弹簧质量阻尼系统的建模与控制新版专业系统设计.doc
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1、分 数:_ 任课教师签字:_ 华北电力大学研究生结课作业 学 年 学 期:第一年第一学期课 程 名 称:线性系统理论学 生 姓 名:学 号:提 交 时 间:.11.27 目录目录21 研究背景及意义32 弹簧-质量-阻尼模型32.1 系统建立42.1.1 系统传递函数计算52.2 系统能控能观性分析72.2.1 系统能控性分析82.2.2 系统能观性分析92.3 系统稳定性分析102.3.1 反馈控制理论中稳定性分析办法102.3.2 运用Matlab分析系统稳定性102.3.3 Simulink仿真成果122.4 系统极点配备152.4.1 状态反馈法152.4.2 输出反馈法162.4.2
2、 系统极点配备162.5系统状态观测器182.6 运用离散办法研究系统特性202.6.1 离散化定义和办法202.6.2 零阶保持器222.6.3 一阶保持器242.6.4 双线性变换法263.总结284.参照文献28弹簧-质量-阻尼系统建模与控制系统设计1 研究背景及意义弹簧、阻尼器、质量块是构成机械系统抱负元件。由它们构成弹簧-质量-阻尼系统是最常用机械振动系统,在生活中具备相称广泛用途,缓冲器就是其中一种。缓冲装置是吸取和耗散过程产生能量重要部件,其吸取耗散能量能力大小直接关系到系统安全与稳定。缓冲器在生活中处处可见,例如咱们汽车减震装置和用来消耗碰撞能量缓冲器,其缓冲系统性能直接影响着
3、汽车稳定与驾驶员安全;此外,天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统稳定与否直接影响着交会对接成功。因而,对弹簧-质量-阻尼系统研究有着非常深现实意义。2 弹簧-质量-阻尼模型数学模型是定量地描述系统动态特性,揭示系统构造、参数与动态特性之间关系数学表达式。其中,微分方程是基本数学模型,无论是机械、液压、电气或热力学系统等都可以用微分方程来描述。微分方程解就是系统在输入作用下输出响应。因此,建立数学模型是研究系统、预测其动态响应前提 。普通状况下,列写机械振动系统微分方程都是应用力学中牛顿定律、质量守恒定律等。弹簧-质量-阻尼系统是最常用机械振动系统。机械系统如图2.1所示,图2-1弹簧-质量-阻
4、尼系统机械构造简图其中、表达小车质量,表达缓冲器粘滞摩擦系数,表达弹簧弹性系数,表达小车所受外力,是系统输入即,表达小车位移,是系统输出,即,i=1,2。设缓冲器摩擦力与活塞速度成正比,其中,。2.1 系统建立由图2.1,依照牛顿第二定律,分别分析两个小车受力状况,建立系统动力学模型如下:对有:对有:联立得到:对:对:令,; ,得出状态空间表达式:因此,状态空间表达式为:+由此可以得出已知:,代入数据得:2.1.1 系统传递函数计算在Matlab中,函数ss2tf给出了状态空间模型所描述系统传递函数,其普通形式是num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu),其中iu是输入值。用Matla
5、b将状态空间表达式表达为传递函数:在输入1单独作用状况下A=0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;num,den=ss2tf(A,B,C,D,1)运营程序,得到:num = 0 -0.0000 1.0000 4.5000 200.0000 0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000den = 1.0e+004 * 0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000在输入2单独作用状况下:A=0 0 1 0
6、;0 0 0 1;-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;num,den=ss2tf(A,B,C,D,2)运营程序,得到:num = 0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000 0 -0.0000 0.5000 4.5000 200.0000den = 1.0e+004 *0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000由此可知:位移对外力传递函数是:位移对外力传递函数是:位移对外力传递函数是:位移对外力传递函数是:2.2 系统能控能观
7、性分析在反馈控制理论中只讨论输入量对输出量控制。而这两个量关系唯一地由系统传递函数所拟定。一种稳定系统,一定能控。同步,系统输出量自身就是咱们想要控制量,对于一种实际系统来说,输出量固然是可以被观测到,因而在反馈控制理论中没有必要设立能控和能观这两个概念。然而在当代控制理论中,能控和能观是两个重要基本概念。咱们把反映系统内部运动状态状态向量作为被控量,并且它们不一定是事实上可观测到物理量,至于输出量则是状态向量线性组合,这就产生了从输入量到状态量能控性问题和从输出量到状态量能观测性问题。在当代控制中,分析和设计一种控制系统,必要研究这个系统能控性和能观性。状态方程描述了输入U(t)引起状态X(
8、t)变化过程;输出方程则描述了由状态变化引起输出Y(t)变化。能控性和能观性正是分别分析U(t)对状态X(t)控制能力以及Y(t)对X(t)反映能力。2.2.1 系统能控性分析设线性定常系统状态方程为式中 Ann矩阵 Bnr矩阵 Cmn矩阵 Dmr矩阵系统能控充分必要条件为:能控鉴别阵秩R()=n,用Matlab计算能控矩阵秩,从而对该系统能控性进行鉴别,程序为:A=0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;Qc=ctrb(A,B)R1=rank(Q
9、c)运营程序,得到:R1 = 4等于矩阵行数,由此可以判断,系统是完全能控。2.2.2 系统能观性分析设线性定常系统状态方程为: 式中 Ann矩阵 Bnr矩阵 Cmn矩阵 Dmr矩阵能观充分必要条件为:能观鉴别阵秩R()=n,下面,用Matlab计算能控矩阵秩,从而对该系统能控性进行判断:A=0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;Qo=obsv(A,C)R2=rank(Qo)运营程序,得到:R2 = 4满秩,因而可以判断,该系统是完全能观。综上所
10、述,这是一种既能控又能观系统。2.3 系统稳定性分析2.3.1 反馈控制理论中稳定性分析办法稳定性是一种系统可以被采用最基本条件,是系统固有属性。稳定系统定义如下:设控制系统处在某一起始平衡状态,在外力作用下,它离开了平衡状态,当外作用消失后,如果通过足够长时间它可以恢复到起始平衡状态,则称这样系统为稳定系统,否则称为不稳定系统。由稳定性定义可见,稳定性是系统去掉外力作用后自身一种恢复能力,因此是系统一种固有特性。对于线性定常系统,它取决于系统自身构造和参数,而与初始条件和外界作用无关。线性定常系统稳定充分必要条件是:闭环系统特性方程所有特性根为负实数或具备负实部共轭复数,即所有特性根位于复平
11、面左半平面。只要有一种闭环特性根分布在右半平面上,系统就是不稳定;如果没有右半平面根,但有纯虚根,则系统是临界稳定;在工程上,处在不稳定和临界稳定线性定常系统是不能采用1。在古典控制系统中,咱们判断系统稳定性经惯用劳斯-赫尔维茨代数判据、时域分析法、根轨迹法、频域分析法等办法,但那只针对低阶系统。实际工业生产中,经常会碰见某些特别复杂系统。这时古典控制理论中办法就有点捉襟见肘了。1892年俄国学者李雅普诺夫提出稳定性理论是拟定系统稳定性更普通性理论,它采用了状态向量描述,不但合用于单变量、线性、定常系统,并且合用于多变量,非线性、时变系统。李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念基本上,提出了
12、判断系统稳定性两种办法:一种办法是运用线性系统微分方程解来判断系统稳定性,称为李雅普诺夫第一法或间接法;另一种办法是一方面运用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数,进而运用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性,称为李雅普诺夫第二法或直接法。2.3.2 运用Matlab分析系统稳定性随着计算机技术发展,在当代控制理论中,咱们经常采用Matlab判断系统稳定性。对于线性定常系统,典型系统输入信号类型有脉冲、阶跃、斜坡、加速度、正弦信号。系统稳定性是对任何输入信号而言,即若一种系统是稳定,则其在任何输入信号状况下相应输出曲线是收敛。然而,阶跃信号包括了此外几种常用输入信号特性,因此咱们常通过观测系统单位阶跃响应
13、曲线判断判断系统稳定性。若系统单位阶跃响应是收敛,则系统普通是收敛;否则,是发散。在Matlab中输入相应系统状态空间表达式矩阵来求取系统特性值:A=0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;eig(A)运营程序,得到: ans = -5.7735 +22.3859i -5.7735 -22.3859i -0.9765 + 8.0332i -0.9765 - 8.0332i由此可以懂得,经计算得出A阵所有特性根均在复平面左半平面,因而得出该系统是稳定
14、。给系统加起阶跃信号:A=0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5;B=0 0;0 0;1 0;0 0.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;0 0;step(A,B,C,D)成果如下图2-2 阶跃响应曲线由图可以看出,在阶跃响应下,系统在一定期间内收敛于某一固定值,因而可以判断系统是稳定,但同步咱们也可以看出,系统调节时间比较长,如果想要减少调节时间,那么需要重新配备极点,对系统进行改进。下面章节将对系统进行极点配备。2.3.3 Simulink仿真成果依照上述原理,用Matlab中Simulink组件进行仿真。依照状态空间表达
15、式,搭建系统模型如下图所示:咱们分别对只有输入1作用下和只有输入2作用下系统使用Simulink进行仿真,让其与Matlab图像进行对比图2-3 Simulink模型图(1)仅有作用时,系统输出如下图所示图2-4 u1作用时响应曲线图中,绿色为输出1曲线,蓝色为输出2曲线。经分析:此曲线与相应Matlab曲线一致,系统稳定,但是超调量较大,调节时间较长。(2)仅有作用,系统输入如下所示:图2-5 u2作用时响应曲线图中,绿色为输出1曲线,蓝色为输出2曲线。经分析:同样,此曲线与相应Matlab曲线一致,系统稳定,但是超调量较大,调节时间较长。在共同作用下,系统输出如下图所示:图2-6 u1、u
16、2同步作用时响应曲线图中绿色为输出1曲线,蓝色为输出2曲线。经分析:此曲线与Matlab曲线一致,系统稳定,但是超调量较大,调节时间较长。需要进行极点配备,使系统得到更好性能。2.4 系统极点配备控制系统性能重要取决于系统极点在根平面上分布。因而,在系统设计中,普通是依照对系统品质规定,规定闭环极点应有分布状况。所谓极点配备就是,就是通过选取反馈矩阵K,将闭环系统极点正好配备在根平面上所盼望位置,以获得所但愿动态性能。2.4.1 状态反馈法极点问题一方面解决与否能通过状态反馈来实现给定极点配备,即在什么条件下才有也许按照规定规定来配备极点。另一方面是,这样反馈阵如何拟定问题。图2-7 状态反馈
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