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2018中考数学压轴题汇编因动点产生的等腰三角形问题有答案.docx
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1、 1.2因动点产生的等腰三角形问题 例1 2017年重庆市中考第25题 如图1,在ABC中, ACB90,BAC60,点E是BAC的平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DHAC,垂足为H,连接EF,HF (1)如图1,若点H是AC的中点,AC ,求AB、BD的长; (2)如图1,求证:HFEF (3)如图2,连接CF、CE,猜想:CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由例2 2017年长沙市中考第26题 如图1,抛物线yax2bxc(a、b、c是常数,a0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和 两点,点P在该抛物线上运
2、动,以点P为圆心的P总经过定点A(0, 2) (1)求a、b、c的值; (2)求证:在点P运动的过程中,P始终与x轴相交; (3)设P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点,当AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标例3 2018年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1,在RtABC中,A90,AB6,AC8,点D为边BC的中点,DEBC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且PDQ90 (1)求ED、EC的长; (2)若BP2,求CQ的长; (3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若PDF为等腰三角形,求BP的长例4 2017年扬州市中考第27题 如图1,抛
3、物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点P是直线l上的一个动点,当PAC的周长最小时,求点P的坐标; (3)在直线l上是否存在点M,使MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由例5 2017年临沂市中考第26题 如图1,点A在x轴上,OA4,将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置 (1)求点B的坐标; (2)求经过A、O、B的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若
4、不存在,请说明理由 图1例6 2017年盐城市中考第28题 如图1,已知一次函数yx7与正比例函数 的图象交于点A,且与x轴交于点B (1)求点A和点B的坐标; (2)过点A作ACy轴于点C,过点B作直线l/y轴动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿OCA的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒 当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8? 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理
5、由 图1 1.2因动点产生的等腰三角形问题答案 例1 2017年重庆市中考第25题 如图1,在ABC中, ACB90,BAC60,点E是BAC的平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DHAC,垂足为H,连接EF,HF (1)如图1,若点H是AC的中点,AC ,求AB、BD的长; (2)如图1,求证:HFEF (3)如图2,连接CF、CE,猜想:CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“15重庆25”,拖动点E运动,可以体验到,FAE与FDH保持全等,CMF与CAE保持全等,C
6、EF保持等边三角形的形状 思路点拨 1把图形中所有30的角都标注出来,便于寻找等角和等边 2中点F有哪些用处呢?联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了 满分解答 (1)如图3,在RtABC中,BAC60,AC ,所以AB 在RtADH中,DAH30,AH ,所以DH1,AD2 在RtADB中,AD2,AB ,由勾股定理,得BD (2)如图4,由DAB90,BAC60,AE平分BAC,得DAE60, DAH30 在RtADE中,AE 在RtADH中,DH 所以AEDH 因为点F是RtABD的斜边上的中线,所以FAFD,FADFDA 所以FAEFDH所以FAEFDH所以EFHF 图3 图4
7、 图5 (3)如图5,作FMAB于M,联结CM 由FM/DA,F是DB的中点,得M是AB的中点 因此FM ,ACM是等边三角形 又因为AE ,所以FMEA 又因为CMCA,CMFCAE30,所以CMFCAE 所以MCFACE,CFCE 所以ECFACM60所以CEF是等边三角形 考点伸展 我们再看几个特殊位置时的效果图,看看有没有熟悉的感觉 如图6,如图7,当点F落在BC边上时,点H与点C重合 图6 图7 如图8,图9,点E落在BC边上如图10,图11,等腰梯形ABEC例2 2017年长沙市中考第26题 如图1,抛物线yax2bxc(a、b、c是常数,a0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和
8、两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的P总经过定点A(0, 2) (1)求a、b、c的值; (2)求证:在点P运动的过程中,P始终与x轴相交; (3)设P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点,当AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“14长沙26”,拖动圆心P在抛物线上运动,可以体验到,圆与x轴总是相交的,等腰三角形AMN存在三种情况思路点拨 1不算不知道,一算真奇妙,原来P在x轴上截得的弦长MN4是定值 2等腰三角形AMN存在三种情况,其中MAMN和NANM两种情况时,点P的纵坐标是相等的满分解答 (1)已知抛物线的顶点为(0,0),所
9、以yax2所以b0,c0 将 代入yax2,得 解得 (舍去了负值) (2)抛物线的解析式为 ,设点P的坐标为 已知A(0, 2),所以 而圆心P到x轴的距离为 ,所以半径PA圆心P到x轴的距离 所以在点P运动的过程中,P始终与x轴相交 (3)如图2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN 在RtPMH中, , ,所以MH24 所以MH2因此MN4,为定值 等腰AMN存在三种情况: 如图3,当AMAN时,点P为原点O重合,此时点P的纵坐标为0 图2 图3 如图4,当MAMN时,在RtAOM中,OA2,AM4,所以OM2 此时xOH2 所以点P的纵坐标为 如图5,当NANM时,点P的纵坐标为也为
10、 图4 图5 考点伸展 如果点P在抛物线 上运动,以点P为圆心的P总经过定点B(0, 1),那么在点P运动的过程中,P始终与直线y1相切这是因为: 设点P的坐标为 已知B(0, 1),所以 而圆心P到直线y1的距离也为 ,所以半径PB圆心P到直线y1的距离所以在点P运动的过程中,P始终与直线y1相切例3 2018年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1,在RtABC中,A90,AB6,AC8,点D为边BC的中点,DEBC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且PDQ90 (1)求ED、EC的长; (2)若BP2,求CQ的长; (3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若P
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