广东中考数学总复习专题突破专题十二圆的综合题.doc

专题十二　圆的综合题
考情分析　6年5考，2013～2017年均在第24题出现，且分值均为9分．重点考查切线的判定和性质，涉及圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、弧长的计算等．预计在2018年仍是重点考查内容．
例　如图1，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2＝AF·AC.

图1
(1)求证：△ABM≌△EBM；
(2)求证：FB是⊙O的切线；
(3)若cos∠ABD＝，AD＝12.求四边形AMEN的面积S.
方法总结　切线的判定主要有两条途径：1.圆心到直线的距离等于半径；2.证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径．注意：1若圆心与切点无连线，需先作辅助线；2.解题过程中一般会涉及到全等三角形、相似三角形的判定与性质，常利用圆周角定理和切线的性质得到角的大小或角之间的等量关系，利用两弧相等得到线段或角度相等．
训练　1.如图2，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E.

图2
(1)求证：∠BME＝∠MAB；
(2)求证：△BME∽△BAM；
(3)若BE＝，sin∠BAM＝，求线段AM的长．
2.如图3，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO.

图3
(1)求证：△ADB∽△OBC；
(2)若∠OCB＝30°，AB＝2，求劣弧AD的长；
(3)连接CD，试证明CD是⊙O的切线．
3．如图4，已知等边三角形ABC，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN＝AM，连接CN，MN，解答下列问题：

图4
(1)猜想△CMN的形状，并证明你的结论；
(2)请你证明CN是⊙O的切线；
(3)若等边三角形ABC的边长是2，求AD·AM的值．
4.如图5，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB及CB延长线交于点F，M.

图5
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若点G为MF的中点，求证：BG是⊙O的切线；
(3)若AD＝4，CM＝9，求四边形ABCD的面积．
5．已知，⊙O经过矩形ABCD的四个顶点，过点B作BK⊥AC，垂足为K，过点D作DH∥KB，DH分别与AC，AB，⊙O及CB的延长线相交于点E，F，G，H.
(1)如图6，求证：AE＝CK；
(2)如图7，连接AH，GB，若F是EG的中点，求证：四边形BKEG为矩形；
(3)在(2)的条件下，求出tan∠HAC的值．

图6 图7
6.如图8，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.

图8　　
(1)求证：AE＝BF；
(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF；
(3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长．

参考答案
例　(1)证明：∵AB是直径，
∴∠BAC＝90°.∴MA⊥AB.
∵ME⊥BE，BM平分∠ABC，
∴AM＝ME.
∵在Rt△BMA和Rt△BME中，
∴△ABM≌△EBM.
(2)证明：∵AB2＝AF·AC，∴＝.
又∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴△BAF∽△CAB.∴∠C＝∠FBA.
∴∠ABC＋∠FBA＝∠ABC＋∠C＝90°，即BC⊥BF.
又BC为⊙O的直径，∴FB为⊙O的切线．
(3)解：在Rt△ABD中，∵cos∠ABD＝，AD＝12，
∴sin∠ABD＝，tan∠ABD＝.
∴BD＝＝9，AB＝＝15，
AC＝AB·tan∠ABD＝20，BE＝AB＝15，DE＝BE－BD＝6.
由(1)知△MEC∽△ADC，设ME＝x，则＝，
即＝，解得x＝，即ME＝.
∵∠AMN＋∠ABM＝90°，∠BND＋∠DBN＝90°，
又∠ABM＝∠DBN，∠ANM＝∠BND，
∴∠ANM＝∠AMN.∴AN＝AM＝ME.
∵AN∥EM，∴四边形AMEN是平行四边形．
∴S＝ME·DE＝×6＝45.
训练　1.(1)证明：如图1，连接OM，

图1
∵直线CD切⊙O于点M，
∴∠OMD＝90°.
∴∠BME＋∠OMB＝90°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°.
∴∠AMO＋∠OMB＝90°.
∴∠BME＝∠AMO.
∵OA＝OM，∴∠MAB＝∠AMO.
∴∠BME＝∠MAB.
(2)证明：由(1)得，∠BME＝∠MAB，
∵BE⊥CD，∴∠BEM＝∠AMB＝90°.
∴△BME∽△BAM.
(3)解：由(1)得，∠BME＝∠MAB，
∵sin∠BAM＝，∴sin∠BME＝.
在Rt△BEM中，∵BE＝，∴sin∠BME＝＝.∴BM＝6.
在Rt△ABM中，∵sin∠BAM＝，
∴sin∠BAM＝＝，∴AB＝6×＝10.
根据勾股定理得，AM＝＝8.
2．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.
∵AD∥CO，∴∠A＝∠BOC.
∴△ADB∽△OBC.
(2)解：如图2，连接OD，

图2
由(1)知，△ADB∽△OBC，
∴∠ABD＝∠OCB＝30°.∴∠DAB＝60°.
∵AO＝OD，
∴△AOD是等边三角形，∠AOD＝60°.
∵AB＝2，∴AO＝1.
∴的长为＝.
(3)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵AD∥CO，∴∠DFO＝90°.
∵∠ODB＝∠OBD，∴∠DOF＝∠BOF.
∵OD＝OB，OC＝OC，
在△ODC和△OBC中，
∴△ODC≌△OBC(SAS)．
∴∠CDO＝∠CBO＝90°.∴OD⊥DC.
∵OD是半径，∴CD是⊙O的切线．
3．(1)解：△CMN是等边三角形；
证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝AB，∠ACB＝60°.
在△BCN与△ACM中，
∴△BCN≌△ACM.
∴CN＝CM，∠BCN＝∠ACM.
∴∠BCN－∠ACN＝∠ACM－∠ACN，即∠MCN＝∠ACB＝60°.
∴△CMN是等边三角形．
(2)证明：如图3，连接OA，OB，OC，

图3
在△BOC与△AOC中，
∴△BOC≌△AOC.
∴∠ACO＝∠BCO＝ACB＝30°.
∵∠ACB＝∠MCN＝60°，
∴∠ACN＝60°.∴∠OCN＝60°＋30°＝90°.∴OC⊥CN.
∵OC是半径，∴CN是⊙O的切线．
(3)解：∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ABC.
∵∠BAD＝∠MAB，∴△ABD∽△AMB.
∴＝.∴AD·AM＝AB2＝22＝4.
4．(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.
在Rt△ADC和Rt△CBA中，AC＝CA，AD＝CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA.
∴∠CAD＝∠ACB.∴AD∥BC.
又AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
(2)证明：如图4，连接OB，

　　　图4
在Rt△MBF中，G是MF的中点，
∴BG＝MF＝FG.
∴∠GBF＝∠GFB＝∠AFE.
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.
∵DG⊥AC，∴∠AFE＋∠OAB＝90°.
∴∠GBF＋∠OBA＝90°，即OB⊥BG.
∵OB是半径，∴BG是⊙O的切线．
(3)解：由(1)得四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCM＝90°.
又AC⊥DG，∴∠CDM＋∠ACD＝90°，∠CDM＋∠M＝90°.
∴∠ACD＝∠M.
又∠ADC＝∠DCM，∴△ACD∽△DMC.∴＝.
∴DC2＝AD·CM＝36.∴DC＝6.
∴S矩形ABCD＝AD·CD＝24.
5．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAE＝∠BCK.
∵DH∥KB，∴∠HEK＝∠BKC＝∠AED＝90°.
在△AED和△CKB中，
∴△AED≌△CKB(AAS)．∴AE＝CK.
(2)证明：∵∠BAD＝90°，∴∠BGD＝∠BAD＝90°.
∵∠BKC＝90°，∴∠BKE＝90°.
又DH∥KB，∴∠HEK＝∠BKE＝∠BGD＝90°.
∴四边形BKEG为矩形．
(3)解：在△AEF和△BGF中，
∴△AEF≌△BGF(ASA)．
∴AE＝BG，AF＝BF.∴AE＝BG＝EK＝CK.
∵BK∥EH，∴CK∶EK＝CB∶HB.∴CB＝HB.
∵∠ABC＝90°，∴AB是CH的垂直平分线．
∴AH＝AC＝3AE.
在△AHE中，∠AEH＝90°，
∴AE2＋EH2＝AH2.∴EH＝2 AE.
∴tan∠HAC＝＝2 .
6．(1)证明：如图5，连接BD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°.

图5
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，
即BD⊥AC.
∴AD＝DC＝BD＝AC，∠CBD＝∠C＝45°.
∴∠A＝∠FBD.
∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°.
∴∠FDB＋∠BDG＝90°.
∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB.
在△AED和△BFD中，
∴△AED≌△BFD(ASA)．∴AE＝BF.
(2)证明：如图5，连接EF，BG，
∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF.
∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形．
∴∠DEF＝45°.
∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF.
∴GB∥EF.
(3)解：∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1.
在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，
∴EF2＝EB2＋BF2.
∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝＝.
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，
∴cos∠DEF＝＝.
∵EF＝，∴DE＝×＝.
∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，
∴△GEB∽△AED.
∴＝，即GE·ED＝AE·EB.
∴·GE＝2，即GE＝.
则DG＝GE＋ED＝.