3月中考数学模拟试卷娄底市含答案和解释.docx

2017年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（3月份） 　 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．如图，双曲线y= 的一个分支为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．关于x的一元二次方程（a�1）x2+x+|a|�1=0的一个根是0，则实数a的值为（　　） A．�1 B．0 C．1 D．�1或1 3．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（　　） A． = B． = C． = D． = 4．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 5．函数y=�x2+1的图象大致为（　　） A． B． C． D． 6．抛物线y=2（x�3）2的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上 7．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（　　） A．70° B．35° C．30° D．20° 8．把抛物线y=�2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　） A．y=�2（x�1）2+6 B．y=�2（x�1）2�6 C．y=�2（x+1）2+6 D．y=�2（x+1）2�6 9．从1，2，�3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（　　） A．0 B． C． D．1 10．如图所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 11．关于x的方程x2�ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（　　） A．�1或5 B．1 C．5 D．�1 12．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 　 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．如图，点P在反比例函数y= 的图象上，且PD⊥x轴于点D．若△POD的面积为3，则k的值是　　． 14．在Rt△ABC，若CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD=3，CD=4，则BC=　　． 15．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为　　米． 16．若抛物线y=x2�2x�3与x轴分别交于A，B两点，则A，B的坐标为　　． 17．若代数式x2�8x+12的值是21，则x的值是　　． 18．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是　　． 　 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19．关于x的一元二次方程x2�3x�k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）请选择一个整数k值，使方程的两根同号，并求出方程的根． 20．计算： sin60°�4cos230°+sin45°•tan60°+（ ）�2． 　 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21．如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长CD=6m，坡角到楼房的距离CB=8m．在D点处观察点A的仰角为60°，已知坡角为30°，你能求出楼房AB的高度吗？ 22．为了解某中学学生对“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”主题活动的参与情况．小强在全校范围内随机抽取了若干名学生并就某日午饭浪费饭菜情况进行了调查．将调查内容分为四组：A．饭和菜全部吃完；B．有剩饭但菜吃完；C．饭吃完但菜有剩；D．饭和菜都有剩．根据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图． 回答下列问题： （1）这次被抽查的学生共有　　人，扇形统计图中，“B组”所对应的圆心角的度数为　　； （2）补全条形统计图； （3）已知该中学共有学生2500人，请估计这日午饭有剩饭的学生人数；若按平均每人剩10克米饭计算，这日午饭将浪费多少千克米饭？ 　 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R．求证：RP=RQ． 24．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每件文具的利润不低于为25元且不高于29元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 　 六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，经过点B（0，3）和点（2，3），与x轴交于C，D两点，（点C在点D的左侧），且OD=OB． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连接AB，BD，DA，试判断△ABD的形状； （3）点P是BD上方抛物线上的动点，当P运动到什么位置时，△BPD的面积最大？求出此时点P的坐标及△BPD的面积． 26．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC=6，tan∠F= ，求cos∠ACB的值和线段PE的长． 　
2017年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（3月份） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．如图，双曲线y= 的一个分支为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【考点】反比例函数的图象． 【分析】此题可直接根据反比例函数的图象性质作答． 【解答】解：∵在y= 中，k=8＞0， ∴它的两个分支分别位于第一、三象限，排除①②； 又当x=2时，y=4，排除③； 所以应该是④． 故选D． 　 2．关于x的一元二次方程（a�1）x2+x+|a|�1=0的一个根是0，则实数a的值为（　　） A．�1 B．0 C．1 D．�1或1 【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义． 【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去． 【解答】解：把x=0代入方程得： |a|�1=0， ∴a=±1， ∵a�1≠0， ∴a=�1． 故选：A． 　 3．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【考点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质． 【分析】本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件判定相似的三角形． 【解答】解：根据题意，可得△ADE∽△ABC， 根据相似三角形对应边成比例，可知B不正确，因为AE与EC不是对应边， 所以B不成立． 故选B． 　 4．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系． 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解． 【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解． ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴sinA= ，tanB= 和a2+b2=c2． ∵sinA= ，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x． ∴tanB= ． 故选A．
解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解． ∵A、B互为余角， ∴cosB=sin（90°�B）=sinA= ． 又∵sin2B+cos2B=1， ∴sinB= = ， ∴tanB= = = ． 故选A． 　 5．函数y=�x2+1的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象． 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象． 【解答】解：∵二次项系数a＜0， ∴开口方向向下， ∵一次项系数b=0， ∴对称轴为y轴， ∵常数项c=1， ∴图象与y轴交于（0，1）， 故选B． 　 6．抛物线y=2（x�3）2的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上 【考点】二次函数的性质． 【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x�h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）． 【解答】解：∵函数y=2（x�3）2的顶点为（3，0）， ∴顶点在x轴上． 故选C． 　 7．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（　　） A．70° B．35° C．30° D．20° 【考点】圆周角定理；垂径定理． 【分析】由于直径AB⊥CD，由垂径定理知B是 的中点，进而可根据等弧所对的圆心角和圆周角的数量关系求得∠A的度数．www-2-1-cnjy-com 【解答】解：∵直径AB⊥CD， ∴B是 的中点； ∴∠A= ∠BOC=35°； 故选B． 　 8．把抛物线y=�2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　） A．y=�2（x�1）2+6 B．y=�2（x�1）2�6 C．y=�2（x+1）2+6 D．y=�2（x+1）2�6 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】抛物线平移不改变a的值． 【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（�1，6）．可设新抛物线的解析式为：y=�2（x�h）2+k，代入得：y=�2（x+1）2+6．故选C． 　 9．从1，2，�3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（　　） A．0 B． C． D．1 【考点】列表法与树状图法． 【分析】列举出所有情况，看积是正数的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解： 共有6种情况，积是正数的有2种情况，故概率为 ， 故选：B． 　 10．如图所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看是两个有公共角的三角形， 故选：B． 　 11．关于x的方程x2�ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（　　） A．�1或5 B．1 C．5 D．�1 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2�2x1•x2=5，则a2�4a�5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求． 【解答】解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a， ∵x12+x22=5， ∴（x1+x2）2�2x1•x2=5， ∴a2�4a�5=0， ∴a1=5，a2=�1， ∵△=a2�8a≥0， ∴a=�1． 故选：D． 　 12．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2． 【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°， ∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF， ∴△ABD∽△AEF， ∴AB：BD=AE：EF． 同理：△CDF∽△EAF， ∴CD：CF=AE：EF， ∴AB：BD=CD：CF， 即9：3=（9�3）：CF， ∴CF=2． 故选：B． 　 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．如图，点P在反比例函数y= 的图象上，且PD⊥x轴于点D．若△POD的面积为3，则k的值是　�6　． 【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义即可直接求解． 【解答】解：S△POD= |k|=3， 又∵k＜0， ∴k=�6． 故答案是：�6． 　 14．在Rt△ABC，若CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD=3，CD=4，则BC=　 　． 【考点】射影定理． 【分析】根据射影定理求出BD的长，再根据射影定理计算即可． 【解答】解：如图所示：∵CD是Rt△ABC斜边CD上的高， ∴CD2=AD•DB， 则16=3BD 故BD= ， 可得AB=AD+BD= ， ∵BC2=BD•BA= × ， ∴BC= ， 故答案为： ． 　 15．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为　8　米． 【考点】垂径定理的应用． 【分析】先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算． 【解答】解：因为跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m， 延长CD到O，使得OC=OA，则O为圆心， 则AD= AB=12（米）， 则OA=13米， 在Rt△AOD中，DO= =5， 进而得拱高CD=CO�DO=13�5=8米． 故答案为：8． 　 16．若抛物线y=x2�2x�3与x轴分别交于A，B两点，则A，B的坐标为　（�1，0），（3，0）　． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x2�2x�3=0可得到A、B的坐标． 【解答】解：当y=0时，x2�2x�3=0，解得x1=�1，x2=3， 所以抛物线y=x2�2x�3与x轴的两点坐标为（�1，0），（3，0）， 即A，B的坐标为（�1，0），（3，0）． 故答案为（�1，0），（3，0）． 　 17．若代数式x2�8x+12的值是21，则x的值是　9或�1　． 【考点】解一元二次方程�因式分解法． 【分析】由题意得方程x2�8x+12=21，整理得x2�8x�9=0，然后利用因式分解法解方程即可得到x的值． 【解答】解：根据题意得x2�8x+12=21， 整理得x2�8x�9=0， （x�9）（x+1）=0， x�9=0或x+1=0， 所以x1=9，x2=�1． 故答案为9或�1． 　 18．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是　5×（ ）4030　． 【考点】正方形的性质；坐标与图形性质． 【分析】先利用勾股定理求出AB=BC=AD，再用三角形相似得出A1B= ，A2B2=（ ）2 ，找出规律A2015B2015=（ ）2015 ，即可． 【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）， ∴OA=1，OD=2，BC=AB=AD= ∵正方形ABCD，正方形A1B1C1C， ∴∠OAD+∠A1AB=90°，∠ADO+∠OAD=90°， ∴∠A1AB=∠ADO， ∵∠AOD=∠A1BA=90°， ∴△AOD∽△A1BA， ∴ ， ∴ ， ∴A1B= ， ∴A1B1=A1C=A1B+BC= ， 同理可得，A2B2= =（ ）2 ， 同理可得，A3B3=（ ）3 ， 同理可得，A2015B2015=（ ）2015 ， ∴S第2016个正方形的面积=S正方形C2015C2015B2015A2015=[（ ）2015 ]2=5×（ ）4030， 故答案为5×（ ）4030 　 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19．关于x的一元二次方程x2�3x�k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）请选择一个整数k值，使方程的两根同号，并求出方程的根． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【分析】（1）由方程的系数结合根的判别式即可得出△=9+4k＞0，解之即可得出结论； （2）由根与系数的关系结合方程两根同号即可得出k=�2或�1，取k=�2，利用分解因式法解一元二次方程即可得出结论． 【解答】解：（1）∵方程x2�3x�k=0有两个不相等的实数根， ∴△=（�3）2+4k=9+4k＞0， 解得：k＞� ． （2）∵方程的两根同号， ∴�k＞0， ∴k=�2或�1． 当k=�2时，原方程为x2�3x+2=（x�1）（x�2）=0， 解得：x1=1，x2=2． 　 20．计算： sin60°�4cos230°+sin45°•tan60°+（ ）�2． 【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式= × �4× + × +4= +1． 　 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21．如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长CD=6m，坡角到楼房的距离CB=8m．在D点处观察点A的仰角为60°，已知坡角为30°，你能求出楼房AB的高度吗？ 【考点】解直角三角形的应用�仰角俯角问题；解直角三角形的应用�坡度坡角问题． 【分析】作DH⊥AB于H，根据正弦、余弦的定义求出DE、CE，根据正切的概念求出AH，计算即可． 【解答】解：作DH⊥AB于H， 在Rt△CDE中，DE= CD=3，CE= CD=3 ， ∴BE=3 +8， 在Rt△ADH中，AH=DH•tan∠ADH=9+8 ， ∴AB=AH+BH=12+8 ， 答：楼房AB的高度为（12+8 ）米． 　 22．为了解某中学学生对“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”主题活动的参与情况．小强在全校范围内随机抽取了若干名学生并就某日午饭浪费饭菜情况进行了调查．将调查内容分为四组：A．饭和菜全部吃完；B．有剩饭但菜吃完；C．饭吃完但菜有剩；D．饭和菜都有剩．根据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图．2•1•c•n•j•y 回答下列问题： （1）这次被抽查的学生共有　120　人，扇形统计图中，“B组”所对应的圆心角的度数为　72°　； （2）补全条形统计图； （3）已知该中学共有学生2500人，请估计这日午饭有剩饭的学生人数；若按平均每人剩10克米饭计算，这日午饭将浪费多少千克米饭？ 【考点】加权平均数；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）用A组人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；求出B组所占的百分比，再乘以360°即可得出“B组”所对应的圆心角的度数； （2）用调查的总人数乘以C组所占的百分比得出C组的人数，进而补全条形统计图； （3）先求出这餐晚饭有剩饭的学生人数为：2500×（1�60%�10%）=750（人），再用人数乘每人平均剩10克米饭，把结果化为千克． 【解答】解：（1）这次被抽查的学生数=72÷60%=120（人）， “B组”所对应的圆心角的度数为：360°× =72°． 故答案为120，72°； （2）C组的人数为：120×10%=12； 条形统计图如下： （3）这餐晚饭有剩饭的学生人数为：2500×（1�60%�10%）=750（人），750×10=7500（克）=7.5（千克）． 答：这餐晚饭将浪费7.5千克米饭． 　 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R．求证：RP=RQ． 【考点】切线的性质． 【分析】首先连接OQ，由切线的性质，可得∴∠OQB+∠BQR=90°，又由OA⊥OB，可得∠OPB+∠B=90°，继而可证得∠PQR=∠BPO=∠RPQ，则可证得RP=RQ． 【解答】证明：连接OQ， ∵RQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥QR， ∴∠OQB+∠BQR=90°． ∵OA⊥OB， ∴∠OPB+∠B=90°． 又∵OB=OQ， ∴∠OQB=∠B． ∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ． ∴RP=RQ． 　 24．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每件文具的利润不低于为25元且不高于29元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用． 【分析】（1）根据利润=（销售单价�进价）×销售量，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较． 【解答】解：（1）由题意得，销售量=250�10（x�25）=�10x+500， 则w=（x�20）（�10x+500） =�10x2+700x�10000；
（2）w=�10x2+700x�10000=�10（x�35）2+2250． ∵�10＜0， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当x=35时，w最大=2250， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）A方案利润高．理由如下： A方案中：20＜x≤30， 故当x=30时，w有最大值， 此时wA=2000； B方案中： 故x的取值范围为：45≤x≤49， ∵函数w=�10（x�35）2+2250，对称轴为直线x=35， ∴当x=35时，w有最大值， 此时wB=1250， ∵wA＞wB， ∴A方案利润更高． 　 六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，经过点B（0，3）和点（2，3），与x轴交于C，D两点，（点C在点D的左侧），且OD=OB． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连接AB，BD，DA，试判断△ABD的形状； （3）点P是BD上方抛物线上的动点，当P运动到什么位置时，△BPD的面积最大？求出此时点P的坐标及△BPD的面积．2-1-c-n-j-y 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由点B的坐标可知OB=3，OD=3，故此可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先由抛物线的解析式求得点A的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得AB、AD、BD的长，最后利用勾股定理的逆定理进行判断即可 （3）如图所示：连结OP．设点P的坐标为（x，�x2+2x+3）．依据△DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积�△BOD的面积，列出△DBP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵B（0，3）和点（2，3）的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为x=1，OB=3． ∵OD=OB， ∴OD=3． ∵抛物线与x轴交于C，D两点，（点C在点D的左侧）， ∴D（3，0）． 将点B（0，3）、（2，3）、（3，0）代入抛物线的解析式得： ， 解得：a=�1，b=2，c=3． ∴抛物线的解析式为y=�x2+2x+3． （2）∵y=�x2+2x+3=�（x�1）2+4， ∴点A的坐标为（1，4）． 依据两点间的距离公式可知：AB2=（1�0）2+（4�3）2=2，AD2=（3�1）2+（4�0）2=20，BD2=（3�0）2+（0�3）2=18，【 ∴AB2+BD2=AD2． ∴△ABD为直角三角形． （3）如图所示：连结OP． 设点P的坐标为（x，�x2+2x+3）． △DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积�△BOD的面积 = ×3×x+ ×3×（�x2+2x+3）� ×3×3 =� x2+ x =� （x� ）2+ ． ∴当x= 时，△DBP的面积最大，最大值为 ． 将x= 代入抛物线的解析式得y= ， ∴点P的坐标为（ ， ）． 　 26．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC=6，tan∠F= ，求cos∠ACB的值和线段PE的长． 【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 【分析】（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论． （2）先证明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=20A代入关系式即可． （3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，继而能求出cos∠ACB，再由（2）可得 OA2=OD•OP，代入数据即可得出PE的长． 【解答】解：（1）连接OB， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO=90°， ∵OA=OB，BA⊥PO于D， ∴AD=BD，∠POA=∠POB， 又∵PO=PO， ∴△PAO≌△PBO（SAS）， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴OA⊥PA， ∴直线PA为⊙O的切线．
（2）EF2=4OD•OP． 证明：∵∠PAO=∠PDA=90° ∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°， ∴∠OAD=∠OPA， ∴△OAD∽△OPA， ∴ = ，即OA2=OD•OP， 又∵EF=2OA， ∴EF2=4OD•OP．
（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6， ∴OD= BC=3（三角形中位线定理）， 设AD=x， ∵tan∠F= ， ∴FD=2x，OA=OF=2x�3， 在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x�3）2=x2+32， 解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）， ∴AD=4，OA=2x�3=5， ∵AC是⊙O直径， ∴∠ABC=90°， 又∵AC=2OA=10，BC=6， ∴cos∠ACB= = ． ∵OA2=OD•OP， ∴3（PE+5）=25， ∴PE= ．
2017年4月11日

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