广东省中山市中考数学试题及答案.doc

2009年广东省中山市初中毕业生学业考试
数 学
说明:
1.全卷共4页，考试用时100分钟，满分为120分.
2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．计算结果是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示几何体的主（正）视图是（ ）

A． B． 　　　　 C． D．
4．《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）
A． 元 B．元 C．元 D．元
5．方程组的解是（ ）
A． 　 　B．
C． 　　　　　 Ｄ．
二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
6．分解因式 ．
第7题图
A
C
B
O
7．已知的直径为上的一点，，则= ．
8．一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则现售价应为 元．
9．在一个不透明的布袋中装有2个白球和个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则_____________．
10．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖________块（用含的代数式表示）．
第10题图

……

（1） （2） （3）

三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．（本题满分6分）计算：．
A
C
B
D
E
第13题图
12．（本题满分6分）解方程
13．（本题满分6分）如图所示，是等边三角形， 点是的中点，延长到，使，
（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：．

14．（本题满分6分）已知：关于的方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．

30°
A
B
F
E
P
45°
第15题图

15．（本题满分6分）如图所示，、两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上，已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：）
四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．（本题满分7分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
17．（本题满分7分）某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？
（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？
（3）补全频数分布折线统计图．
图2
人数
乒乓球
20%
足球
排球
篮球
40%
50
40
30
20
10
O
项目
足球
乒乓球
篮球
排球
图1
第17题图

18．（本题满分7分）在中，，以为直径作，
A
D
B
C
O
第18题图
（1）求圆心到的距离（用含的代数式来表示）；
（2）当取何值时，与相切．

19．（本题满分7分）如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．
（1）求矩形的面积；
A1
O1
A2
B2
B1
C1
B
C2
A
O
D
第19题图
C
（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20、（本题满分9分）
第20题图
A
E
O
G
F
B
C
D
A
E
O
B
C
D
图1
图2
（1）如图1，圆心接中，，、为的半径，于点，于点
求证：阴影部分四边形的面积是的面积的．
（2）如图2，若保持角度不变，
求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．

21．（本题满分9分）小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．
方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解

令
则

所以

N
D
A
CD
B
M
第22题图
22．（本题满分9分）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时，求的值．
广东省中山市2009年初中毕业生学业考试
数学试题参考答案及评分建议
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
1．B 2．A 3．B 4．A 5．D
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
6． 7．4 8．96 9．8 10．10，
三、解答题（一）（本大题5小题，每题6分，共30分）
11．解：原式= 4分
=4． 6分
12．解：方程两边同时乘以， 2分
， 4分
， 5分
经检验：是方程的解． 6分
13．解：（1）作图见答案13题图，
答案13题图
A
C
B
D
E
M

2分
（2）是等边三角形，是的中点，
平分（三线合一），
． 4分
，
．
又，
． 5分
又，
，
，
．
又，
． 6分
14．解：（1），
， 2分
无论取何值，，所以，即，
方程有两个不相等的实数根． 3分
（2）设的另一个根为，
则，， 4分
解得：，，
的另一个根为，的值为1． 6分
答案15题图
A
B
F
E
P
C
15．解：过点作，是垂足，
则，， 2分
，，
， 4分
，
， 5分
，
答：森林保护区的中心与直线的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 6分
四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑， 1分
依题意得：， 3分
，
或，
（舍去）， 5分
． 6分
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 7分
17．解：（1）（人）． 1分
（2）， 2分
，
． 3分
（3）喜欢篮球的人数：（人）， 4分
喜欢排球的人数：（人）． 5分
答案17题图
人数
50
40
30
20
10
O
项目
足球
乒乓球
篮球
排球

7分

18．解：（1）分别过两点作，垂足分别为点，点，
就是圆心到的距离．
四边形是平行四边形，
． 2分
答案18题图（1）
A
D
B
C
O
E
F
答案18题图（2）
A
D
B
C
O
E
F

在中，，
， 4分
圆心到的距离为． 5分
（2），
为的直径，且，
当时，与相切于点，
即， 6分
当时，与相切． 7分
19．解：（1）在中，
，
． 2分
（2）矩形，对角线相交于点，
． 3分
四边形是平行四边形，
，
．
又，
，
， 5分
同理，， 6分
第6个平行四边形的面积为． 7分
答案20题图（1）
A
E
O
G
F
B
C
D
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．证明：（1）如图1，连结，
因为点是等边三角形的外心，
所以． 2分
，
因为，
所以． 4分
（2）解法一：
答案20题图（2）
A
E
O
G
F
B
C
D
1
2
3
4
5
连结和，则，， 5分
不妨设交于点，交于点，
，
． 7分
在和中，

， 8分
答案第20题图（3）
A
E
O
G
F
B
C
D
1
3
2
H
K
． 9分
解法二：
不妨设交于点，交于点，
作，垂足分别为， 5分
在四边形中，，
， 6分
即．
又，
． 7分
，
，
， 8分
． 9分
21．解：
方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解

令，则
……1分

……2分

（舍去）
……3分
，所以．
……4分

令，则
……6分

……7分

（舍去）
……8分
，所以．
……9分
22．解：（1）在正方形中，，
N
D
A
CD
B
M
答案22题图
，
，
．
在中，，
，
． 2分
（2），
，
， 4分
，
当时，取最大值，最大值为10． 6分
（3），
要使，必须有， 7分
由（1）知，
，
当点运动到的中点时，，此时． 9分
（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）