弹簧质量阻尼系统的建模与控制新版专业系统设计.doc

分 数：___________
任课教师签字：___________

华北电力大学研究生结课作业

学 年 学 期：第一年第一学期
课 程 名 称：线性系统理论
学 生 姓 名：
学 号：
提 交 时 间：.11.27

目录
目录 2
1 研究背景及意义 3
2 弹簧-质量-阻尼模型 3
2.1 系统建立 4
2.1.1 系统传递函数计算 5
2.2 系统能控能观性分析 7
2.2.1 系统能控性分析 8
2.2.2 系统能观性分析 9
2.3 系统稳定性分析 10
2.3.1 反馈控制理论中稳定性分析办法 10
2.3.2 运用Matlab分析系统稳定性 10
2.3.3 Simulink仿真成果 12
2.4 系统极点配备 15
2.4.1 状态反馈法 15
2.4.2 输出反馈法 16
2.4.2 系统极点配备 16
2.5系统状态观测器 18
2.6 运用离散办法研究系统特性 20
2.6.1 离散化定义和办法 20
2.6.2 零阶保持器 22
2.6.3 一阶保持器 24
2.6.4 双线性变换法 26
3.总结 28
4.参照文献 28

弹簧-质量-阻尼系统建模与控制系统设计
1 研究背景及意义
弹簧、阻尼器、质量块是构成机械系统抱负元件。由它们构成弹簧-质量-阻尼系统是最常用机械振动系统，在生活中具备相称广泛用途，缓冲器就是其中一种。缓冲装置是吸取和耗散过程产生能量重要部件，其吸取耗散能量能力大小直接关系到系统安全与稳定。缓冲器在生活中处处可见，例如咱们汽车减震装置和用来消耗碰撞能量缓冲器，其缓冲系统性能直接影响着汽车稳定与驾驶员安全；此外，天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统稳定与否直接影响着交会对接成功。因而，对弹簧-质量-阻尼系统研究有着非常深现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型
数学模型是定量地描述系统动态特性，揭示系统构造、参数与动态特性之间关系数学表达式。其中，微分方程是基本数学模型，无论是机械、液压、电气或热力学系统等都可以用微分方程来描述。微分方程解就是系统在输入作用下输出响应。因此，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应前提 。普通状况下，列写机械振动系统微分方程都是应用力学中牛顿定律、质量守恒定律等。
弹簧-质量-阻尼系统是最常用机械振动系统。机械系统如图2.1所示，

图2-1弹簧-质量-阻尼系统机械构造简图
其中、表达小车质量，表达缓冲器粘滞摩擦系数，表达弹簧弹性系数，表达小车所受外力，是系统输入即,表达小车位移，是系统输出，即，i=1,2。设缓冲器摩擦力与活塞速度成正比，其中，，，，，。
2.1 系统建立
由图2.1，依照牛顿第二定律，分别分析两个小车受力状况，建立系统动力学模型如下：
对有：
对有：
联立得到：
对：
对：
令，，，，，;
，
得出状态空间表达式：

因此，状态空间表达式为：
+

由此可以得出

已知：，，，，，
代入数据得：

2.1.1 系统传递函数计算
在Matlab中，函数ss2tf给出了状态空间模型所描述系统传递函数，其普通形式是[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)，其中iu是输入值。
用Matlab将状态空间表达式表达为传递函数：
在输入1单独作用状况下
A=[0 0 1 0;0 0 0 1；-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
运营程序，得到：
num =

0 -0.0000 1.0000 4.5000 200.0000
0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000

den =

1.0e+004 *

0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000
在输入2单独作用状况下：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1；-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2)
运营程序，得到：
num =

0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000
0 -0.0000 0.5000 4.5000 200.0000

den =

1.0e+004 *

0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000
由此可知：
位移对外力传递函数是：

位移对外力传递函数是：

位移对外力传递函数是：

位移对外力传递函数是：

2.2 系统能控能观性分析
在反馈控制理论中只讨论输入量对输出量控制。而这两个量关系唯一地由系统传递函数所拟定。一种稳定系统，一定能控。同步，系统输出量自身就是咱们想要控制量，对于一种实际系统来说，输出量固然是可以被观测到，因而在反馈控制理论中没有必要设立能控和能观这两个概念。
然而在当代控制理论中，能控和能观是两个重要基本概念。咱们把反映系统内部运动状态状态向量作为被控量，并且它们不一定是事实上可观测到物理量，至于输出量则是状态向量线性组合，这就产生了从输入量到状态量能控性问题和从输出量到状态量能观测性问题。
在当代控制中，分析和设计一种控制系统，必要研究这个系统能控性和能观性。状态方程描述了输入U(t)引起状态X（t）变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起输出Y（t）变化。能控性和能观性正是分别分析U(t)对状态X（t）控制能力以及Y（t）对X（t）反映能力。
2.2.1 系统能控性分析
设线性定常系统状态方程为

式中 A——n×n矩阵
B——n×r矩阵
C——m×n矩阵
D——m×r矩阵
系统能控充分必要条件为：能控鉴别阵秩R()=n，
用Matlab计算能控矩阵秩，从而对该系统能控性进行鉴别，程序为：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1；-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
Qc=ctrb(A,B)
R1=rank(Qc)
运营程序，得到：

R1 =

4
等于矩阵行数，由此可以判断，系统是完全能控。
2.2.2 系统能观性分析
设线性定常系统状态方程为：

式中 A——n×n矩阵
B——n×r矩阵
C——m×n矩阵
D——m×r矩阵
能观充分必要条件为：能观鉴别阵秩R()=n，
下面，用Matlab计算能控矩阵秩，从而对该系统能控性进行判断：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1；-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
Qo=obsv(A,C)
R2=rank(Qo)
运营程序，得到：
R2 =

4
满秩，因而可以判断，该系统是完全能观。
综上所述，这是一种既能控又能观系统。

2.3 系统稳定性分析
2.3.1 反馈控制理论中稳定性分析办法
稳定性是一种系统可以被采用最基本条件，是系统固有属性。
稳定系统定义如下：设控制系统处在某一起始平衡状态，在外力作用下，它离开了平衡状态，当外作用消失后，如果通过足够长时间它可以恢复到起始平衡状态，则称这样系统为稳定系统，否则称为不稳定系统。由稳定性定义可见，稳定性是系统去掉外力作用后自身一种恢复能力，因此是系统一种固有特性。对于线性定常系统，它取决于系统自身构造和参数，而与初始条件和外界作用无关。
线性定常系统稳定充分必要条件是：闭环系统特性方程所有特性根为负实数或具备负实部共轭复数，即所有特性根位于复平面左半平面。只要有一种闭环特性根分布在右半平面上，系统就是不稳定；如果没有右半平面根，但有纯虚根，则系统是临界稳定；在工程上，处在不稳定和临界稳定线性定常系统是不能采用[1]。
在古典控制系统中，咱们判断系统稳定性经惯用劳斯-赫尔维茨代数判据、时域分析法、根轨迹法、频域分析法等办法，但那只针对低阶系统。实际工业生产中，经常会碰见某些特别复杂系统。这时古典控制理论中办法就有点捉襟见肘了。
1892年俄国学者李雅普诺夫提出稳定性理论是拟定系统稳定性更普通性理论，它采用了状态向量描述，不但合用于单变量、线性、定常系统，并且合用于多变量，非线性、时变系统。李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念基本上，提出了判断系统稳定性两种办法：一种办法是运用线性系统微分方程解来判断系统稳定性，称为李雅普诺夫第一法或间接法；另一种办法是一方面运用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而运用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性，称为李雅普诺夫第二法或直接法。
2.3.2 运用Matlab分析系统稳定性
随着计算机技术发展，在当代控制理论中，咱们经常采用Matlab判断系统稳定性。对于线性定常系统，典型系统输入信号类型有脉冲、阶跃、斜坡、加速度、正弦信号。系统稳定性是对任何输入信号而言，即若一种系统是稳定，则其在任何输入信号状况下相应输出曲线是收敛。然而，阶跃信号包括了此外几种常用输入信号特性，因此咱们常通过观测系统单位阶跃响应曲线判断判断系统稳定性。若系统单位阶跃响应是收敛，则系统普通是收敛；否则，是发散。
在Matlab中输入相应系统状态空间表达式矩阵来求取系统特性值：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1；-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
eig(A)
运营程序，得到：
ans =

-5.7735 +22.3859i
-5.7735 -22.3859i
-0.9765 + 8.0332i
-0.9765 - 8.0332i
由此可以懂得，经计算得出A阵所有特性根均在复平面左半平面，因而得出该系统是稳定。
给系统加起阶跃信号：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1；-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
step(A,B,C,D)
成果如下

图2-2 阶跃响应曲线
由图可以看出，在阶跃响应下，系统在一定期间内收敛于某一固定值，因而可以判断系统是稳定，但同步咱们也可以看出，系统调节时间比较长，如果想要减少调节时间，那么需要重新配备极点，对系统进行改进。下面章节将对系统进行极点配备。
2.3.3 Simulink仿真成果
依照上述原理，用Matlab中Simulink组件进行仿真。
依照状态空间表达式，搭建系统模型如下图所示：
咱们分别对只有输入1作用下和只有输入2作用下系统使用Simulink进行仿真，让其与Matlab图像进行对比

图2-3 Simulink模型图
（1）仅有作用时，系统输出如下图所示

图2-4 u1作用时响应曲线
图中，绿色为输出1曲线，蓝色为输出2曲线。经分析：此曲线与相应Matlab曲线一致，系统稳定，但是超调量较大，调节时间较长。
（2）仅有作用，系统输入如下所示：

图2-5 u2作用时响应曲线
图中，绿色为输出1曲线，蓝色为输出2曲线。经分析：同样，此曲线与相应Matlab曲线一致，系统稳定，但是超调量较大，调节时间较长。
在共同作用下，系统输出如下图所示：

图2-6 u1、u2同步作用时响应曲线
图中绿色为输出1曲线，蓝色为输出2曲线。经分析：此曲线与Matlab曲线一致，系统稳定，但是超调量较大，调节时间较长。需要进行极点配备，使系统得到更好性能。
2.4 系统极点配备
控制系统性能重要取决于系统极点在根平面上分布。因而，在系统设计中，普通是依照对系统品质规定，规定闭环极点应有分布状况。所谓极点配备就是，就是通过选取反馈矩阵K,将闭环系统极点正好配备在根平面上所盼望位置，以获得所但愿动态性能。
2.4.1 状态反馈法
极点问题一方面解决与否能通过状态反馈来实现给定极点配备，即在什么条件下才有也许按照规定规定来配备极点。另一方面是，这样反馈阵如何拟定问题。

图2-7 状态反馈示意图
（1）采用状态反馈配备系统极点条件：
系统采用状态反馈，任意配备其闭环系统极点充要条件为：系统完全能控。若系统不是完全能控，就必要按能控性分解，只能任意配备可控极点。
（2）极点配备办法：
若原系统可控，则采用状态反馈阵，有可控。
设原系统特性方程为。
其中，则有：
，
配备后闭环特性方程为：
；
假设闭环系统但愿极点为，得到：
。
为使系统达到但愿性能，对比式（1）和式（2）中系数，使之相等，即可求得状态反馈阵。采用状态反馈配备系统极点不变化系统可控性，它不能影响系统中不可控某些模块。
2.4.2 输出反馈法

图2-8 输出反馈示意图
对于完全能控单变量系统，不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点任意配备。不能任意配备极点，正是输出线性反馈基本弱点。为了克服这个弱点，在典型控制理论中，往往采用引入附加校正网络，通过增长开环零极点办法变化根轨迹走向，从而使其落在指定盼望位置上。
对于完全能控单变量系统，通过带动态补偿器输出反馈时限极点任意配备充要条件是：1. 系统完全能观测；2. 动态补偿器阶数为n-1。
2.4.2 系统极点配备
在当代控制理论中是用系统内部状态来描述系统，因此经常从系统状态引出信号作为反馈量。运用状态反馈只能变化系统能控某些极点，而不能变化不能控某些极点，因而运用状态反馈进行极点配备充分必要条件是系统必要是完全能控。
对一种可控系统，在采用状态反馈后，可以实现闭环极点任意配备，即通过状态反馈办法，使闭环系统极点位于任意盼望位置上。对于

其中x是状态变量（n维），u是控制信号，这里选用控制信号为

因而，
系统稳态响应和瞬态响应特性由矩阵特性决定
虽然理论上系统闭环极点离S左半平面越远越好，但是在工业生产实践中，系统极点离左半平面越远，系统运动状态就变化越快，这就规定执行机构迅速运作，虽然再好执行元件也会短时间内被损坏掉。因此新极点绝对值大概是原系统极点绝对值3至4倍左右。取P1= -15+40i；P2= -15-40i；P3= -3+10i；P4= -3-10i；
运用Matlab进行极点配备，但愿可以减小超调量，缩短稳定期间以优化系统。Matlab程序如下：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1；-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
p=[-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-10i];
k=place(A,B,p)
step(A-B*k,B,C,D)
运营程序，得到：
k =

-234.6522 131.8512 14.4561 6.3957
643.3762 -89.9765 6.7658 36.0878
图2-9 稳态响应曲线
由响应曲线可以看出该系统重新配备极点后，具备较快调节时间，并且也减少了超调量，改进了系统动态性能与稳态性能。
2.5系统状态观测器

图2-10 状态观测器示意图
通过状态观测器可以任意配备系统极点，从而使闭环系统具备盼望稳态和动态性能。但在工业生产中，系统状态变量并非都是物理量，或者是难以测得量。这样一来，系统所有状态变量未必都可以直接测量得到，因而，状态反馈这种控制方式在许多实际控制问题中往往难以直接应用和实现。状态观测器就是运用系统外部输入输出信息来拟定系统内部状态，进而，在系统极点配备状态反馈中，用观测器得到状态预计值代替系统真实状态。下图为状态观测器构造图：

图2-11 状态观测器示意图
使用MATLAB为本系统设立状态观测器，选用极点配备时极点，程序如下图所示：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1；-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
p=[-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-10i];
K1=place(A,B,p)
A1=A-B*K1
L1=(place(A',C',p))'
A2=A-L1*C
L2=(place(A1',C',p))'
A3=A1-L2*C
sys2=ss(A2,B,C,D)
sys2=ss(A3,B,C,D)
运营上面程序，得到：
L1 =

7.0833 30.0895
-30.5796 15.4167
-41.6552 -96.5401
168.1877 200.0790
A2 =

-7.0833 -30.0895 1.0000 0
30.5796 -15.4167 0 1.0000
-358.3448 396.5401 -9.0000 6.0000
-18.1877 -400.0790 3.0000 -4.5000
L2 =

3.7432 -7.1200
-21.4563 -3.7432
190.9894 93.5822
115.5037 -24.2083
A3 =

-3.7432 7.1200 1.0000 0
21.4563 3.7432 0 1.0000
-655.5795 -119.9176 -18.2856 30.9515
-81.9216 -402.0612 -29.0527 -17.7144
其中L1代表没进行状态反馈时状态观测反馈矩阵，L2代表进行了状态反馈状态观测矩阵。
2.6 运用离散办法研究系统特性
2.6.1 离散化定义和办法
运用数字计算机对线性定常持续系统求数值解是当代科学技术研究中惯用一种办法，它不但以便，并且精准。由于实际工业生产中线性定常持续系统被控对象需要在线控制等，必要将持续时间系统状态方程转化为离散系统状态方程，即将矩阵微分方程化成矩阵差分方程，这就是持续系统离散化。
依照离散系统构成设备不同可以将离散系统分为采样控制系统和数字控制系统：
a.采样控制系统：控制系统构成中选取了采样开关（或者具有开关特性设备）。
b.数字控制系统：控制系统控制器选取了专用数字计算机。
普通，把系统中离散信号是脉冲序列形式离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而把数字序列形式离散系统，称为数字控制系统或计算机控制系统。
采样控制系统：采样控制系统是对来自传感器持续信息在某些规定上时间瞬时值上取值。例如，控制器系统中误差信号可以是断续持续脉冲信号，而相邻两个脉冲之间误差信息，系统并没有收到。如果在有规律间隔上，系统获得了离散信息，则这种采样称为周期采样；反之，如果信息之间间隔是时变，或随机，则称为非周期采样，或随机采样。
在采样控制系统中，把持续信号转变为脉冲序列过程称为采样过程，简称采样。实现采样装置称为采样器，或采样开关。用表达采样周期，单位为；，表达采样频率，单位为；表达采样角频率，单位为。在采样控制系统中，把脉冲序列转变为持续信号过程称为信号复现过程。实现复现过程装置称为保持器。
采样周期选取满足香农采样定理。采样周期太大会使信号失真，采样周期太小则容易导致计算过程累积偏差或失去采样系统特性。香农采样定理是在设计离散系统时必要要遵循准则，它给出了自采样离散信号不失真地恢复原持续信号所必须理论上最低采样频率。采样频率应当满足

即是采样角频率，应使其对持续信号中最高频率分量，在一种周期内被采样2次以上（上半周与下半周都至少采样一次），则采样后脉冲序列中将包括了持续信号所有信息。但是，在仿真中所遇到大多数被再现信号是没有频带限，因此普通取采样频率再现信号重要频带中最高频率5~10倍。在离散控制系统设计过程中，采样周期拟定根据是现场检测被调量信号频率，对于频率较高信号，采样周期设定就小，而对于变化过程较慢低频信号，采样周期设定可以大某些。关于概念在工程上实际应用会有专门内容简介。
线性持续系统状态方程离散化实质是将矩阵微分方程化为矩阵差分方程，它是描述多输入多输出离散系统一种以便数学模型。
在推导离散化系统方程时，假定系统是周期性采样，并且采样脉冲宽度远不大于采样周期，采样周期T选取满足香农采样定理，还假设系统具备零阶保持特性，即在两个采样瞬间之间，采样值不变，并等于前一种采样时刻值。
普通离散化办法有诸多，例如欧拉法，梯形法，龙哥-库塔（Runge-Kutta）法，阿达姆斯（Adams）法等等。下面重要运用三种办法来对系统进行离散化并运用计算机进行模仿系统特性，分析不同采样周期对系统影响效果。
2.6.2 零阶保持器
零阶保持器可以将脉冲序列变成持续方波信号，即将前一种采样周期数值保存到下一种采样点到来时候。在Matlab中输入函数如下：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1；-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
p=[-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-10i];
k=place(A,B,p);
[H,I,J,K]=c2dm(A-B*k,B,C,D,0.1,'zoh')
dstep(H,I,J,K)
分别设立采样时间为0.1s，0.05s，0.01s，运营程序，得到下图：

t=0.1s

t=0.05s
t=0.01s
图2-12 零阶保持器离散化
2.6.3 一阶保持器
采用一阶保持器进行离散化，程序如下:
A=[0 0 1 0;0 0 0 1；-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
p=[-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-10i];
k=place(A,B,p);
[H,I,J,K]=c2dm(A-B*k,B,C,D,0.1,'foh')
dstep(H,I,J,K)
同样，分别设立采样时间为0.1s，0.05s，0.01s，运营程序，得到下图：

t=0.1s

t=0.05s

t=0.01s
图2-13 一阶保持器离散化

2.6.4 双线性变换法
采用双线性变换法进行离散，程序如下：
A=[0 0 1 0;0 0 0 1；-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5];
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0;0 0];
p=[-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-10i];
k=place(A,B,p);
[H,I,J,K]=c2dm(A-B*k,B,C,D,0.1,'tustin');
dstep(H,I,J,K)
同样，分别设立采样时间为0.1s，0.05s，0.01s，运营程序，得到下图：

t=0.1s

t=0.05s

t=0.01s
图2-14 双线性变换法离散化
3.总结
本文选用一典型弹簧-质量-阻尼模型，一方面鉴别它能控性、能观性，分析它稳定性，并对其进行状态反馈和极点配备，又设计了状态观测器，最后对其进行了离散化，得到了离散化后取不同采样时间仿真图形。
在做这次作业过程中，我遇到了许多困难。由于在本科学校时，Matlab是一门选修课，因此这个软件对我来说很陌生，基本不太会。于是从图书馆借了几本书学习如何使用Matlab。其中对我协助特别大是黄忠霖先生编写《控制系统MATLAB计算及仿真》。专门把控制系统在Matlab中用到有关内容作了详细简介。学习这本书过程，我受益匪浅。通过这次作业，我不但加深了对当代控制理论这门课理解，还学习了一种非常有用软件，这是意外收获。此外就是，模型到公式转化让枯燥死板课本知识与实际紧密结合了起来。这样在后来学习生活中，我会更加有动力，同步也为后来研究学习尚有工作打下了坚实基本。
4.参照文献
[1] 于希宁．自动控制理论[M]．北京：中华人民共和国电力出版社，．
[2] 黄忠霖．控制系统MATLAB计算及仿真[M]．北京：国防工业出版社，．
[3] 徐宝云．计算机建模与仿真技术[M]．北京：北京理工大学出版社，．
[4] 韩璞，刘长良．控制系统数字仿真技术[M]．北京：中华人民共和国电力出版社，．
[5] 白艳艳，张晓俊．建立弹簧-质量-阻尼系统模型数轴法[J]．噪声与振动控制，,6．