计算机算法设计和分析第版王晓东电子教案省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。学习关键点学习关键点了解产生伪随机数算法掌握数值随机化算法设计思想 掌握蒙特卡罗算法设计思想掌握拉斯维加斯算法设计思想掌握舍伍德算法设计思想1第1页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。随机数随机数在随机化算法设计中饰演着十分主要角色。在现实计算机上无法产生真正随机数，所以在随机化算法中使用随机数都是一定程度上随机，即伪随机数。线性同余法是产生伪随机数最惯用方法。由线性同余法产生随机序列a0,a1,an满足其中b0，c0，dm。d称为该随机序列种子。怎样选取该方法中常数b、c和m直接关系到所产生随机序列随机性能。这是随机性理论研究内容，已超出本书讨论范围。从直观上看，m应取得充分大，所以可取m为机器大数，另外应取gcd(m,b)=1，所以可取b为一素数。2第2页数值随机化算法 3第3页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。用随机投点法计算值 设有二分之一径为r圆及其外切四边形。向该正方形随机地投掷n个点。设落入圆内点数为k。因为所投入点在正方形上均匀分布，因而所投入点落入圆内概率为 。所以当n足够大时，k与n之比就迫近这一概率。从而double Darts(int n)/用随机投点法计算值 static RandomNumber dart;int k=0;for(int i=1;i=n;i+)double x=dart.fRandom();double y=dart.fRandom();if(x*x+y*y)=1)k+;return 4*k/double(n);4第4页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。计算定积分设f(x)是0，1上连续函数，且0f(x)1。需要计算积分为 ,积分I等于图中面积G。在图所表示单位正方形内均匀地作投点试验，则随机点落在曲线下面概率为假设向单位正方形内随机地投入n个点(xi,yi)。假如有m个点落入G内，则随机点落入G内概率5第5页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。解非线性方程组求解下面非线性方程组其中，x1,x2,xn是实变量，fi是未知量x1,x2,xn非线性实函数。要求确定上述方程组在指定求根范围内一组解 在指定求根区域D内，选定一个随机点x0作为随机搜索出发点。在算法搜索过程中，假设第j步随机搜索得到随机搜索点为xj。在第j+1步，计算出下一步随机搜索增量xj。从当前点xj依xj得到第j+1步随机搜索点。当x时，取为所求非线性方程组近似解。不然进行下一步新随机搜索过程。6第6页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。舍伍德(Sherwood)算法设A是一个确定性算法，当它输入实例为x时所需计算时间记为tA(x)。设Xn是算法A输入规模为n实例全体，则当问题输入规模为n时，算法A所需平均时间为这显然不能排除存在xXn使得 可能性。希望取得一个随机化算法B，使得对问题输入规模为n每一个实例都有这就是舍伍德算法设计基本思想。当s(n)与tA(n)相比可忽略时，舍伍德算法可取得很好平均性能。7第7页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。舍伍德(Sherwood)算法复习学过Sherwood算法：（1）线性时间选择算法（2）快速排序算法有时也会碰到这么情况，即所给确实定性算法无法直接改造成舍伍德型算法。此时可借助于随机预处理技术，不改变原有确实定性算法，仅对其输入进行随机洗牌，一样可收到舍伍德算法效果。比如，对于确定性选择算法，能够用下面洗牌算法shuffle将数组a中元素随机排列，然后用确定性选择算法求解。这么做所收到效果与舍伍德型算法效果是一样。templatevoid Shuffle(Type a,int n)/随机洗牌算法 static RandomNumber rnd;for(int i=0;in;i+)int j=rnd.Random(n-i)+i;Swap(ai,aj);8第8页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。跳跃表舍伍德型算法设计思想还可用于设计高效数据结构。假如用有序链表来表示一个含有n个元素有序集S，则在最坏情况下，搜索S中一个元素需要(n)计算时间。提升有序链表效率一个技巧是在有序链表部分结点处增设附加指针以提升其搜索性能。在增设附加指针有序链表中搜索一个元素时，可借助于附加指针跳过链表中若干结点，加紧搜索速度。这种增加了向前附加指针有序链表称为跳跃表。应在跳跃表哪些结点增加附加指针以及在该结点处应增加多少指针完全采取随机化方法来确定。这使得跳跃表可在O(logn)平均时间内支持关于有序集搜索、插入和删除等运算。9第9页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。跳跃表在普通情况下，给定一个含有n个元素有序链表，能够将它改造成一个完全跳跃表，使得每一个k级结点含有k+1个指针，分别跳过2k-1，2k-1-1，20-1个中间结点。第i个k级结点安排在跳跃表位置i2k处，i0。这么就能够在时间O(logn)内完成集合组员搜索运算。在一个完全跳跃表中，最高级结点是logn级结点。完全跳跃表与完全二叉搜索树情形非常类似。它即使能够有效地支持组员搜索运算，但不适应于集合动态改变情况。集合元素插入和删除运算会破坏完全跳跃表原有平衡状态，影响后继元素搜索效率。10第10页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。跳跃表为了在动态变化中维持跳跃表中附加指针平衡性，必须使跳跃表中k级结点数维持在总结点数一定比例范围内。注意到在一个完全跳跃表中，50%指针是0级指针；25%指针是1级指针；(100/2k+1)%指针是k级指针。所以，在插入一个元素时，以概率1/2引入一个0级结点，以概率1/4引入一个1级结点，以概率1/2k+1引入一个k级结点。其次，一个i级结点指向下一个同级或更高级结点，它所跳过结点数不再准确地维持在2i-1。经过这样修改，就可以在插入或删除一个元素时，经过对跳跃表局部修改来维持其平衡性。11第11页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。跳跃表 在一个完全跳跃表中，含有i级指针结点中有二分之一同时含有i+1级指针。为了维持跳跃表平衡性，能够事先确定一个实数0p1，并要求在跳跃表中维持在含有i级指针结点中同时含有i+1级指针结点所占百分比约为p。为此目标，在插入一个新结点时，先将其结点级别初始化为0，然后用随机数生成器重复地产生一个0，1间随机实数q。假如q0。设t(x)是算法obstinate找到详细实例x一个解所需平均时间,s(x)和e(x)分别是算法对于详细实例x求解成功或求解失败所需平均时间，则有：解此方程可得：13第13页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。n后问题对于n后问题任何一个解而言，每一个皇后在棋盘上位置无任何规律，不含有系统性，而更象是随机放置。由此轻易想到下面拉斯维加斯算法。在棋盘上相继各行中随机地放置皇后，并注意使新放置皇后与已放置皇后互不攻击，直至n个皇后均已相容地放置好，或已没有下一个皇后可放置位置时为止。假如将上述随机放置策略与回溯法相结合，可能会取得更加好效果。能够先在棋盘若干行中随机地放置皇后，然后在后继行中用回溯法继续放置，直至找到一个解或宣告失败。随机放置皇后越多，后继回溯搜索所需时间就越少，但失败概率也就越大。stopVegaspset01.0000262.00-262.0050.503933.8847.2380.39120.046513.0010.20222.1114第14页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。整数因子分解设n1是一个整数。关于整数n因子分解问题是找出n以下形式唯一分解式：其中，p1p2pk是k个素数，m1,m2,mk是k个正整数。假如n是一个合数，则n必有一个非平凡因子x，1xn，使得x能够整除n。给定一个合数n，求n一个非平凡因子问题称为整数n因子分割问题。int Split(int n)int m=floor(sqrt(double(n);for(int i=2;i=m;i+)if(n%i=0)return i;return 1;实际上，算法split(n)是对范围在1x全部整数进行了试除而得到范围在1x2任一整数因子分割。15第15页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。Pollard算法在开始时选取0n-1范围内随机数，然后递归地由产生无穷序列对于i=2k，以及2k1)&(dn)coutdendl;if(i=k)y=x;k*=2;对Pollard算法更深入分析可知，执行算法while循环约 次后，Pollard算法会输出n一个因子p。因为n最小素因子p ，故Pollard算法可在O(n1/4)时间内找到n一个素因子。16第16页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。蒙特卡罗(Monte Carlo)算法在实际应用中常会碰到一些问题，不论采取确定性算法或随机化算法都无法确保每次都能得到正确解答。蒙特卡罗算法则在普通情况下能够确保对问题全部实例都以高概率给出正确解，不过通常无法判定一个详细解是否正确。设p是一个实数，且1/2pn/2时，称元素x是数组T主元素。templatebool Majority(Type*T,int n)/判定主元素蒙特卡罗算法 int i=rnd.Random(n)+1;Type x=Ti;/随机选择数组元素 int k=0;for(int j=1;jn/2);/kn/2 时T含有主元素templatebool MajorityMC(Type*T,int n,double e)/重复调用算法Majority int k=ceil(log(1/e)/log(2);for(int i=1;i0，算法majorityMC重复调用log(1/)次算法majority。它是一个偏真蒙特卡罗算法，且其错误概率小于。算法majorityMC所需计算时间显然是O(nlog(1/)。19第19页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。素数测试WilsonWilson定理定理定理定理：对于给定正整数n，判定n是一个素数充要条件是(n-1)!-1(mod n)。费尔马小定理费尔马小定理费尔马小定理费尔马小定理：假如p是一个素数，且0ap，则ap-1(mod p)。二次探测定理二次探测定理二次探测定理二次探测定理：假如p是一个素数，且0 xp，则方程x21(mod p)解为x=1，p-1。void power(unsigned int a,unsigned int p,unsigned int n,unsigned int&result,bool&composite)/计算mod n，并实施对n二次探测 unsigned int x;if(p=0)result=1;else power(a,p/2,n,x,composite);/递归计算 result=(x*x)%n;/二次探测 if(result=1)&(x!=1)&(x!=n-1)composite=true;if(p%2)=1)/p是奇数 result=(result*a)%n;bool Prime(unsigned int n)/素数测试蒙特卡罗算法 RandomNumber rnd;unsigned int a,result;bool composite=false;a=rnd.Random(n-3)+2;power(a,n-1,n,result,composite);if(composite|(result!=1)return false;else return true;算法prime是一个偏假3/4正确蒙特卡罗算法。经过屡次重复调用错误概率不超出(1/4)k。这是一个很保守预计，实际使用效果要好得多。20第20页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。21第21页