2018中考数学专题复习压轴题集训含答案.doc

压轴题集训

一．选择题（共 3 小题）
1. 如图，已知直线 a∥b，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 A 到直线 a 的距离为 2，点 B 到直线 b 的距离为 3，AB= ．试在直线 a 上找一点 M，在直线 b 上找一点 N，满足 MN⊥a 且 AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
2. 如图所示，已知 A（，y1），B（2，y2）为反比例函数 y=图象上的两点，动点 P（x，0）在 x 轴正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点
P 的坐标是（ ）
A．（，0） B．（1，0） C．（，0） D．（，0）
3. 如图，在⊙O 上有定点 C 和动点 P，位于直径 AB 的异侧，过点 C 作 CP 的垂
线，与 PB 的延长线交于点 Q，已知：⊙O 半径为，tan∠ABC= ，则 CQ 的最大值是（ ）

A．5 B． C． D．
二．填空题（共 11 小题）
4. 如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 ．
5. 如图，直线 y=﹣与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B；点 Q 是以 C（0，﹣1） 为圆心、1 为半径的圆上一动点，过 Q 点的切线交线段 AB 于点 P，则线段 PQ 的最小值是 ．

6. 如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，过 A 作 AC⊥MN 于点 C， 过 B 作 BD⊥MN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN=20，AC=8，BD=6，则
PA+PB 的最小值是 ．

7. 如图，已知正方形ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1，点 P，Q 分别是边 BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四边

形 AEPQ 的面积是 ．

8. 如图，∠AOB=30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1，ON=3，点 P、
Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是 ．
9. 如图，菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1，P、E、
F 分别是边 CD、⊙A 和⊙B 上的动点，则 PE+PF 的最小值是 ．

10. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A=60°，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C 长度的最小值是 ．

11. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是 AB 边上的动点（不与点
B 重合），将△BCP 沿 CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接 B′A，则 B′A 长度的最小值是 ．

12. 如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a= ．

13. 如图，直线 l 与半径为 4 的⊙O 相切于点 A，P 是⊙O 上的一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PB⊥l，垂足为 B，连接 PA．设 PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是 ．

14. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点 C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点 E、F
分别是 AC、BC 的中点，直线 EF 与⊙O 交于 G、H 两点．若⊙O 的半径为 7，则
GE+FH 的最大值为 ．

三．解答题（共 1 小题）
15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于
D，P 是上的一个动点，连接 AP，求 AP 的最小值．

压轴题集训
参考答案与试题解析

一．选择题（共 3 小题）
1. 如图，已知直线 a∥b，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 A 到直线 a 的距离为 2，点 B 到直线 b 的距离为 3，AB= ．试在直线 a 上找一点 M，在直线 b 上找一点 N，满足 MN⊥a 且 AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：过 A 作直线 a 的垂线，并在此垂线上取点 A′，使得 AA′=4，连接 A′B， 与直线 b 交于点 N，过N 作直线 a 的垂线，交直线 a 于点 M，连接 AM，过点 B 作 BE⊥AA′，交射线 AA′于点 E，如图．
∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN．
又∵AA′=MN=4，
∴四边形 AA′NM 是平行四边形，
∴AM=A′N．
由于 AM+MN+NB 要最小，且 MN 固定为 4，所以 AM+NB 最小． 由两点之间线段最短，可知 AM+NB 的最小值为 A′B．
∵AE=2+3+4=9，AB= ，
∴BE= =，
∵A′E=AE﹣AA′=9﹣4=5，
∴A′B= =8

所以 AM+NB 的最小值为 8． 故选：B．

2. 如图所示，已知 A（，y1），B（2，y2）为反比例函数 y=图象上的两点，动点 P（x，0）在 x 轴正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点
P 的坐标是（ ）
A．（，0） B．（1，0） C．（，0） D．（，0）
【解答】解：∵把 A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数 y=得：y1=2，y2=，
∴A（，2），B（2，），
∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长 AB 交 x 轴于 P′，当 P 在 P′点时，PA﹣PB=AB， 即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大，
设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，
把 A、B 的坐标代入得： ， 解得：k=﹣1，b= ，
∴直线 AB 的解析式是 y=﹣x+ ，

当 y=0 时，x=， 即 P（，0），
故选：D．

3. 如图，在⊙O 上有定点 C 和动点 P，位于直径 AB 的异侧，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点 Q，已知：⊙O 半径为，tan∠ABC= ，则 CQ 的最
大值是（ ）

A．5 B． C． D．
【解答】解：∵AB 为⊙O 的直径，
∴AB=5，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC= ，
∴=，
∵CP⊥CQ，
∴∠PCQ=90°， 而∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ，
∴=，
∴CQ= •PC= PC，

当 PC 最大时，CQ 最大，即 PC 为⊙O 的直径时，CQ 最大，此时 CQ=×5= ． 故选：D．

二．填空题（共 11 小题）
4. 如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最 小 值 为 ．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当 AD 为△ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD
最短，
如图，连接 OE，OF，过 O 点作 OH⊥EF，垂足为 H，
∵在 Rt△ADB 中，∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为 2，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在 Rt△EOH 中，EH=OE•sin∠EOH=1×=， 由垂径定理可知 EF=2EH=．
故答案为：．

5. 如图，直线 y=﹣ 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B；点 Q 是以 C（0，﹣1）

为圆心、1 为半径的圆上一动点，过 Q 点的切线交线段 AB 于点 P，则线段 PQ 的最小值是 ．

【解答】解：过点 C 作 CP⊥直线 AB 于点 P，过点 P 作⊙C 的切线 PQ，切点为 Q， 此时 PQ 最小，连接 CQ，如图所示．
当 x=0 时，y=3，
∴点 B 的坐标为（0，3）；当 y=0 时，x=4，
∴点 A 的坐标为（4，0）．
∴OA=4，OB=3，
∴AB= =5，
∴sinB= =．
∵C（0，﹣1），
∴BC=3﹣（﹣1）=4，
∴CP=BC•sinB= ．
∵PQ 为⊙C 的切线，
∴在 Rt△CQP 中，CQ=1，∠CQP=90°，
∴PQ= =．
故答案为： ．

6. 如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，过 A 作 AC⊥MN 于点 C， 过 B 作 BD⊥MN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN=20，AC=8，BD=6，则
PA+PB 的最小值是 14 ．

【解答】解：∵MN=20，
∴⊙O 的半径=10， 连接 OA、OB，
在 Rt△OBD 中，OB=10，BD=6，
∴OD= ==8；
同理，在 Rt△AOC 中，OA=10，AC=8，
∴OC= ==6，
∴CD=8+6=14，
作点 B 关于 MN 的对称点 B′，连接 AB′，则 AB′即为 PA+PB 的最小值，B′D=BD=6， 过点 B′作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 E，
在 Rt△AB′E 中，
∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，
∴AB′= ==14 ． 故答案为：14．

7. 如图，已知正方形ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1，点 P，Q 分别是边 BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四边形 AEPQ 的 面 积 是 ．

【解答】解：如图 1 所示：

作 E 关于 BC 的对称点 E′，点 A 关于 DC 的对称点 A′，连接 A′E′，四边形 AEPQ 的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．
∵DQ∥AE′，D 是 AA′的中点，
∴DQ 是△AA′E′的中位线，
∴DQ= AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，

∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴=，即=，BP= ，CP=BC﹣BP=3﹣ =，
S 四边形 AEPQ=S 正方形 ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP
=9﹣ AD•DQ﹣ CQ•CP﹣ BE•BP
=9﹣ ×3×2﹣ ×1×﹣×1×
=．
故答案为：．

8. 如图，∠AOB=30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1，ON=3，点 P、
Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是 ．

【解答】解：作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′， 连接 M′N′，即为 MP+PQ+QN 的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在 Rt△M′ON′中， M′N′= =．
故答案为 ．

9. 如图，菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1，P、E、
F 分别是边 CD、⊙A 和⊙B 上的动点，则 PE+PF 的最小值是 3 ．

【解答】解：作 A 点关于直线 DC 的对称点 A′，连接 BD，DA′， 可得 A′A⊥DC，则∠BAA′=90°，故∠A′=30°，
则∠ABA′=60°，∠ADN=∠A′DN=60°，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠ADB+∠ADA′=180°，
∴A′，D，B 在一条直线上，
由题意可得出：此时 P 与 D 重合，E 点在 AD 上，F 在 BD 上，此时 PE+PF 最小，
∵菱形 ABCD 中，∠A=60°，
∴AB=AD，则△ABD 是等边三角形，
∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1，
∴PE=1，DF=2，
∴PE+PF 的最小值是 3． 故答案为：3．

10. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A=60°，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C 长度的最小值是 ﹣1 ．
【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即 A′在 MC 上时， 过点 M 作 MF⊥DC 于点 F，
∵在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A=60°，M 为 AD 中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD= MD= ，
∴FM=DM×cos30°= ，
∴MC= =，
∴A′C=MC﹣MA′= ﹣1． 故答案为：﹣1．

11. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是 AB 边上的动点（不与点
B 重合），将△BCP 沿 CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接 B′A，则 B′A 长度的最小值是 1 ．

【解答】解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理可知：AC===4， 由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，
当 A、B′、C 三点在一条直线上时，B′A 有最小值，
∴B′Amin=AC﹣B′C=4﹣3=1． 故答案为：1．

12. 如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a= ．

【解答】解：将 N 点向左平移 2 单位与 P 重合，点 B 向左平移 2 单位到 B′（2，
﹣1），
作 B′关于 x 轴的对称点 B″，根据作法知点 B″（2，1），设直线 AB″的解析式为 y=kx+b，
则，解得 k=4，b=﹣7．
∴y=4x﹣7．当 y=0 时，x=，即 P（，0），a=．故答案填： ．

13. 如图，直线 l 与半径为 4 的⊙O 相切于点 A，P 是⊙O 上的一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PB⊥l，垂足为 B，连接 PA．设 PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是 2 ．

【解答】解：如图，作直径 AC，连接 CP，

∴∠CPA=90°，
∵AB 是切线，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴ ，

∵PA=x，PB=y，半径为 4，
∴=，
∴y= x2，
∴x﹣y=x﹣ x2=﹣ x2+x=﹣ （x﹣4）2+2， 当 x=4 时，x﹣y 有最大值是 2，
故答案为：2．

14. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点 C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点 E、F
分别是 AC、BC 的中点，直线 EF 与⊙O 交于 G、H 两点．若⊙O 的半径为 7，则
GE+FH 的最大值为 10.5 ．
【解答】解：当 GH 为⊙O 的直径时，GE+FH 有最大值． 当 GH 为直径时，E 点与 O 点重合，
∴AC 也是直径，AC=14．
∵∠ABC 是直径上的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB= AC=7．
∵点 E、F 分别为 AC、BC 的中点，
∴EF= AB=3.5，
∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．
故答案为：10.5．

三．解答题（共 1 小题）
15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于

D，P 是上的一个动点，连接 AP，求 AP 的最小值．

【解答】解：找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P2，在半圆上取 P1，连接AP1，EP1，
可 见 ，AP1+EP1＞AE， 即 AP2 是 AP 的最小值，
∵AE= =，P2E=1，
∴AP2= ﹣1．