北京大学数学科学学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题汇编（含部分答案）.pdf

目录2014年北京大学数学科学学院432统计学专业硕士考研真题（回忆版，含部分答案）2015年北京大学数学科学学院432统计学专业硕士考研真题（回忆版，含部分答案）2014年北京大学数学科学学院432统计学专业硕士考研真题（回忆版，含部分答案）参考答案一、解：从中不放回地抽取两张，总的取法有种。（1）52张扑克牌中共有四种花色，每种花色有13张牌，因此两张牌花色相同的情况有种。记A为事件“两张牌花色相同”，则有：（2）“花色相同的条件下，两张牌数字不是次序相邻”的对立事件为“花色相同的情况下，两张牌数字次序相邻”，假设两张牌来自其中的某一种花色，则相邻的情况共有12种。记B为事件“两张牌数字次序相邻”，则在花色相同的条件下，两张牌数字次序相邻的概率为：因此在花色相同的条件下，两张牌数字不是次序相邻的概率为：二、解：设A表示事件“第二天下雨”，B表示事件“预报下雨”，则根据题意可知则“预报下雨，真的下雨”的概率为：三、解：由于，因此当时当时，有对分布函数求导，得Y的概率密度函数为：四、解：（1）因，故X的概率密度为则当0y1时，因此Y的密度函数为（2）又所以五、解：由于第i分钟所放射的粒子数与i-1分钟放射的粒子数互不影响，因此X1，X2，Xn相互独立。（1）物理放射性试验中，每分钟放射的粒子数服从泊松分布，设,那么每分钟放出粒子的概率为：解得，所以由于第i分钟所放射的粒子数与i-1分钟放射的粒子数互不影响，因此相互独立。所以（2）由中心极限定理所以有：六、题目不完整七、答：（1）假设检验就是对问题进行分析后，提出原假设和备择假设，然后根据样本信息作出接受或拒绝原假设的决策，由于决策的依据是样本提供的信息，因此判断有可能正确，也可能不正确，就是说，我们面临犯错误的可能，所犯的错误有两种类型：第类错误是原假设H0为真却被拒绝了，犯这种错误的概率用表示，所以也称错误或弃真错误；第类错误是原假设为伪却没有被拒绝，犯这种错误的概率用表示，所以也称错误或取伪错误。对于一定的样本量n，犯两类错误的概率是此消彼长的关系，因此不可能做到使犯这两类错误的概率都很小。在假设检验中，通常先控制错误，再尽可能减小错误。若要同时减小犯两类错误的概率，只能增大样本量。（2）在假设检验中，通常拒绝H0的结论会更可靠，理由如下：假设检验依据的是小概率原理，即在原假设成立的前提下，小概率事件一般是不会发生的，而如果发生了，说明原假设是值得怀疑的，此时拒绝原假设。作出这个决策犯错误的概率最大不超过给定的显著性水平，是被控制的。“接受原假设的结论”的含义是：我们所构造的与原假设相矛盾的小概率事件没有发生，但可能还有许多其他的与原假设矛盾的小概率事件，我们没有也无法证实所有的这些小概率事件不会发生，所以无法拒绝原假设。但是我们无法证明原假设是真的，故接受原假设的结论不可靠。（3）设有参数分布族其中是参数空间，F的分布形式已知，但其分布与未知参数有关是从总体F中抽出的简单随机样本。设对每个自然数n，是g（）一个估计量。若依概率收敛到g（），即对任何及0有：则称为g（）的弱相合估计。若对任何有：则称为g（）的强相合估计。八、题目不完整。九、解：设回归直线的拟合值为，则根据最小二乘法，要使达到最小。令在给定样本数据后，Q是的函数，且最小值总是存在。根据微积分的极值定理，对Q分别求关于的偏导数，并令其等于0，即可求出和，因此有解上述方程组得：在本题中。根据最小二乘估计可得：当时，故回归曲线过。当时因此估计曲线过。十、解：方差分析的原假设与备择假设分别为：不全相等总的离差平方和为组间离差平方和为误差平方和为设各总体方差为，s个水平共有N个样本，则有原假设成立时有且SSA与SSE相互独立，因此可构造检验统计量：其否定域为其中为检验的显著性水平。2015年北京大学数学科学学院432统计学专业硕士考研真题（回忆版，含部分答案）参考答案一、解：由题意，“进行了3次摸球游戏”等价于“第一次摸到红球，第二次摸到红球，第三次摸到黑球”。第一次摸到红球的概率为3/5，第二次摸到红球的概率为4/6，第三次摸到黑球的概率为2/7，根据概率的乘法公式可知，进行三次摸球游戏的概率为：二、解：设表示使用第i种方式传达，i=1，2，3分别表示“短信”，“邮件”和“电话”；事件表示通知传达成功。则根据题意有，。（1）根据全概率公式，被通知者准时赴会的概率为：（2）被通知者准时赴会是使用短信通知的概率为：三、题目不完整四、解：（1）设X表示灯泡的寿命，则因此5个灯泡的寿命都大于500的概率为：（2）设机器的寿命为Y，依题意其中是五个灯泡的寿命。由五个灯泡相互独立得：所以Y的密度函数为：所以Y的期望为：五、题目不完整。六、解：根据矩估计的思想可知故的矩估计为：七、八、九题目不完整。十、解：（1）采用最小二乘估计设回归直线的拟合值为，则根据最小二乘法，要使达到最小。令在给定样本数据后，Q是的函数，且最小值总是存在。根据微积分的极值定理，对Q分别求关于的偏导数，并令其等于0，即可求出，因此有解上述方程组得：在本题中，。（2）采用极大似然估计各相互独立。于是有由Y1，Y2，Yn的独立性，可得Y1，Y2，Yn的联合密度为：现用最大似然估计法来估计未知参数a，b。对于任意一组观察值y1，y2，yn，L就是样本的似然函数，显然，要L取最大值，只要函数中指数部分的次数最小即可，即只需函数取最小值。对Q分别求出关于a，b的偏导数，并令它们等于零：解得b，a的最大似然估计值为：与最小二乘法得到的a，b的估计值对比，可知两个结果是等价的，因此在回归分析中，最小二乘估计与最大似然估计相同。