五节平面及其方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、第五节第五节 平面及其方程平面及其方程一、平面点法式方程一、平面点法式方程二、平面普通方程二、平面普通方程三、两平面夹角三、两平面夹角返回返回第1页在本节和下一节里,我们将以向量为工具,在空间直角坐标在本节和下一节里,我们将以向量为工具,在空间直角坐标系中讨论最简单曲面和曲线系中讨论最简单曲面和曲线平面和直线平面和直线.一、平面点法式方程一、平面点法式方程假如一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面假如一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面法线法线向量向量.轻易知道,平面上任一向量均与该平面法线向量轻易知道,平面上任一向量均与该平面法线向量垂直垂直.和它一个法线向量和它一个法线向量 因为
2、过空间任一点能够作而且只能作一平面垂直于一已知直因为过空间任一点能够作而且只能作一平面垂直于一已知直线,所以当平面线,所以当平面II上一点上一点为已知时,平面为已知时,平面位置就完全确定了位置就完全确定了.下面我下面我 们来建立平面们来建立平面方程方程.第2页设设 是平面是平面II任一点任一点(图图751).那么向量必与平面那么向量必与平面II法线向量法线向量n垂直,即垂直,即它们数量积等于零:它们数量积等于零:因为因为,(1)这就是平面这就是平面II上任一点上任一点 M坐标坐标 所满足方程所满足方程.,所以有所以有:反过来,假如反过来,假如 不在平面不在平面II上上,那么向量那么向量 与法线
3、向量与法线向量 不垂直不垂直,从而从而,即不在平面即不在平面II上上点点M坐标坐标x,y,z不满足方程不满足方程(1).第3页及它一个法线向量及它一个法线向量 由此可知,平面由此可知,平面II上任一点坐标上任一点坐标x,y,z都满足方程都满足方程(1);不在平面不在平面II上点坐标都不满足方程上点坐标都不满足方程(1).这么,方程这么,方程(1)就是平面就是平面II方程,而平面方程,而平面II就是方程就是方程(1)图形图形.因为方程因为方程(1)是由平面是由平面II上一点上一点 确定,所以方程确定,所以方程(1)叫做平面点法式方程叫做平面点法式方程.例例 1 求过点求过点(2,-3,0)且以且
4、以n=(1,-2,3)位法线向量平面方程位法线向量平面方程.解解 依据平面点法式方程依据平面点法式方程(1),得所求平面方程,得所求平面方程 (x-2)2(y+3)+3z=0,即即 x 2y+3z 8=0 第4页例例 2 求过三点求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2)和和M3(0,2,3)平面平面方程方程.解解 先找出这平面法线向量先找出这平面法线向量 n.因为向量因为向量n与向量与向量 都垂直,而都垂直,而(-3,4,-6),=(-2,3,-1),所以可取它们向量积为所以可取它们向量积为n:n=14i+9j k,依据平面点法式方程依据平面点法式方程(1),得所求平面方程为,得所
5、求平面方程为14(x-2)+9(y+1)(z 4)=0,14x+9y z 15=0.返回返回第5页二、平面普通方程二、平面普通方程因为平面点法式方程因为平面点法式方程(1)式式x、y、z一次方程,而任意平一次方程,而任意平面都能够用它上面一点及它法线向量来确定,所以任一平面面都能够用它上面一点及它法线向量来确定,所以任一平面都能够用三元一次方程来表示都能够用三元一次方程来表示.反过来,设有三元一次方程反过来,设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0.我们任取满足方程一组数我们任取满足方程一组数 x0,y0,z0,即,即 A x0+B y0+C z0+D=0.把上述两等式相减,得把上述两等式相
6、减,得 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.把上述两等式点法式方程把上述两等式点法式方程(1)作比较,能够知道方程作比较,能够知道方程(4)是是经过点经过点M0(x0,y0,z0)且以且以n=(A,B,C)为法线向量平面方程为法线向量平面方程.但但方程方程(2)与方程与方程(4)同解,这是因为由同解,这是因为由(2)减去减去(3)即得即得(4),又,又由由(4)加上加上(3)就得就得(2).由此可知,任一三元一次由此可知,任一三元一次(2)图形总是图形总是一个平面一个平面.第6页方程方程(2)称为平面普通方程,其中称为平面普通方程,其中x,y,z系数就是该平面系数就是该平面一个
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