上海市徐汇区中考数学一模试卷.doc

2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．（4分）如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　）
A．= B．=3 C．= D．=
2．（4分）如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（　　）
A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（　　）
A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC
5．（4分）一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（　　）
A．6000米 B．1000米 C．2000米 D．3000米
6．（4分）已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b=　 　．
8．（4分）点C是线段AB延长线的点，已知=，=，那么=　 　．
9．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD=　 　．

10．（4分）如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是　 　．
11．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：　 　．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是　 　．
13．（4分）正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF=　 　．
14．（4分）已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a=　 　．
15．（4分）如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是　 　．

16．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是　 　．
17．（4分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是　 　．
18．（4分）如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为　 　．

三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19．（10分）计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．
20．（10分）将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．
21．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=，=．求：
（1）向量（用向量、表示）；
（2）tanB的值．

22．（10分）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．
（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：=1.41，=1.73）

23．（12分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．

24．（12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．
（1）求点D的坐标；
（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；
（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．

25．（14分）如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；
（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．

2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．（4分）（2017•徐汇区一模）如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　）
A．= B．=3 C．= D．=
【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．
【解答】解：∵2x=3y，
∴=，
∴选项A不正确；

∵2x=3y，
∴=，
∴==3，
∴选项B正确；

∵2x=3y，
∴=，
∴==，
∴选项C不正确；

∵2x=3y，
∴=，
∴==，
∴∴选项D不正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．

2．（4分）（2017•徐汇区一模）如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．
【解答】解：如图所示：
由题意，得：tanα=i==，
设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，
则斜边==13x，
则cosα==．
故选D．

【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．

3．（4分）（2017•徐汇区一模）如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（　　）
A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2
【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，
抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2（x+1）2﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．

4．（4分）（2017•徐汇区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（　　）
A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC
【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：如图，
A、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；
B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；
C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；
D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．
故选D．

【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．

5．（4分）（2017•徐汇区一模）一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（　　）
A．6000米 B．1000米 C．2000米 D．3000米
【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．
【解答】解：如图所示：

由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，
在Rt△ABC中，∵sin∠A=，
∴AC===2000米．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．

6．（4分）（2017•徐汇区一模）已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2
【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．
【解答】解：
∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而减小，
故选A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（2017•徐汇区一模）已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b=　6　．
【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．
【解答】解：若b是a、c的比例中项，
即b2=ac．则b===6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．

8．（4分）（2017•徐汇区一模）点C是线段AB延长线的点，已知=，=，那么=　﹣　．
【分析】根据向量、的方向相反进行解答．
【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=，=，
所以=+=﹣．
故答案是：﹣．

【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．

9．（4分）（2017•徐汇区一模）如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD=　　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，
∴CE=3.5，
AB∥CD∥EF，
∴，
∴BD=，
故答案为：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．

10．（4分）（2017•徐汇区一模）如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是　：2　．
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，
∴它们的周长比为：2．
故答案为：：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．

11．（4分）（2017•徐汇区一模）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：　AP2=BP•AB　．
【分析】根据黄金分割的概念解答即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴AP2=BP•AB，
故答案为：AP2=BP•AB．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．

12．（4分）（2017•徐汇区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是　　．
【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出sin∠BCD即可．
【解答】解：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
由勾股定理得：BC=5，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴sinA=sin∠BCD==，
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．

13．（4分）（2017•徐汇区一模）正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF=　　．
【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，
∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，
∴△ABF∽△DEF，
∴==3，
∵AF+DF=AD=3，
∴AF=AD=．
故答案为：．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．

14．（4分）（2017•徐汇区一模）已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a=　　．
【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．
【解答】解：y=ax2﹣4ax=a（x2﹣4x+4）﹣4a=a（x﹣2）2﹣4a，
则顶点坐标是（2，﹣4a），
则﹣4a=﹣2，
解得a=．
故答案是：．
【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．

15．（4分）（2017•徐汇区一模）如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是　　．

【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．
【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠BAE=∠CBE，
∴△ABE∽△BCF，
∴，
∴，
∴BE=，
在Rt△ABE中，AB==，
故答案为：．

【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．

16．（4分）（2017•徐汇区一模）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是　16　．
【分析】如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=（）2，因为=，得到=（）2，解方程即可．
【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．

∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴=（）2，
∵=，
∴=（）2，
解得x=1或16（舍弃），
∵S△ABD=S△ADC=1，
∴S△AOB=S△DOC=3，
∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，
故答案为16．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．

17．（4分）（2017•徐汇区一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是　2　．
【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，
∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，
∴AB=4，
由旋转得：EC=AC=5，
∴BE=5﹣3=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．

18．（4分）（2017•徐汇区一模）如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为　　．

【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，
∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，
在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，
∴CH=a，DH=a，
在Rt△DFH中，DF===2a，
在Rt△ECG中，∵CE=a，
∴CG=a，GE=a，
在Rt△BEG中，BE===a，
∴•AP•BE=•DF•AQ，
∴==，
故答案为．
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19．（10分）（2017•徐汇区一模）计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．
【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式=2×﹣|1|+，
=+1+，
=﹣2﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．

20．（10分）（2017•徐汇区一模）将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．
【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；
（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．
【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．
y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
则D的坐标是（2，﹣9）．
在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，
则C的坐标是（0，﹣5），
令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
则B的坐标是（5，0）；
（2）过D作DA⊥y轴于点A．
则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．

【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．

21．（10分）（2017•徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=，=．求：
（1）向量（用向量、表示）；
（2）tanB的值．

【分析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==，==，=+．
（2）由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AC平分∠DCB，
∴∠DCA=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵DE∥AB，AB⊥AC，
∴DE⊥AC，
∴AF=CF，
∴BE=CE，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，
∴==，==，
∴=+．

（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，
∴△DFC∽△BAC，
∴==，
∵CD=AD=3，∴BC=6，
在Rt△BAC中，∠BAC=90°，
∴AC===2，
∴tanB===．
【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．

22．（10分）（2017•永安市一模）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．
（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：=1.41，=1.73）

【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；
（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．
【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，
由题意，得∠ACD=30°．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，
∴cos∠ACD=，
∴CD=AC•cos30°=120×=60（海里）；

（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，
∴cos∠BCD=，
∴BC===60≈60×2.44=146.4（海里），
∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．
答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．

【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．

23．（12分）（2017•徐汇区一模）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．

【分析】（1）根据已知条件得到，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；
（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．
【解答】证明：（1）∵AE•CD=AD•CE，
∴，
∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴，
∴DE∥AB；
（2）∵BD是DF和AB的比例中项，
∴BD2=DF•AB，
∵AD=BD，
∴AD2=DF•AB，
∴=，
∵DE∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴△ADF∽△DBA，
∴==1，
∴DF=AF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

24．（12分）（2017•徐汇区一模）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．
（1）求点D的坐标；
（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；
（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．

【分析】（1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；
（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，
∴点C的坐标为：（0，3），
∵OB=OC，
∴点B的坐标为：（3，0），
∴﹣9+3b+3=0，
解得，b=2，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）如图1，作DH⊥y轴于H，
则CH=DH=1，
∴∠HCD=∠HDC=45°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠DCB=90°，
∴cot∠DBC===3；
（3）﹣x2+2x+3=0，
解得，x1=﹣1，x2=3，
∴点A的坐标为：（﹣1，0），
∴=，又=，
∴=，
∴Rt△AOC∽Rt△DCB，
∴∠ACO=∠DBC，
∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，
∴∠E=45°，
∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠BME，
∴BM=BC，
设直线CA的解析式为：y=kx+b，
则，
解得，，
则直线CA的解析式为：y=3x+3，
设点M的坐标为（x，3x+3），
则（x﹣3）2+（3x+3）2=18，
解得，x1=0（舍去），x2=﹣，
x2=﹣时，y=﹣，
∴点M的坐标为（﹣，﹣）．

【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．

25．（14分）（2017•徐汇区一模）如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；
（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．
【分析】（1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；
（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；
（3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．
【解答】解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则
根据QE=2DQ，可得
==，
又∵DE∥BC，
∴==1，
∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，
∵DF∥AC，
∴=，即=，
∴y=，定义域为：0＜x＜3；

（2）∵DE∥BC，
∴△PEQ∽△PBC，
∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，
①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，
∴BC2=CP•AC，即4=3（3﹣y），
解得y=，
∴=，
解得x==BD；
②当PC=BC=2时，AP=y=1，
∴=1，
解得x==BD；
③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；

（3）∵DE∥BC，
∴∠BDQ+∠CBD=180°，
又∵∠CQB和∠CBD互补，
∴∠CQB+∠CBD=180°，
∴∠CQB=∠BDQ，
∵BD=CE，
∴四边形BCED是等腰梯形，
∴∠BDE=∠CED，
∴∠CQB=∠CED，
又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，
∴∠DQB=∠ECQ，
∴△BDQ∽△QEC，
∴=，即2DQ2=x2，
∴DQ=，DE=，
∵DE∥BC，
∴=，即=，
解得x=．

【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．

参与本试卷答题和审题的老师有：放飞梦想；wd1899；nhx600；ZJX；zhjh；Ldt；HJJ；王学峰；CJX；知足长乐；zjx111；曹先生；tcm123；弯弯的小河；gbl210；szl（排名不分先后）
菁优网
2017年6月23日