奥数典型问题专项训练.doc

行程问题
1.甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点尚有20米，丙离终点尚有25米，如果甲、乙、丙赛跑速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点尚有多少米？
2.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A地，乙和丙从B地同步出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间距离。
3.甲、乙、丙是一条路上三个车站，乙站到甲、丙两站距离相等，小强和小明同步分别从甲、丙两站出发相向而行，小强通过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续迈进，小强走到丙站及时返回，通过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站距离是多少米？
4.周长为400米圆形跑道上，有相距100米A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两点同步相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙正好跑到B.如果后来甲、乙跑速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑了多少米（从出发时算起）？
5.一条公路上，有一种骑车人和一种步行人，骑车人速度是步行人速度3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？
  参照答案：1.       5又5/9米2.       16.5千米 3.       300米4.       1000米5.       5分钟

工程问题
1. 一项工程，甲单独完毕需12天，乙单独完毕需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完毕，问甲做了几天？
2. 师徒三人合伙承包一项工程，8天可以所有完毕.已知师傅单独做所需天数与两个徒弟合伙所需天数相似.师傅与徒弟甲合伙所需天数4倍与徒弟乙单独完毕这项工程所需天数相似.问：两徒弟单独完毕这项工程各需多少天？
3. 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完毕．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完毕．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完毕？
4. 一项工程，甲单独做要12小时完毕，乙单独做要18小时完毕．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完毕任务时，共用了多少小时？
5. 一种水池有两个排水管甲和乙，一种进水管丙.若同步开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；若同步开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满.若同步打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中满池水，需几小时？
参照答案 1.       42.       甲26又2/3天，乙40天
       3.       21
       4.       14又1/3
       5.       10

数字问题
1.一本故事页码，在印刷时必要用1989个铅字，在这一本书页码中数字1浮现多少次？
2.把23个数：3，33，333，…，33…3（23个3）相加，则所得和末四位数是多少？
3.将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一种八位数，使得两个1之间有一种数字，两个2之间有二个数字，两个3之间有三个数字，两个4之间有四个数字，那么这样八位数中最小是？
4.从 1， 2， 3，…，， 这些自然数中，最多可以取几种数，才干使其中每两个数差不等于4？
5.有一种电话号码是六位数，其中左边三个数字相似，右边三个数字是按由大到或由小到大顺序排列三个持续自然数，六个数字之和正好等于末尾两位数，这个电话号码是多少？
参照答案：
       1.       240
       2.       7029
       3.       23421314
       4.       1004
       5.       555321或333012

分数、百分数应用题
1.一列火车从甲地开往乙地，如果将车速提高20％，可以比原筹划提前1小时到达；如果先以原速度行驶240千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.求甲、乙两地之间距离及火车本来速度。
2.甲、乙、丙三人合伙生产一批机器零件，甲生产零件数量一半与乙生产零件数量五分之三相等，又等于丙生产零件数量四分之三，已知乙比丙多生产50个零件，问：这批零件共有多少个？
3.菜园里西红柿获得丰收，收下所有3/8时，装满3筐还多24公斤，收完别的某些时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少公斤？
4.服装厂一车间人数占全厂25％，二车间人数比一车间少1/5，三车间人数比二车间多3/10，三车间是156人，这个服装厂全厂共有多少人？
5.二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占本班人数3/4，二班少先队员占本班人数5/6，求两个班各有多少人？

       参照答案：
       1.甲、乙两地相距540千米，本来火车速度为每小时90千米。
       2.750
       3.384
       4.600
       5.一班48人，二班42人

同余问题
1. 若a为自然数，证明10│（a －a1949）．
2.给出12个彼此不同两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们差是两个相似数字构成两位数．
3.求被3除余2，被5除余3，被7除余5最小三位数．
4.设2n＋1是质数，证明：12，22，…，n2被2n＋1除所得余数各不相似．
5.试证不不大于5质数平方与1差必能被24整除．
参照答案：
1.提示：对于任何自然数a，a5与a个位数字相似．
2.提示：有两个数差能被11整除
3.173
4.分析 这道题必定不也许通过各数被2n＋1除去求余数．那么咱们可以考虑从反面入手，假设存在两个相似余数话，就会发生矛盾．而中间推导是步步有依照，因此发生矛盾因素是假设不合理．从而阐明假设不成立，因而本来结论是对的．
证明：假设有两个数a、b，（a≠b，设b<a，且1≤a≤n，1≤b≤n），它们平方a2，b2被2n＋1除余数相似那么，由同余定义得a2－b2≡0（mod（2n＋1））即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是质数．∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．
由于a＋b，a－b均不大于2n＋1且不不大于零，可知，a＋b与2n＋1互质，a－b也与 2n＋1互质．即a＋b与a－b都不能被2n＋1整除．产生矛盾，∴原题得证．
阐明：这里用到一种重要事实：如果A·B≡0（modp），p是质数，那么A或B中至少有一种模p为零．p是质数这一条件不能少，否则不能成立。例如2·3≡0（mod6），但2、3被6除余数不为0。
5.证明：∵质数中仅有一种偶数2，∴不不大于5质数是奇数．又不不大于5自然数按除以6所得余数可分为6类：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然数），其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶数，又3│6n＋3．∴不不大于5质数只也许是6n＋1，6n＋5．又自然数除以6余数是5此类数换一记法是：6n－1∴（不不大于5质数）2－1＝（6n±1）2－1＝36n2±12n＝12n（3n±1），这里n与（3n±1）奇偶性不同，其中定有一种偶数，∴2│n（3n±1），∴24│12n（3n±1）．∴结论成立． 阐明：按同余类造抽屉是解竞赛题惯用办法．

最值问题
1.一种两位数被它各位数字之和去除，所得余数最大是多少？
2.有4袋糖块，其中任意3袋总和都超过60块。那么这4袋糖块总和至少是多少？
3.将6，7，8，9，10按任意顺序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数最小值是多少？
4.有13个不同非零自然数，她们和是100，问其中偶数至少有多少个，最多有多少个?
5.用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，构成一种被减数，减数，差都是三位数对的减法算式，那么这个算式差最大是多少？

       参照答案：
       1.       15
       2.       82
       3.       312
       4.       至少5个，最多7个
       5.       784

浓度问题
1. 有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克，乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度是82.5%糖水100克，问每种应取多少克？
2. 一种容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内酒精溶液浓度是?
3. 有若干公斤4%盐水,蒸发了某些水分后变成了10%盐水,在加300克4%盐水,混合后变成6.4%盐水,问最初盐水是多少公斤?
4.已知盐水若干克，第一次加入一定量水后，盐水浓度变为3％，第二次加入同样多水后，盐水浓度变为2％。求第三次加入同样多水后盐水浓度。
5.有A、B、C三种盐水，按A与B数量之比为2：1混合，得到浓度为13％盐水；按A与B数量之比为1：2混合，得到浓度为14％盐水；按A、B、C数量之比为1：1：3混合，得到浓度为10.2％盐水，问盐水C浓度是多少？

       参照答案：
       1.       甲25，乙75
       2.       80.1%
       3.       0.5
       4.       1.5％
       5.       8％

设数解题
1.某班一次考试，平均分为85分，其中7/8及格，及格同窗平均分为90分，那么不及格同窗平均分是多少？
2.小明上山速度是每分钟150米，下山速度是每分钟300米，求上山后又沿原路下山平均速度。
3.某班同窗平均身高为138厘米，其中男生比女生多1/5，女生平均身高比男生高10%，这个班男生平均身高是多少？
4.阅览室看书学生中，男生占25%，有来了某些学生后，学生总人数增长20%，男生占总数40%，男生增长百分之几？
5.六年级三个班人数相等，一班男生人数和二班女生人数相等，三班男生人数是所有男生人数3/8，所有女生人数占全年级人数几分之几？注：也可称为赋值法。设数时，最佳不要将单位名称写出，自己心里懂得就可以了。

       参照答案：
       1.       50
       2.       200米每分钟
       3.       132厘米
       4.       92％
       5.       7/15

不定方程
1.小华买圆珠笔若干支，正好付出10元钱，她所买圆珠笔有两种，有1元1支，也有1元5角一支，每种都多于4支，她两种圆珠笔各买了多少支？
2.有甲乙两种卡车，甲车载重量为6吨，乙车载重量为8吨。既有煤144吨，规定一次运完，每种车都不少于4辆，并且每一辆卡车都要满载，问甲乙两种卡车各需多少辆？
3.一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，……）。男生平均成绩为4分，女生平均成绩为3.25分，而全班平均成绩为3.6分。如果该班人数多于30人，少于50人，问有多少男生和多少女生参加了测验？
4.某地水费，不超过10吨时，每吨0.45元；超过10吨时，每吨0.8元，张家比李家多交水费3.3元，如果两家用水量都是整数吨。问两家各交水费多少元？
5.有甲乙丙三种货品，若购甲3件，乙7件，丙1件共需315元。若购甲4件，乙10件，丙1件共需420元。现购甲乙丙各一件共需多少元？

最大公约数与最小公倍数
1.两个数最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一种数是28，另一种数是多少？
2.已知两个自然数积是5766，它们最大公约数是31.求这两个自然数。
3.已知两个自然数和是54，并且它们最小公倍数与最大公约数之间差为114，求这两个数。
4.将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米长方体木料，锯成同样大小正方体小木块.问当正方体边长是多少时，用料最省且小木块体积总和最大？（不计锯时损耗，锯完后木料不许有剩余）
5.写出不大于20三个自然数，使它们最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。

       参照答案：
       1.       36
       2.       31，186或62，93
       3.       24,30
       4.       21厘米
       5.       6，10，15或10，12，15或10，15，18

整除问题
1. 任一种三位数持续写两次得到一种六位数.试证：这个六位数能同步被7、11、13整除.
2. 证明：任何两个自然数和、差、积中，至少有一种数能被3整除.
3. 某个七位数□□□能同步被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？
4. 在865背面补上三个数字，构成一种六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽量小。
5.求能被26整除所有六位数(x1991y)。
       参照答案：
       1.       提示：该数能被1001整除
       2.       略
       3.       8，8，0
       4.       865020
       5.       819910、119912、719914和619918

奇偶分析
1.能否在下式中填入恰当“+”，“-”，使等式成立？
  9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一种是，一种是，一种是。问（a－1）（b－2）（c－3）是奇数还是偶数。
3.用代表整数字母a、b、c、d写成等式组：
       　　a×b×c×d-a=1991
       　　a×b×c×d-b=1993
       　　a×b×c×d-c=1995
       　　a×b×c×d-d=1997
       试阐明：符合条件整数a、b、c、d与否存在。
4.有一串数，最前面四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一种数都是它前面相邻四个数之和个位数字.问：在这一串数中，会依次浮现1、9、8、8这四个数吗？
5.任意变化某一种三位数各位数字顺序得到一种新数.试证新数与原数之和不能等于999。

       参照答案：
       1.不能
       2.偶数
       3.不存在
       4.提示：先按规律写出某些数来，再找其奇、偶性排列规律，便可得到答案：不会依次浮现1、9、8、8这四个数。
       5.略

时钟问题
1.在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？
2.当前是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重叠？
3.在7点与8点之间（包括7点与8点）什么时刻，两针之间夹角为120°？
4.小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重叠，小明解题起始时间？小明解题共用了多少时间？
5.一只旧钟分钟和时针每65分钟（原则时间65分钟）重叠一次.问这只旧钟一天（原则时间24小时）慢或快几分钟？

       参照答案：
       1.       10点5又5/11分钟和10点38又2/11分钟
       2.       61又4/11分钟
       3.       7点16又4/11分钟和8点整
       4.       32又2/11分钟
       5.       快10又10/143分钟（按旧钟上时间）

 奇偶分析
1.能否在下式中填入恰当“+”，“-”，使等式成立？
              9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一种是，一种是，一种是。问（a－1）（b－2）（c－3）是奇数还是偶数。
3.用代表整数字母a、b、c、d写成等式组：
       　　a×b×c×d-a=1991
       　　a×b×c×d-b=1993
       　　a×b×c×d-c=1995
       　　a×b×c×d-d=1997
       试阐明：符合条件整数a、b、c、d与否存在。
4.有一串数，最前面四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一种数都是它前面相邻四个数之和个位数字.问：在这一串数中，会依次浮现1、9、8、8这四个数吗？
5.任意变化某一种三位数各位数字顺序得到一种新数.试证新数与原数之和不能等于999。

       参照答案：
       1.不能
       2.偶数
       3.不存在
       4.提示：先按规律写出某些数来，再找其奇、偶性排列规律，便可得到答案：不会依次浮现1、9、8、8这四个数。
       5.略

简朴枚（列）举法
1.用0，1，2，3四个数字构成一种三位数，可以构成多少个偶数（每个数字最多用一次）？
2.在一种长方形中划6条直线，最多能把它提成多少份？
3.从1到100自然数中，完全不含数字“9”有多少个？
4.a和b是自然数，且a+b=81。a和b积最大是多少？
5.a，b，c是三个互不相等正整数，且a+b+c=30，那么a，b，c积最大是多少？最小是多少？

       参照答案：
       1.       10
       2.       22
       3.       80
       4.       1640
       5.       990   54

抽屉原理问题
1．4个持续自然数分别被3除后，必有两个余数相似。为什么？
2．在1米长直尺上标出任意5个点，请你阐明这5个点中至少有两个点距离不不不大于25厘米。
3．黑、白、黄三种颜色袜子各有诸多只，在黑暗处至少拿出几只袜子袜子就能保证有一双是同一颜色？
4．某小学五一班有48名同窗，至少有几种同窗在同一月过生日？
5．有4个运动员练习投篮，一共投进50个球，一定有一种运动员至少投进几种球？
6．布袋中有60块大小、形状都相似木块，每15块涂上相似颜色，一次至少取出多少块，才干保证其中至少有3块颜色相似？

火车行程问题
1.A火车长210米，每秒钟行驶25米，B火车每秒钟行驶20米，两列车同方向行驶，A火车追上B火车到超过共用过了80秒，求B火车长度
2.一列火车通过340米大桥需要100秒，用同样速度通过144米大桥用了72秒。求火车速度和长度。
3.两辆车相向而行，客车长168米，每秒行驶23米，货车长288米，每秒行驶15米。问：从两车相遇到离开需要多长时间？
4.甲列车每秒钟行驶18米，乙列车每秒中行驶12米。若两车齐头并进，则甲列车通过40秒超过乙列车，若两车齐尾并进，则甲列车通过30秒超过乙列车。求甲、乙列车长度。
5.老李沿着铁路散步，她每分钟走60米，迎面过来一列长300米火车，她与车头相遇到与车尾相离共用了20秒，求火车速度。