可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究研究生数学建模f题论文-本科论文.doc

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第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛

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第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛

题 目可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究
摘 要：
在人口老龄化程度日益加深的背景下，我国的养老保险体系遇到了极大的挑战。养老金缺口已经出现并且缺口可能还会继续扩大。如果不及时解决养老金缺口问题，它将会给社会经济发展带来沉重的负担，如何保障养老保险体系持续健康稳定的发展，成为一个亟待研究的重要问题。为此，本文立足现实，探讨适合国情的养老保险体系，探寻促进我国城乡养老保险体系可持续发展的路径，同时为国家制定城乡居民养老保险相关政策提供参考。
问题一 (建立中国城乡居民养老保险体系数学模型)，首先确定影响养老保险体系的相关因素，此处一方面利用题目给出的影响因素；另一方面借鉴相关专家学者的研究以及我国经济社会发展的现实情况，最终确定影响中国城乡居民养老保险体系的主要因素，包括养老金收入、养老金支出、养老金替代率、缴费率、养老金结余量、投资收益率、投资收益额、政府财政投入、GDP增长率、GDP增长额、分年龄段死亡率、养老金领取人数、CPI增长率、年平均工资水平、个人缴费总额、缴费率、缴费人数、劳动人口数、就业率。其次，确立各因素之间的假设关系。然后，构建基本养老保险体系的系统动力学模型，并进行系统仿真。模型建立要紧密结合社会我国的经济发展状况。
问题二，(1) 本文利用问题一中构建的基本养老保险系统动力学模型，设置基期为2010年的实际数据，预测今年至2035年我国养老金缺口，从2021年养老金开始出现缺口，并呈现扩大趋势。选取2000-2010年的数据来预测2011-2035年的养老金结余，其中2011年我国实际养老金结余为19496.6亿元，经过预测得到2011年的养老金结余为20672.1亿元，测量误差仅为6%，可见对养老金缺口的预测非常合理。(2) 如果国家现行养老保险政策保持不变，根据本文构建的数学模型，我国城乡居民养老保险收支矛盾最尖锐的情况将在2035年出现，基金缺口将高达2.00102e+011元 。(3) 根据党的十八大提出的收入倍增计划，城乡居民人均收入比2010年翻一番，本文把模型中的工资提高一倍，则个人缴费总额将上涨，进而基金收入也会提高，在基金支出的增长不变情况下，养老保险基金结余量就会增多。
问题三，尝试运用系统动力学模型进行仿真，调试替代率与缴费率，探寻最佳组合，经过不断调试，结合现实情况，最终确定替代率水平在40%-50%区间，缴费率在6%-8%之间，为合理区间。这不仅符合我国的实际情况，也与整个养老金系统发展的趋势较为匹配。
问题四，由于人口结构、死亡率、经济增速、投资收益等因素几乎无法人为较大幅度改动，另外，替代率与缴费率在第三问中已经讨论过。因此本文尝试将增加政府财政投入作为可调节变量的数学模型，经过反复调试，发现增加政府财政投入有利于延缓养老金缺口的出现。
本文创新点是利用系统动力学模型对养老保险体系进行仿真，综合多项因素，构成一个综合模型。有效说明我国养老保险体系的运行现状并且对未来养老金结余量进行科学合理地预测。

关键词：城乡居民；养老保险体系；系统动力学；回归分析；

1.问题的提出
党的十八大报告提出了“统筹推进城乡社会保障体系建设”的任务：“社会保障是保障人民生活、调节社会分配的一项基本制度。要坚持全覆盖、保基本、多层次、可持续方针，以增强公平性、适应流动性、保证可持续性为重点，全面建成覆盖城乡居民的社会保障体系”。
近年来，我国城镇职工养老保险金制度基本建立，参保覆盖面日益扩大，退休人员待遇逐年提高，养老保险基金规模不断上升，在制度层面上提前完成了城市和农村居民社会保障全覆盖，成为我们社会保障事业发展的重要里程碑。然而我国的社会保障事业也面临着巨大的挑战。我国的养老保险体系建设远远滞后于社会经济发展水平。一方面资金规模相对较少，保障能力有限，地区差距、城乡差距明显；另一方面资金管理分散，运营效率不高，保值增值的压力较大。因此，进一步完善养老保险保障体系仍是我国政府未来最重要的任务之一。
面临人口老龄化以及经济结构性减速、财政收入增长速度下降，社会保障体系可持续问题亟待解决，必须进行前瞻性研究，否则将形成社会问题。在研究的过程中，应该承认历史、立足现实、尊重规律、借鉴国外、留有余地，既量力而行，又尽力而为地完善我国的养老保险体系。
本题要求运用数学模型方法研究、解决该问题。为此，要做好以下几项工作。
1．分别建立合乎国情、适应国力的中国城乡居民(含新农保)养老金收入、支出的宏观数学模型，至少包括替代率(基本养老保险人均养老金占城镇单位在岗职工平均工资比率)、缴费率(基本养老保险人均缴费占城镇单位在岗职工平均工资比率)、人口结构、分年龄段死亡率、经济增速、财政补贴、工资水平或物价指数、投资效益等主要因素，要做到模型结合现实，分多个层次(含企业基金等)，体现“多缴多得，长缴多得”(不考虑分省、分地区模型)。
2．根据所建立的数学模型、对养老金缺口的理解和对未来有关情况的合理估计，估计从今年至2035年我国养老金缺口，并说明对养老金缺口分析的合理性。如果全部情况维持不变，根据建立的数学模型我国城乡居民养老保险收支矛盾最尖锐的情况发生在什么时间，严重程度如何？考虑到党的十八大提出的收入倍增计划，建立的数学模型哪些部分需要调整？
3．养老保险制度也是调节社会分配，分析各国养老保险的不同模式，取其精华，去其糟粕，根据建立的数学模型和中国的实际情况，利用仿真手段寻找替代率和缴费率的合理区间以保证我国养老保险体系的可持续性(因为人口结构、分年龄段死亡率、经济增速、投资效益等主要因素几乎无法人为较大幅度改动)；在步入良性循环之前，在矛盾最尖锐到来前的过渡期内应该采取哪些政策措施实现平稳过渡并仿真预测相关政策的效果。
4. 尝试建立第三问增加可调节变量的数学模型。

2.问题分析与建模思路
本文首先借助文章所提示的影响养老保险体系的主要因素，结合我国的经济社会发展情况以及未来发展的趋势，构建系统动力学模型，进行系统仿真。
然后运用该模型预测我国从今年至2035年养老金缺口。通过模型的模拟，探讨养老保险收支矛盾的程度。结合党的十八大提出的收入倍增计划，提出工资翻一倍，应当将此处在模型中体现。
最后，分析各国养老保险的不同模式，总结各种模式的优缺点，学习他们成功的经验。以基期的数据为基本数据，在其它因素不变的情况下，利用仿真手段，寻找替代率和缴费率的合理区间。同时，为了解决养老保险缺口问题，根据模型运行结果，提出政府的解决对策。

3.基本假设与符号说明
3.1模型假设
1 假定预测得到的数据与实际中的数据相对误差在10%以内，就认为模型具有效性。
2假定经济的发展态势是总体趋向良好，允许经济和平均工资水平出现小波动范围，但不存在大幅度的波动，就业市场能够实现充分自由流动。
3 假定基期为2010年，未将2011年作为基期，是因为考虑到将用预测到的2011年的数据与2011年实际的数据进行对比，以检验实际预测数据误差的大小。这样更有利于预测2011年-2035年养老金账户的变化趋势。
4 假定劳动年龄人口均参加养老保险
5 假设目前运行的养老保险制度不发生变化
3.2符号说明
表3-1 符号说明
符号
意义
GDP
国民经济发展水平
CPI
消费物价指数

4.第一题求解
4.1 系统动力学的基本原理
4.1.1系统动力学简介
系统动力学是系统科学理论与计算机仿真紧密结合、研究系统反馈结构与行为的一门学科，是系统科学与管理科学的一个重要分支。该理论以系统作为研究对象，初期主要应用于工业企业管理，处理生产和雇员情况的波动、市场股票与市场增长不稳定性等问题[1]。系统动力学的主要原理是系统的行为模式与特性主要取决于其内部的结构，系统内部各个因素相互影响最终形成反馈链，各反馈链最终影响整个系统的运行。系统动力学研究和处理复杂问题的办法是定性和定量分析相结合、系统综合推理的方法，其建模过程就是学习、调查、研究的过程。模型的功能主要在于为人们提供一个学习和分析的工具。应用系统动力学建模需要充分考虑模型与现实情况的相似性，对现实数据复制的准确度、精准度；对于非线性、高阶次的复杂系统，系统动力学相对于其他研究方法更有优势。
4.1.2 建模步骤
系统动力学的建模步骤主要包括以下环节：
第一步，明确建模的目的，选择需要建模的系统，确定建模时限、系统边界，选择关键变量，这是利用系统动力学建模不可缺少的前期准备工作；
第二步，提出动态假设，根据现有的理论或者当前系统的运行情况，提出一个由系统内部反馈结构导致动态变化的假设，根据初始假设、关键变量、参考模式和其他可用数据绘制出因果回路图、存量流量图；
第三步，写入公式，确定参数、行为关系和初始化条件。根据现有数据资料进行整理分析，对系统中涉及的变量进行预测，用系统动力学语言写入存量流量图中；
第四步，对于得出的预测结果进行测试，检验模型得出的行为结果是否符合现实，对不符合现实部分结论的产生条件进行修正，反复调试，对模型中各个参数、初始化条件、模型边界和概括程度进行灵敏度测试；
第五步，对于模型产生结果进行分析，得出具体化的方案设计。
4.2 模型构建
4.2.1建模思想和数据来源
(1) 建模思想
通过系统动力学软件仿真养老保险基金收支的过程，测算养老保险基金收支以及影响因素，力求找到针对未来养老保险基金运营可能存在的“空账”问题，找到现实解决办法，以保证我国养老保险制度稳定，为我国离退休群体提供更好的制度保护和防范措施。
(2) 数据来源
历年的中国统计年鉴、中国人力资源和社会保障发展公报、世界卫生组织网站、中国劳动统计年鉴、国家统计局和社会保障基金理事会等网站。
4.2.2 参数设定及参数方程
(1) 参数设定
根据养老保险基金系统理论，考虑到基金流入和流出的动态性，将各个参数因子的选取和定性如下表格所示，其中结余量、年平均工资水平和人均GDP为存量，即状态变量，基金收入、支出、年平均工资增长额和GDP增长额为流量，其他的参数设定为辅助变量。

表4-1 参数选取
变量名
性质
变量名
性质
结余量
存量
领取人数
辅助变量
年平均工资水平
存量
死亡率
辅助变量
人均GDP
存量
个人领取养老金
辅助变量
基金支出
流量
缴费率
辅助变量
基金收入
流量
投资收益
辅助变量
工资年平均增长额
流量
投资收益率
辅助变量
GDP增长额
流量
缴费人数
辅助变量
政府财政投入
辅助变量
劳动人口数
辅助变量
个人缴费总额
辅助变量
就业率
辅助变量
劳动人口总数
辅助变量
人均GDP增长率
辅助变量
工资增长率
辅助变量
替代率
辅助变量
CPI增长率
辅助变量
领取人数总表
辅助变量
死亡率总表
辅助变量

(2) 参数方程
根据参数因子的选取与各因子之间的关系，设定参数方程如下：
年平均工资水平=年平均工资水平+年平均工资增长额
年平均增长额=年平均工资水平*工资年平均增长率
工资年平均增长率=1.2*CPI增长率+人均GDP增长率
结余量=基金收入-基金支出
基金收入=个人缴费总额+政府财政投入+投资收益额
基金支出=领取人数*(1-死亡率)*个人领取养老金
投资收益额=结余量*投资收益率
政府财政投入=-4456.35+0.2101*人均GDP
个人缴费总额=年平均工资水平*缴费率*缴费人数
缴费人数=劳动人口数*就业率
个人领取养老金=年平均工资水平*替代率
人均GDP=人均GDP+GDP增长额
GDP增长额=人均GDP*人均GDP增长率
劳动人口数=劳动人口总数（Time）= [(2010, 8.891e+008)( 2010,9.9938e+008)], (2000,8.891e+008),(2001,8.9849e+008),(2002,9.0302e+008),(2003,9.0976e+008),(2004,9.2184e+008),(2005,9.4197e+008),(2006,9.5068e+008),(2007,9.5833e+008),(2008,9.668e+008),(2009,9.7484e+008),(2010,9.9938e+008)
领取人数=领取人数总表 (Time)= [(2000,0)-(2100,8e+008)],(2010,1.18e+008),(2011,1.22e+008),(2012,1.28e+008),(2013,1.35e+008),(2014,1.43e+008),(2015,1.52e+008),(2016,1.62e+008),(2017,1.74e+008),(2018,1.88e+008),(2019,2.03e+008),(2020,2.2e+008),(2021,2.39e+008),(2022,2.6e+008),(2023,2.83e+008),(2024,3.09e+008),(2025,3.37e+008),(2026,3.67e+008),(2027,4e+008),(2028,4.36e+008),(2029,4.75e+008),(2030,5.17e+008),(2031,5.62e+008),(2032,6.11e+008),(2033,6.62e+008),(2034,7.18e+008),(2035,7.77e+008)
死亡率=死亡率总表 (Time)= [(2000,0.00645), ( 2010, 0.00711)], (2000,0.00645),(2001,0.00643),(2002,0.00641),(2003,0.0064),(2004,0.00642),(2005,0.00651),(2006,0.00681),(2007,0.00693),(2008,0.00706),(2009,0.00708),(2010,0.00711)
4.2.3 主要参数因子解释
(1) 年平均工资增长率
年平均工资增长率=（当年的工资-上一年的工资）/上一年的工资，考虑到一个地区的工资水平主要受到当地的经济增长率和通货膨胀率的影响，而通货膨胀率与居民消费价格水平之间有一定的影响，通货膨胀率= (报告期消费者物价指数 - 基期消费者物价指数)/基期消费者物价指数* 100% ，所以在本文中，将影响年平均工资增长率的因素界定为通货膨胀率和GDP增长率。
通过折线图，发现GDP增长率和CPI增长率大致上呈现正增长关系，但是增长比例不是特别大，通过对CPI增长率倍数进行赋值1.1、1.2、1.3发现当取1.2时，总体上来看比较接近，为了进一步验证所取值的正确性，对其进行逐步回归分析，对两者进行线性拟合，结果显示所取值有可信性，因此可以假定年平均增长率=GDP增长率+1.2*CPI增长率。

图4-1 2001-2010年工资水平-GDP-CPI增长率折线示意图
本文的模型假设GDP增长率选用2010年基期的数据，为9.9%， 同样，CPI增长率也选取基期数据，CPI增长率为3.2%。
(2) 缴费人数
考虑到养老保险参保人数的准确性，将劳动人口（15-64周岁）和就业率纳入到指标构建体系中，假定该年龄段的就业人口均已参加养老保险，即缴费人数等于劳动人口与就业率之间的乘积。个人缴费总额即为个人的缴费比例与缴费人数的乘积。根据国家统计年鉴规定参保人数为报告期末按照国家法律、法规和有关政策规定参加基本养老保险并在社保经办机构已建立缴费记录档案的职工人数，包括中断缴费但未终止养老保险关系的职工人数，不包括只登记未建立缴费记录档案的人数，因此得到2000年-2011年我国的劳动人口数如下表4-2所示。
表4-2 2000 -2011年15-64岁劳动人口（单位：万人）
年份
人口
2000
88,910
2001
89,849
2002
90,302
2003
90,976
2004
92,184
2005
94,197
2006
95,068
2007
95,833
2008
96,680
2009
97,484
2010
99,938
（数据来源：中国统计年鉴2011）
基于指标构建的可信性，能够更好地反映模型中参保人数与实际参保人数 的一致性，本文采用城镇登记失业率变量来表现就业率的变化趋势。从下表中可以看出失业率在2000年以后都有较大的提升，其中在2005年达到最大值，之后呈现下降趋势，但是总体数值还是较高。为了能够更好地反映该变量的变化趋势，对1992年至2010年的城镇登记失业率取平均值，得到平均登记失业率4.22%，根据国家统计年鉴的相关规定，就业率指就业人口与16岁以上总人口的百分比。凡在制定时期内届满一定下限年龄，有工作并取得报酬或收益的人，或有职位而暂时没有工作（如生病、工商、劳资纠纷、假期等）的人以及家庭企业或农场的无报酬工作者，均算为就业人口。因此本文将就业率假定为95.78%。

图4-2 城镇登记失业率
（数据来源：根据历年中国统计年鉴整理）
(3) 政府财政投入
养老保险基金的财政投入能力与国民经济增长水平是密不可分的，因此选用财政投入作为对GDP的函数，分析政府财政对养老保险的投入与GDP之间的关系，以找到两者之间的关系。

表4-3 我国2000年-2010年财政支出与GDP数据
年份
财政支出（亿元）
GDP(亿元)
2000
15886.5
99214.6
2001
18902.58
109655.2
2002
22053.15
120332.7
2003
24649.95
135822.8
2004
28486.89
159878.3
2005
33930.28
184937.4
2006
40422.73
216314.4
2007
49781.35
265810.3
2008
62592.66
314045.4
2009
76299.93
340902.8
2010
89874.16
401512.8
(数据来源：中国统计年鉴2010)
运用EVIEWS软件对我国2000年-2010年财政支出与GDP进行回归 ，得到以下方程式：CAIZHENG= -4.076290 + 1.197968*GDP
-13.16241 47.38784
= 0.995567 F= 2245.608 DW= 1.106238
从估计检验结果可以看出，回归系数的标准误差非常小，t统计量较大，决定系数= 0.995567 非常高，F= 2245.608，说明GDP对财政支出影响的回归模型非常显著，同时DW= 1.106238 > = 0.995567，说明总体回归模型的随机误差之间不存在相关关系，得出的结果是合理的。
(4) 投资收益额
1997年，《国务院关于建立统一的企业职工基本养老保险的决定》提出：“基本养老保险基金实行收支两条线管理，要保证专款专用，全部用于职工养老保险，严禁挤占挪用和挥霍浪费基金结余额，除预留相当于2个月的支付费外，全部购买国家债券和存入银行专户，严禁投入其他金融和经营性事业。”可见我国养老保险基金投资实行较为严格的控制，渠道单一，主要是依靠国家债券和银行存款。
下表为我国1999-2010年银行存款一年期的年利率，每一年的年利率是取的当年内几次利率调整的平均值。

表4-4 1999-2010年我国银行存款一年期年利率(%)
年份
1999
2000
2001
2002
2003
2004
利率
3.02
2.25
2.25
2.2
1.98
2.1
年份
2005
2006
2007
2008
2009
2010
利率
2.25
2.35
2.33
3.54
2.25
2.25
计算得出1999-2010年的平均一年期银行存款年利率为2.4%，短期国债收益率也在2%以上。
下表为我国养老保险基金历年投资收益率，计算得出10年来平均投资收益率为10.04%，但是从整个投资收益率发展趋势来看，2006年和2007年投资收益率有一个激增的现象，这与2006国家实行养老基金和社会保险基金投资体系改革有一定关系。这从整体上拉高了投资收益率。因此本文不选用该平均投资收益率。

图4-3 2001-2010年投资收益率
据新闻媒体报道
，养老金投资体系改革方案将有望于今年内出台，社会普遍关心的养老金整体投资运营将取得实质性突破。专家表示，未来改革思路面临两种选择。一是延续广东模式，委托全国社保基金理事会投资运营；二是在中央一级新设投资运营机构统一投资管理。
这说明我国未来养老保险基金投资运营科技能会有一个不断完善改进的过程，此处，我们根据国家一年期投资收益率和短期国债收益率，将养老基金投资收益率设定为2.5%。那么投资收益额就等于投资收益率与结余量之间的乘积。
(5) 养老金收入与支出
养老金收入主要是由养老保险缴费、政府转移支付和养老基金投资收益三部分组成。养老保险缴费由于此处是城乡居民养老保险，因此不考虑单位缴费，只考虑个人缴费部分
养老保险基金收入=政府财政投入+个人缴费总额+投资收益额
养老金支出指按照国家政策规定的开支范围和开支标准从养老保险基金中支付给参加基本养老保险的个人的养老金、丧葬抚恤补助，以及由于保险关系转移、上下级之间调剂资金等原因而发生的支出。
养老金支出=领取人数*（1-分年龄段死亡率）*个人领取养老金
(6) 人均GDP
国内生产总值指按市场价格计算的一个国家（或地区）所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果 国家统计局网站
。人均GDP常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是重要的宏观经济指标之一，它是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具。将一个国家核算期内（通常是一年）实现的国内生产总值与这个国家的常住人口（目前使用户籍人口）相比进行计算，得到人均国内生产总值。
(7) 养老金支出
养老金支出是指按照国家政策规定的开支范围和开支标准从养老保险基金中支付给参加基本养老保险的个人的养老金、丧葬抚恤补助，以及由于保险关系转移、上下级之间调剂资金等原因而发生的支出[2]。
此外，本文为计算方便，只考虑退休人数与养老保险待遇水平的乘积。
养老金支出=领取人数*（1-死亡率）*个人领取养老金数
(8) 领取人数
领取人数是考虑达到退休年龄，适龄领取养老金的人口数，实事上就是参保退休人口数，但是在我国目前不是所有的达到退休年龄的人口都能享受养老金待遇，但是国家建立完善社会保障制度，就是为了使所有的达到退休年龄的人口都能享受养老金，假设所有达到退休年龄的人都可以享受养老保险待遇，因此此处将所有退休年龄人口纳入其中。
目前我国退休年龄男女不同，男性退休年龄60岁，女职工50岁退休，女干部55岁退休，在延迟退休年龄的相关研究日间成熟，呼吁延迟退休年龄的呼声越来越高的背景之下，本文将退休年龄统一设在65周岁，所有达到65周岁以上的人口数即为养老金领取人数。
此处根据2000至2010年10年间的65岁以上人口数，运用SPSS软件，选取ARIMA模型进行人口预测，预测至2035年的65岁以上人口数。经过调试，选取最佳结果ARIMA(2，3，3)。预测值与实际值之间的相对误差值为0.79和0.72，在可接受的范围之内。
表4-5 2011-2035年65岁以上人口预测
Model
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
人口模型
Forecast
1.18E+08
1.22E+08
1.28E+08
1.35E+08
1.43E+08
1.52E+08
1.62E+08
1.74E+08
1.88E+08
UCL
1.31E+08
1.37E+08
1.45E+08
1.61E+08
1.78E+08
1.95E+08
2.18E+08
2.44E+08
2.73E+08
LCL
1.04E+08
1.08E+08
1.12E+08
1.09E+08
1.08E+08
1.09E+08
1.07E+08
1.05E+08
1.03E+08
Model
2019
2020
2021
2022
2023
2024
2025
2026
2027
人口模型
Forecast
2.03E+08
2.20E+08
2.39E+08
2.60E+08
2.83E+08
3.09E+08
3.37E+08
3.67E+08
4.00E+08
UCL
3.04E+08
3.39E+08
3.78E+08
4.21E+08
4.69E+08
5.21E+08
5.77E+08
6.38E+08
7.04E+08
LCL
1.02E+08
1.01E+08
1.00E+08
99030881
97400824
96777675
96784422
96506837
96629117
Model
2028
2029
2030
2031
2032
2033
2034
2035

人口模型
Forecast
4.36E+08
4.75E+08
5.17E+08
5.62E+08
6.11E+08
6.62E+08
7.18E+08
7.77E+08
UCL
7.75E+08
8.50E+08
9.31E+08
1.02E+09
1.11E+09
1.21E+09
1.31E+09
1.42E+09
LCL
98102877
1.01E+08
1.03E+08
1.07E+08
1.11E+08
1.17E+08
1.24E+08
1.32E+08
人口死亡率是用来衡量一部分人口中、一定规模的人口大小、每单位时间的死亡数目（整体或归因于指定因素）。死亡率通常以每年每一千人为单位来表示。由于65岁以上人口死亡率会影响到领取养老金的人数，因此本文搜集整理2000-2010年10年的65岁以上人口死亡率，如表所示：
表4-6 65岁以上人口死亡率（‰）
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
人口死亡率
6.45
6.43
6.41
6.4
6.42
6.51
6.81
6.93
7.06
7.08
7.11
运用SPSS软件进行人口死亡率的预测，经过反复调试，选取最佳结ARIMA(1.0.2)，对2011至2035年的65岁以上人口死亡率进行预测，2011年实际人口死亡率为7.14‰，预测结果2011年为7.15‰，误差为0.14%，效果较为理想，预测结果如下表。
表4-7 65岁以上人口死亡率预测（‰）
年份
65岁以上人口死亡率
年份
65岁以上人口死亡率
2011
7.151
2024
8.076
2012
7.209
2025
8.148
2013
7.285
2026
8.22
2014
7.358
2027
8.291
2015
7.43
2028
8.363
2016
7.502
2029
8.435
2017
7.574
2030
8.507
2018
7.65%
2031
8.578
2019
7.718
2032
8.65
2020
7.789
2033
8.722
2021
7.861
2034
8.793
2022
7.933
2035
8.865
2023
8.005

(9) 养老金替代率
养老金替代率是退休人员的养老金待遇水平与在岗职工平均工资的比例，是衡量劳动者退休前后生活保障水平的基本指标之一。柳清瑞(2003)利用精算模型测算我国养老金替代率在60%左右是合适的，可以使退休人口的养老金待遇与中等偏上户的消费额大体相当[3]。郝勇 (2012)利用结构方程和系统动力学模型对我国养老金替代率进行测算，认为养老金替代率适度水平应该稳定在39%-56%附近[4]。因此，本文设定养老金替代率为60%，这也符合国际上关于养老金替代率水平的规定。个人领取的养老金数额与退休前年平均工资水平以及养老金替代率有关。个人领取养老金数额=年平均工资水平*替代率
4.2.4 因果关系图及流程图
通过对各参数之间关系的梳理，画出因果关系图如下所示：

图4-4 因果关系图
因为因果关系图只能反映各个参数之间的大致关系，不能具体进行操作，这就需要流程图对相关的参数变量进行进一步的表达，因此绘制结构流程图如下所示：

图4-5 结构流程图
4.2.5 模型有效性检验
对模型的有效性检验主要包括：结构确认测试、参数确认测试、单位一致性测试、极端情况测试和行为重现测试。
(1) 结构确认测试
直接比较所建立的养老保险基金模型符合真实中的系统结构。通过反馈关系图、因果关系图进行检验，发现本模型与真实的失业保险基金政策结构是一致的。
a 反馈关系图
通过对建立的模型流程图进行分析，得到以下的反馈关系图，通过观察认为该反馈关系图具有科学的合理性，因此认为建立的养老保险基金模型满足反馈关系的检验，具有有效性。

b 因果树检验
通过模型的因果树检验，得到以下因果树关系图，通过比较分析，认为该因果树关系图具有科学的合理性，因此认为建立的养老保险基金模型满足因果树检验，具有有效性。

(2) 参数确认测试
直接比较所构建的养老保险基金模型与模型所代表的真实知识是否在概念和数字上符合。本文所用的数据参见历年的国家统计年鉴、社会保障基金理事会网站、中国人力资源与社会保障事业发展公报以及通过所学的统计知识进行数据处理与加工得到，在概念和数字上符合养老保险基金所代表的真实的系统相关的参考文献。
(3) 单位一致性测试
确认所建立的模型各变量的单位是否一致。通过vensim软件的Units check测试所建的模型，得到建立的模型已通过单位一致性测试，显示Model is ok。
(4) 极端情况测试
测试所建立的模型在极端情况下是否仍符合真实情况。当极端情况测试的结果不符合真实情况时，则开始修改系统，再次测试，当极端情况测试出现的结果与真实情况相符合时，停止测试。因为在初始值设置的时候，本文对增长率和比例都进行了设定，所以在调整参数比例变动时，就可以避免发生极端情况。
(5) 行为重现测试
测试所建构的模型是否会重新出现现实中发生的问题行为。在本文中对参保人数和基金结余量进行了测试，模拟结果与统计数据在变化趋势上是一致的，结果比较有信度。
经过检验，表明该模型可用，可以进行数学建模。
5．第二题求解
5.1 预算至2035年我国养老金缺口
利用第一问对养老保险系统的仿真，以2000-2010年数据为源数据，设置2010年为基期，对2011年到2035年的基金结余量未来进行预测，设定2010年的养老金替代率为50%，GDP增长率为9.9%，CPI增长率为3.2%，投资收益率为4.23%，就业率为95.78%。将这些数据录入模型之中，运行得到结果如下：
表5-1 2010-2035年养老保险基金结余量预测
Time (年)
结余量
Time (年)
结余量
2010
1.34E+12
2023
-1.31E+13
2011
2.07E+12
2024
-2.43E+13
2012
2.84E+12
2025
-4.02E+13
2013
3.64E+12
2026
-6.21E+13
2014
4.42E+12
2027
-9.18E+13
2015
5.12E+12
2028
-1.32E+14
2016
5.66E+12
2029
-1.84E+14
2017
5.94E+12
2030
-2.54E+14
2018
5.76E+12
2031
-3.45E+14
2019
4.89E+12
2032
-4.62E+14
2020
3.04E+12
2033
-6.13E+14
2021
-2.00E+11
2034
-8.07E+14
2022
-5.35E+12
2035
-1.05E+15

图5-1 2010-2035年养老保险基金预测结余量图

根据预测结果，养老保险基金在2018年出现账户亏空，随着人口老龄化程度的加大和青壮年人口的减少，养老保险基金的亏空额度继续加大，在2035年，养老保险收支矛盾最尖锐，达到2.00088e+012元，难以保障退休人员的生活，并影响到养老保险体系的运行。
5.2 收入倍增计划
根据十八大提出的收入倍增计划，将原始数据年平均工资水平在基期水平之上增加一倍，也就是年平均工资为74294元，则个人缴费总额将上涨，进而基金收入提高，在基金支出的增长不变情况下，养老保险基金结余量增多。考虑到工资的增长幅度与国家的经济发展水平是密不可分的，因此首先要将GDP增长率纳入到收入倍增模型中，虽然CPI增长率会对GDP增长率有一定的影响，但是不会直接构成对年平均工资水平影响。虽然GDP增速减缓，但并不代表的经济发展水平下降，也不意味着政府会减少对社会保障的财政投入，随着我国经济结构的战略性调整和转型升级，必将会进一步促进经济增长，增加政府的社会保障财政收入，减少养老金缺口，以保障人民群众的切身利益。
如下表为收入倍增计划下的基金结余量预测。
表5-2 收入倍增计划下基金结余量预测
Time (年)
结余量
Time (年)
结余量
2010
1.34E+12
2023
-2.85E+13
2011
2.74E+12
2024
-5.10E+13
2012
4.23E+12
2025
-8.28E+13
2013
5.76E+12
2026
-1.27E+14
2014
7.25E+12
2027
-1.86E+14
2015
8.58E+12
2028
-2.66E+14
2016
9.60E+12
2029
-3.72E+14
2017
1.01E+13
2030
-5.11E+14
2018
9.66E+12
2031
-6.93E+14
2019
7.82E+12
2032
-9.28E+14
2020
4.04E+12
2033
-1.23E+15
2021
-2.52E+12