分） 23．（10分）铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示： 第x天 1≤x≤6 6＜x≤15 每天的销售量y/盒 10 x+6 （1）求p与x的函数关系式； （2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？ （3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果． 24．（10分）问题探究 （1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论． （2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4． 点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值； 问题解决 （3）如图③，AC为边长为2 的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值． 　 七、解答题（本题12分） 25．（12分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点 （1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长； （2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可） （3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F 求证：①E、F是线段BD的勾股分割点； ②△AMN的面积是△AEF面积的两倍． 　 八、解答题（本题14分） 26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2� x� 与x轴交于A、B、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）判断△ABC形状，并说明理由． （2）在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM+ MC的最小值； （3）如图2，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为 ，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF= ，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线 是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在请直接写出点E的横坐标，若不存在，请说明理由． 　
2018年辽宁省鞍山市铁西区中考数学模拟试卷（3月份） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）2018的相反数是（　　） A．8102 B．�2018 C． D．2018 【解答】解：2018的相反数�2018， 故选：B． 　 2．（3分）如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，则从它左边看到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：观察几何体，从左面看到的图形是 故选：D． 　 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．3a2�2a2=1 B．a2•a3=a6 C．（a�b）2=a2�b2 D．（a+b）2=a2+2ab+b2 【解答】解：A、3a2�2a2=a2，故A错误； B、a2•a3=a5，故B错误； C、（a�b）2=a2�2ab+b2，故C错误； D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故D正确； 故选：D． 　 4．（3分）如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1=34°，则∠2的大小为（　　） A．34° B．54° C．56° D．66° 【解答】解：∵a∥b， ∴∠1=∠3=34°， 又∵AB⊥BC， ∴∠2=90°�34°=56°， 故选：C． 　 5．（3分）七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，现在从七年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况如下表： 节水量（m3） 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 家庭数 1 2 2 4 1 那么这组数据的众数和平均数分别是（　　） A．0.4m3和0.34m3 B．0.4m3和0.3m3 C．0.25m3和0.34m3 D．0.25m3和0.3m3 【解答】解：将数据按从大到小的顺序排列为：0.2，0.25，0.25，0.3，0.3，0.4，0.4，0.4，0.4，0.5， 则众数为：0.4m3； 平均数为： （0.2+0.25+0.25+0.3 +0.3+0.4+0.4+0.4+0.4+0.5）=0.34m3． 故选：A． 　 6．（3分）若关于x的一元二次方程kx2�6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　） A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2�6x+9=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0， 即（�6）2�4×9k＞0， 解得，k＜1， ∵为一元二次方程， ∴k≠0， ∴k＜1且k≠0． 故选：A． 　 7．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论： ①∠BOD=90°；②DO∥AB；③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤ = 正确的有（　　） A．①② B．①④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【解答】解：∵∠ACB=45°， ∴由圆周角 定理得：∠BOD=2∠ACB=90°，∴①正确； ∵AB切⊙O于B， ∴∠ABO=90°， ∴∠DOB+∠ABO=180°， ∴DO∥AB，∴②正确； 假如CD=AD，因为DO∥AB， 所以CE=BE， 根据垂径定理得：OD⊥BC， 则∠OEB=90°， ∵已证出∠DOB=90°， ∴此时△OEB不存在，∴③错误； ∵∠DOB=90°，OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD=45°=∠ACB， 即∠ODB=∠C， ∵∠DBE=∠CBD， ∴△BDE∽△BCD，∴④正确； 过E作EM⊥BD于M， 则∠EMD=90°， ∵∠ODB=45°， ∴∠DEM=45°=∠EDM， ∴DM=EM， 设DM=EM=a， 则由勾股定理得：DE= a， ∵∠ABC=180°�∠C�∠A=75°， 又∵∠OBA=90°，∠OBD=45°， ∴∠OBC=15°， ∴∠EBM=30°， 在Rt△EMB中BE=2EM=2a， ∴ = = ，∴⑤正确； 故选：C． 　 8．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（�1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞�3b；（3）7a�3b+2c＞0；（4）若点A（�3，y1）、点B（� ，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x�5）=�3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜�1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：∵x=� =2， ∴4a+b=0，故①正确． 由函数图象可知：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0， ∴9a+c＞�3b，故②正确． ∵抛物线与x轴的一个交点为（�1，0）， ∴a�b+c=0 又∵b=�4a， ∴a+4a+c=0，即c=�5a， ∴7a�3b+2c=7a+12a�5a=14a， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴7a�3b+2c＜0，故③错误； ∵抛物线的对称轴为x=2，C（7，y3）， ∴（�3，y3）． ∵�3＜� ，在对称轴的左侧， ∴y随x的增大而增大， ∴y1=y3＜y2，故④错误． 方程a（x+1）（x�5）=0的两根为x=�1或x=5， 过y=�3作x轴的平行线，直线y=�3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根， 依据函数图象可知：x1＜�1＜5＜x2，故⑤正确． 故选：B． 　 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为　4.4×106　． 【解答】解：将4400000用科学记数法表示为：4.4×106． 故答案为：4.4×106． 　 10．（3分）分解因式：x3y�xy=　xy（x+1）（x�1）　． 【解答】解：原式=xy（x2�1）=xy（x+1）（x�1）， 故答案为：xy（x+1）（x�1） 　 11．（3分）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有　6　个红球． 【解答】解：设袋中有x个红球． 由题意可得： =0.2， 解得：x=6， 即袋中有6个红球， 故答案为：6． 　 12．（3分）如图，平面直角坐标系中，经过点B（�4，0）的直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点 ，则不等式mx+2＜kx+b＜0的解集为　�4＜x＜� 　． 【解答】解：不等式mx+2＜kx+b＜0的解集是�4＜x＜� ． 故答案是：�4＜x＜� ． 　 13．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为　1.5或3　． 【解答】解：分两种情况： ①当∠EFC=90°时，如图1， ∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°， ∴点A、F、C共线， ∵矩形ABCD的边AD=4， ∴BC=AD=4， 在Rt△ABC中，AC= = =5， 设BE=x，则CE=BC�BE=4�x， 由翻折的性质得，AF=AB=3，EF=BE=x， ∴CF=AC�AF=5�3=2， 在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2， 即x2+22=（4�x）2， 解得x=1.5， 即BE=1.5； ②当∠CEF=90°时，如图2， 由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF= ×90°=45°， ∴四边形ABEF是正方形， ∴BE=AB=3， 综上所述，BE的长为1.5或3． 故答案为：1.5或3． 　 14．（3分）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，点D为斜边AC上一点，AD=2CD，DB的延长线交y轴于点E，函数y= （k＞0）的图象经过点A，若S△BCE=2，则k=　8　． 【解答】解：连结OA、EA，如图， ∵AD=2CD， ∴S△ADE=2S△CDE，S△ADB=2S△CDB， 即S△ABE+S△ADE=2（S△CDB+S△BCE）， ∴S△ABE=2S△BCE=2×2=4， ∵OE∥AB， ∴S△ABE=SOAB=4， ∴ ×|k|=4， 而k＞0， ∴k=8． 故答案为8． 　 15．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是 上的一动点（不与A、B重合），点F是 上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论： ① = ； ②△OGH是等腰三角形； ③四边形OGBH的 面积随着点E位置的变化而变化； ④△GBH周长的最小值为4+ ． 其中正确的是　①②　（把你认为正确结论的序号都填上）． 【解答】解：①如图所示， ∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°， ∴∠BOE=∠COF， 在△BOE与△COF中， ， ∴△BOE≌△COF， ∴BE=CF， ∴ = ，①正确； ②∵OC=OB，∠COH=∠BOG，∠OCH=∠OBG=45°， ∴△BOG≌△COH； ∴OG=OH，∵∠GOH=90°， ∴△OGH是等腰直角三角形，②正确． ③如图所示， ∵△HOM≌△GON， ∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误； ④∵△BOG≌△COH， ∴BG=CH， ∴BG+BH=BC=4， 设BG=x，则BH=4�x， 则GH= = ， ∴其最小值为4+2 ，D错误． 故答案为：①②． 　 16．（3分）如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、P2017，把△ABC分成　4035　个互不重叠的小三角形． 【解答】解：如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×0， △ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×1， △ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×2， 所以△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、Pn，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2（n�1）=2n+1， 当n=2017时， 2n+1=4035， 故答案为：4035． 　 三、解答题（共2小题，每题8分，共16分） 17．（8分）先化简：（ �a+1）÷ ，并从0，�1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【解答】解：（ �a+1）÷ = = = ， 当a=0时，原式= ． 　 18．（8分）A，B两地间仅有一长为180千米的平直公路，若甲，乙两车分别从A，B两地同时出发匀速前往B，A两地，乙车速度是甲车速度的 倍，乙车比甲车早到45分钟． （1）求甲车速度； （2）乙车到达A地停留半小时后以来A地时的速度匀速返回B地，甲车到达B地后立即提速匀速返回A地，若乙车返回到B地时甲车距A地不多于30千米，求甲车至少提速多少千米/时？ 【解答】解：（1）设甲车速度为x千米/时，则乙车的速度是 x千米/时， 依题意得： = + ， 解得：x=60． 经检验：x=60是原方程的解． 答：设甲车速度为60千米/时；
（2）设甲车提速y千米/时， 依题意得：180�（ ×2+ ）（60+y）≤30， 解得：y≥15． 所以甲车至少提速15千米/时． 　 四、解答题（共2小题，每题10分，共20分） 19．（10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα=6．求灯杆AB的长度． 【解答】解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG=BC=10． 由题意得∠ADE=α，∠E=45°． 设AF=x． ∵∠E=45°， ∴EF=AF=x． 在Rt△ADF中，∵tan∠ADF= ， ∴DF= = = ， ∵DE=13.3， ∴x+ =13.3． ∴x=11.4． ∴AG=AF�GF=11.4�10=1.4． ∵∠ABC=120°， ∴∠ABG=∠ABC�∠CBG=120°�90°=30°． ∴AB=2AG=2.8， 答：灯杆AB的长度为2.8米． 　 20．（10分）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2 ．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若∠BAC=60°，DE= ，求图中阴影部分的面积； （3）若 = ，DF+BF=8，如图2，求BF的长． 【解答】证明：（1）连结OD，如图1， ∵AD平分∠BAC交⊙O于D， ∴∠BAD=∠CAD， ∴ = ， ∴OD⊥BC， ∵BC∥EF， ∴OD⊥DF， ∴DF为⊙O的切线； （2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1， ∵∠BAC=60°，AD平分 ∠BAC， ∴∠BAD=30°， ∴∠BOD=2∠BAD=60°， ∴△OBD为等边三角形， ∴∠ODB=60°，OB=BD=2 ， ∴∠BDF=30°， ∵BC∥DF， ∴∠DBP=30°， 在Rt△DBP中，PD= BD= ，PB= PD=3， 在Rt△DEP中，∵PD= ，DE= ， ∴PE= =2， ∵OP⊥BC， ∴BP=CP=3， ∴CE=3�2=1， 易证得△BDE∽△ACE， ∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1： ， ∴AE= ∵BE∥DF， ∴△ABE∽△AFD， ∴ = ，即 = ，解得DF=12， 在Rt△BDH中，BH= BD= ， ∴S阴影部分=S△BDF�S弓形BD =S△BDF�（S扇形BOD�S△BOD） = •12• � + •（2 ）2 =9 �2π； （3）连结CD，如图2，由 = 可设AB=4x，AC=3x，设BF=y， ∵ = ， ∴CD=BD=2 ， ∵∠F=∠ABC=∠ADC， ∵∠FDB=∠DBC=∠DAC， ∴△BFD∽△CDA， ∴ = ，即 = ， ∴xy=4， ∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD， 而∠DFB=∠AFD， ∴△FDB∽△FAD， ∴ = ，即 = ， 整理得16�4y=xy， ∴16�4y=4，解得y=3， 即BF的长为3． 　 五、解答题（共2小题，每题10分，共20分） 21．（10分）某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图： （1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有　5　人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为　20　%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有　80　人喜欢篮球项目． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要 从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 【解答】解：（1）调查的总人数为20÷40%=50（人）， 所以喜欢篮球项目的同学的人数=50�20�10�15=5（人）； “乒乓球”的百分比= =20%， 因为800× =80， 所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目； 故答案为5，20，80； （2）如图， （3）画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12， 所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率= = ． 　 22．（10分）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y= （k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上． ①求OF的长； ②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形． 【解答】解： （1）∵反比例函数y= （k＞0）的图象经过点D（3，1）， ∴k=3×1=3， ∴反比例函数表达式为y= ；
（2）①∵D为BC的中点， ∴BC=2， ∵△ABC与△EFG成中心对称， ∴△ABC≌△EFG， ∴GF=BC=2，GE=AC=1， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴E（1，3），即OG=3， ∴OF=OG�GF=1； ②如图，连接AF、BE， ∵AC=1，OC=3， ∴OA=GF=2， 在△AOF和△FGE中 ∴△AOF≌△FGE（SAS）， ∴∠GFE=∠FAO=∠A BC， ∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°， ∴EF∥AB，且EF=AB， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∴AF=EF， ∴四边形ABEF为菱形， ∵AF⊥EF， ∴四边形ABEF为正方形． 　 六、解答题（第23题10分，第24题11分，共21分） 23．（10分）铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示： 第x天 1≤x≤6 6＜x≤15 每天的销售量y/盒 10 x+6 （1）求p与x的函数关系式； （2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？ （3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果． 【解答】解：（1）设p=kx+b（k≠0）， ∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元， ∴ ， 解得 ， 所以，p=x+18；
（2）1≤x≤6时，w=10[50�（x+18）]=�10x+320， 6＜x≤15时，w=[50�（x+18）]（x+6）=�x2+26x+192， 所以，w与x的函数关系式为w= ， 1≤x≤6时，∵�10＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x=1时，w最大为�10+320=310， 6＜x≤15时，w=�x2+26x+192=�（x�13）2+361， ∴当x=13时，w最大为361， 综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；
（3）w=325时，�x2+26x+192=325， x2�26x+133=0， 解得x1=7，x2=19， 所以，7≤x≤15时，即第7、8、9、10、11、12、13、14、15天共9天销售利润不低于325元． 　 24．（10分）问题探究 （1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论． （2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值； 问题解决 （3）如图③，AC为边长为2 的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值． 【解答】解：（1）结论：AM⊥BN． 理由：如图①中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°， ∵BM=CN， ∴△ABM≌△BCN， ∴∠BAM=∠CBN， ∵∠CBN+∠ABN=90°， ∴∠ABN+∠BAM=90°， ∴∠APB=90°， ∴AM⊥BN．
（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP． ∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°， ∴四边形EFPG是矩形， ∴∠FEG=∠AEB=90°， ∴∠AEF=∠BEG， ∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°， ∴△AEF≌△BEG， ∴EF=EG，AF=BG， ∴四边形EFPG是正方形， ∴PA+PB=PF+AF+PG�BG=2PF=2EF， ∵EF≤AE， ∴EF的最大值=AE=2 ， ∴△APB周长的最大值=4+4 ．
（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB． ∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN， ∴△ABM≌△BCN， ∴∠BAM=∠CBN， ∴∠A PN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°， ∴∠APB=120°， ∵∠AKB=60°， ∴∠AKB+∠APB=180°， ∴A、K、B、P四点共圆， ∴∠BPH=∠KAB=60°， ∵PH=PB， ∴△PBH是等边三角形， ∴∠KBA=∠HBP，BH=BP， ∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA， ∴△KBH≌△ABP， ∴HK=AP， ∴PA+PB=KH+PH=PK， ∴PK的值最大时，△APB的周长最大， ∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4， ∴△PAB的周长最大值=2 +4． 　 七、解答题（本题12分） 25．（12分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点 （1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长； （2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可） （3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F 求证：①E、F是线段BD的勾股分割点； ②△AMN的面积是△AEF面积的两倍． 【解答】解：（1）解：（1）①当MN为最大线段时， ∵点M，N是线段AB的勾股分割点， ∴BM= = = ， ②当BN为最大线段时， ∵点M，N是线段AB的勾股分割点， ∴BN= = =5， 综上，BN= 或5；
（2）作法：①在AB上截取CE=CA； ②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA； ③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D； 点D即为所求；如图2所示．
（3）①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE． ∵∠DAF+∠BAE=90°�∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH， ∴∠EAH=∠EAF=45°， ∵EA=EA，AH=AF， ∴△EAH≌△EAF， ∴EF=HE， ∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD， ∴∠HBE=90°， 在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2， ∵BH=DF，EF=HE， ∵EF2=BE2+DF2， ∴E、F是线段BD的勾股分割点．
②证明：如图4中，连接FM，EN． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°， ∵∠MAN=45°， ∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN， ∴△AFE∽△D FN， ∴∠AEF=∠DNF， = ， ∴ = ，∵∠AFD=∠EFN， ∴△AFD∽△EFN， ∴∠DAF=∠FEN， ∵∠DAF+∠DNF=90°， ∴∠AEF+∠FEN=90°， ∴∠AEN=90° ∴△AEN是等腰直角三角形， 同理△AFM是等腰直角三角形； ∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形， ∴AM= AF，AN= AE， ∵S△AMN= AM•AN•sin45°， S△AEF= AE•AF•sin45°， ∴ = =2， ∴S△AMN=2S△AEF． 　 八、解答题（本题14分） 26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2� x� 与x轴交于A、B、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）判断△ABC形状，并说明理由． （2）在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM+ MC的最小值； （3）如图2，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为 ，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF= ，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线 是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在请直接写出点E的横坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由如下， 对于抛物线 y= x2� x� ，令y=0得 x2� x� =0，解得x=� 或3 ；令x=0得y=� ， ∴A（� ，0），C（0，� ），B（3 ，0）， ∴OA= ，OC= ，OB=3 ， ∴ = = ，∵∠AOC=∠BOC， ∴△AOC∽△COB， ∴∠ACO=∠OBC， ∵∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠ACO+∠BCO=90°， ∴∠ACB=90°． （也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理证明）．
（2）如图1中，设第四象限抛物线上一点N（m， m2� m� ），点N关于x轴的对称点P（m，� m2+ m+ ），作过B、C分别作y轴，x轴的平行线交于点G，连接PG． ∵G（3 ，� ）， ∴S△PBC=S△PCG+S△PBG�S△BCG= × ×（� m2+ m