离散型随机变量的分布列和数学期望.doc

.
二项分布
【知识点】
1. 次独立重复试验：
在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立
2. 次独立重复试验的概率：
一般地，事件在次试验中发生次，其有种情形，由试验的独立性知在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为
3. 二项分布:
在上公式中，若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是.其中于是得到的分布列

0
1
...

...

...

...

各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量服从参数为的二项分布,记作
4.离散型随机变量的数学期望
一般地,设一个离散型随机变量所有可能取的值是这些对应的概率是,则叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望.
5. 二项分布的数学期望:
【经典例题】
【例1】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.
寿命（天）
频数
频率

合计

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出的值；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值；
（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.
1、【答案】（Ⅰ）解：，.
（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有个，正品有个，次品有个，
所以优等品、正品和次品的比例为.
所以按分层抽样法，购买灯泡数，
所以的最小值为．
（Ⅲ）解：的所有取值为.
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为，
从本批次灯泡中购买个，可看成次独立重复试验，
所以，
，
，
.
所以随机变量的分布列为：

所以的数学期望．
【例2】甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．
（Ⅰ）记甲投中的次数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求乙至多投中次的概率；
（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进次的概率．
2.【答案】解：（Ⅰ）的可能取值为：．

的分布列如下表：

．
（Ⅱ）乙至多投中次的概率为．
（Ⅲ）设乙比甲多投中次为事件A，乙恰投中次且甲恰投中次为事件，乙恰投中次且甲恰投中次为事件，
则为互斥事件．
．
所以乙恰好比甲多投中次的概率为．
【例3】某商场一号电梯从1层出发后可以在层停靠.已知该电梯在层载有位乘客，假设每位乘客在层下电梯是等可能的.
(Ⅰ) 求这位乘客中至少有一名乘客在第层下电梯的概率；
(Ⅱ) 用表示名乘客在第层下电梯的人数，求的分布列和数学期望.
3【答案】解：(Ⅰ) 设位乘客中至少有一名乘客在第层下电梯的事件为,
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，
则 .
(Ⅱ) 的可能取值为
由题意可得每个人在第层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，
所以，.

.
【易错题】
【例1】经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：
罗非鱼的汞含量（ppm）

《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过ppm．
（Ⅰ）检查人员从这条鱼中，随机抽出条，求条中恰有条汞含量超标的概率；
（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望．
1.【答案】解：（Ⅰ）记“条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标”为事件，则
，
条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标的概率为.　
（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，
可能取，，，.　　　　　　　　　　　　 　　　　　
则 ，，
，．
其分布列如下：

所以.
【例2】某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选名学生，这名学生中上学所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于分钟的概率）
2、【答案】解：（Ⅰ）由直方图可得：
.
所以 .
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：
，
因为，
所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.
（Ⅲ）的可能取值为.
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，
, ,
,,
.
所以的分布列为：

.（或）
所以的数学期望为.
【例3】国家对空气质量的分级规定如下表：
污染指数

空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：

根据以上信息，解决下列问题：
（Ⅰ）写出下面频率分布表中的值；
（Ⅱ）某人计划今年月份到此城市观光天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用表示，求的分布列和均值.
频率分布表
分组
频数
频率

合计

3.解：（Ⅰ）,
（Ⅱ）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P=，

.
的分布列为:

, .
【例4】某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取位学生参加社区服务的数据，按时间段，，，，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的位学生中，参加社区服务时间不少于小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于小时的概率；
组距
频率
0.005
0.075
75
80
85
90
95
0.020
100
0.040
0.060
服务时间/小时
O
（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取位学生，记为位学生中参加社区服务时间不少于小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望．
4.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，
参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人），
参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人）．
所以抽取的位学生中，参加社区服务时间不少于小时的学生人数为人．
所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于小时的
概率估计为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取人，其参加社区服务时间不少于小时的概率为
由已知得，随机变量的可能取值为．
所以；
；
；
．
随机变量的分布列为

因为 ~，所以．
【课后测试】
1.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
（Ⅰ）求甲以比获胜的概率；
（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；
（Ⅲ）求比赛局数的分布列.
1.【答案】（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是．
记“甲以比获胜”为事件，
则．
（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.
因为，乙以比获胜的概率为，
乙以比获胜的概率为，
所以 ．
（Ⅲ）解：设比赛的局数为，则的可能取值为．
，
，
，
．
比赛局数的分布列为：

H
C
A1
A2
B1
B2
L1
L2
A3
2.张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（Ⅰ）若走路线，求最多遇到次红灯的概率；
（Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
2、【答案】解：（Ⅰ）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则
．
所以走路线，最多遇到次红灯的概率为．
（Ⅱ）依题意，的可能取值为
，
，
．
随机变量的分布列为：

．
（Ⅲ）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，，
所以．
因为，所以选择路线上班最好．
3.为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:
成绩等级

成绩(分)

人数(名)

(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“ 或”的概率;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选人,记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数,求的分布列及其数学期望;
(Ⅲ)从这名学生中,随机选取人,求“这两个人的成绩之差大于分”的概率.
3、【答案】解:(Ⅰ)根据统计数据可知,从这名学生中任选一人,分数等级为“或”的频率为.
从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“ 或”的概率约为
(Ⅱ)由已知得,随机变量的可能取值为.
所以;;
;.
随机变量的分布列为

所以
(Ⅲ)设事件M: 从这名学生中,随机选取人,这两个人的成绩之差大于分.
设从这名学生中,随机选取人,记其比赛成绩分别为.
显然基本事件的总数为.
不妨设,
当时,或或,其基本事件数为;
当时,或,其基本事件数为;
当时,,其基本事件数为;
所以.
所以从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于分的概率为
4.在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.
寿命（天）
频数
频率

合计

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出的值；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值；
（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.
4.【答案】（Ⅰ）解：，.
（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有个，正品有个，次品有个，
所以优等品、正品和次品的比例为.
所以按分层抽样法，购买灯泡数，
所以的最小值为．
（Ⅲ）解：的所有取值为.
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为，
从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，
所以，
，
，
.
所以随机变量的分布列为：

所以的数学期望
5.为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:
成绩等级

成绩(分)

人数(名)

(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“ 或”的概率;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选人,记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数,求的分布列及其数学期望;
(Ⅲ)从这名学生中,随机选取人,求“这两个人的成绩之差大于分”的概率.
5.【答案】解:(Ⅰ)根据统计数据可知,从这名学生中任选一人,分数等级为“或”的频率为.
从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“ 或”的概率约为
(Ⅱ)由已知得,随机变量的可能取值为.
所以;;
;.
随机变量的分布列为

所以
(Ⅲ)设事件M: 从这名学生中,随机选取人,这两个人的成绩之差大于分.
设从这名学生中,随机选取人,记其比赛成绩分别为.
显然基本事件的总数为.
不妨设,
当时,或或,其基本事件数为;
当时,或,其基本事件数为;
当时,,其基本事件数为;
所以.
所以从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于分的概率为
【课后作业】
1.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min。
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。
2.为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立.
（Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；
（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望．
3.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.
（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利元；如果产品不能销售，则每件产品亏损元（即获利元）.已知一箱中有产品件，记一箱产品获利元，求的分布列，并求出均值
3、【答案】解：（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件，则
.
所以，该产品不能销售的概率为.
（Ⅱ）由已知，可知的取值为.
， ，
，，
.
所以的分布列为

4.某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意”度的调查．现随机抽取位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：
满意级别
非常满意
满意
一般
不满意
满意指数（分）

人数（个）

（I）求这位市民满意指数的平均值；
（II）以这人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选人，记表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数．求的分布列；
（III）从这位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为，求的概率．
4.解：（Ⅰ）记表示这40位市民满意指数的平均值，则
（分）
（Ⅱ）的可能取值为0、1、2、3.

的分布列为

1
2

（Ⅲ）设所有满足条件的事件为
①满足的事件数为：
②满足的事件数为：
③满足的事件数为：

所以满足条件的事件的概率为.
5.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.
5【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知
与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，再
利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知，分别求得，，，，即可知的概率分布及其期望.
试题解析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，
∵，，∴，

，故所求概率为；（2）顾
6..某学科测试中要求考生从三道题中任选一题作答,考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试.选择三题答卷数如下表：
题

答卷数
180
300
120
（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答卷中抽出若干份答卷，其中从选择题的答卷中抽出了3份，则应分别从选择题的答卷中抽出多少份？
（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，三题答卷得优的份数都是.从被抽出的三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷恰有1份得优的概率；
（Ⅲ）测试后的统计数据显示，题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择题作答的答卷中，记其中得优的份数为，求的分布列及其数学期望．
6（Ⅰ）由题意可得：
题

答卷数
180
300
120
抽取的答卷数
3
5
2
应分别从题的答卷中抽取5份，2份.………………………………………4分
（Ⅱ）记事件：被抽取的三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能题答卷为优.
依题意．………………………………………………8分
（Ⅲ）由题意可知，题答卷得优的概率是．显然被抽取的题的答卷中得优的份数 的可能取值为，且．
；；
；；
；．
随机变量的分布列为

0
1
2
3
4
5

所以.
…………………………………………………………13分
7.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.
（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.
7.【答案】记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有
且相互独立.
（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为
.
（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有
＝，
所以，.
（Ⅲ）的所有可能取值为.
所以，

，

，
=＝ .
分布列为：

所以，.
8.生产两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标

元件

元件

（Ⅰ）试分别估计元件，元件为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元；生产一件元件，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元 .在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记为生产件元件和件元件所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产件元件所获得的利润不少于元的概率．
8.【答案】（Ⅰ）解：元件为正品的概率约为．
元件为正品的概率约为．
（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量的所有取值为．
； ；
； ．
所以，随机变量的分布列为:

．
（ⅱ）设生产的件元件中正品有件，则次品有件.
依题意，得 ， 解得 ．
所以 ，或．
设“生产件元件所获得的利润不少于元”为事件，
则 ．
9.汽车租赁公司为了调查两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
型车
出租天数

车辆数

型车
出租天数

车辆数

（I）从出租天数为天的汽车（仅限两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
9.【答案】解：（I）这辆汽车是型车的概率约为

这辆汽车是型车的概率为0.6
（II）设“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为天”，
“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为天”，其中
则该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为天的概率为

该公司一辆型车，一辆型车一周内合计出租天数恰好为天的概率为
（Ⅲ）设为型车出租的天数，则的分布列为

设为型车出租的天数，则的分布列为

一辆类型的出租车一个星期出租天数的平均值为天，类车型一个星期出租天数的平均值为天. 从出租天数的数据来看，型车出租天数的方差小于型车出租天数的方差,综合分析，选择类型的出租车更加合理 .
第三节 超几何分布
【知识点】
一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所有这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为

我们称离散型随机变量的这种形式的概率的分布为超几何分布，也称服从参数为的超几何分布.
【经典例题】
【例1】某绿化队甲组有名工人，其中有名女工人；乙组有名工人，其中有名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取名工人进行技能考核.
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中至少名女工人的概率；
（III）记表示抽取的名工人中男工人数，求的分布列及数学期望.
1.【答案】（I）从甲组抽取人, 从乙组抽取人.
（II）.从甲组抽取的工人中至少名女工人的概率

（III）的可能取值为
,，,

P

.
【例2】逻辑思维
能力
某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
运动
协调能力

一般
良好
优秀
一般

良好

优秀

例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人．由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．
（I）求，的值；
（II）从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思
维能力优秀的学生的概率；
（III）从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学
生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．
2.【答案】解：（I）设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人．
则．
解得 ．
所以．
（II）设事件：从人中任意抽取人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有人．
则．
（III）的可能取值为，，．
位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人．
所以，
，
．
所以的分布列为

所以，．
【例3】某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有人．

（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；
（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于个小时的学生中任取人参加测试，设人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．
3.【答案】解：⑴ 由直方图知，，解得，
因为甲班学习时间在区间的有人，
所以甲班的学生人数为，
所以甲、乙两班人数均为人．
所以甲班学习时间在区间的人数为
（人）．
⑵ 乙班学习时间在区间的人数为（人）．
由⑴知甲班学习时间在区间的人数为人，
在两班中学习时间大于小时的同学共人，的所有可能取值为．
，
，
，
．
所以随机变量的分布列为：

．
【例4】某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：
组别
性别
甲
乙
男
3
2
女
5
2
现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取名同学进行学业检测．
（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率；
（Ⅱ）记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
4.【答案】（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ，
所以，从甲组抽取的学生人数为；从乙组抽取的学生人数为．
设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件，
则 ，
故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为．
（Ⅱ）解：随机变量的所有取值为．
， ，
， ．
所以，随机变量的分布列为:

．
【答案】
【易错题】
【例1】甲班有名男乒乓球选手和名女乒乓球选手，乙班有名男乒乓球选手和名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选名选手参加体育交流活动.
（Ⅰ）求选出的名选手均为男选手的概率.
（Ⅱ）记为选出的名选手中女选手的人数，求的分布列和期望.
1.【答案】解：（Ⅰ）事件表示“选出的名选手均为男选手”.由题意知

.
（Ⅱ）的可能取值为.
，
，
，
.
的分布列：

.
【例2】在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.
（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数；
（II）若等级分别对应分，分，分，2分，分.
（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(ii)若该考场共有人得分大于分，其中有人分，人分，人分. 从这
人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.

2.【答案】解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为的考生有人，
所以该考场有人
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为的人数为
(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

（Ⅲ）设两人成绩之和为，则的值可以为
，
，

所以的分布列为

所以
所以的数学期望为
【例3】在一次抽奖活动中，有甲、乙等人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从人中随机抽取两人均获奖元，再从余下的人中随机抽取人获奖元，最后还从这人中随机抽取人获奖元。
（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；
（Ⅱ）设是甲获奖的金额，求的分布列和均值。
3【答案】解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件 ,
则P（A）=，
答：甲和乙都不获奖的概率为.
（Ⅱ）X的所有可能的取值为
=, = ,= ,
= ,
∴的分布列为

∴(元)
答: 甲获奖的金额的均值为(元).
【课后测试】
1.甲箱子里装有个白球、个黑球，乙箱子里装有个白球、个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出个球，求
(Ⅰ)摸出个白球的概率；
(Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；
(Ⅲ)若将摸出至少两个白球记为分，则一个人有放回地摸次，求得分的分布列及数学期望。
1【答案】解：（I）设“在次游戏中摸出个白球”为事件则

(Ⅱ) 设“至少两个白球”为事件B，则，又

且A2，A3互斥，所以
（Ⅲ） X的所有可能取值为.

所以X的分布列是

X的数学期望
2.某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试结果如下表:(单位:人)

优秀
良好
合格
男

女

按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取人,其中成绩为优的有人.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为的样本,从中任选人,记为抽取女生的人数,求的分布列及数学期望.
2.【答案】解:(Ⅰ)设该年级共人,由题意得,所以.
则.
(Ⅱ)依题意,所有取值为.
,,.
的分布列为:

3.甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
3.【答案】解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为，则的可能取值为．
； ；
； ．
乙得分的分布列如下：

．
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.
则 ，
．