元二次方程的概念市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、一元二次方程概念一元二次方程概念一元二次方程解法一元二次方程解法一元二次方程根判别式一元二次方程根判别式一元二次方程根与系数关系一元二次方程根与系数关系用一元二次方程处理实际问题用一元二次方程处理实际问题一一元元二二次次方方程程复复习习第1页只含有只含有 ,而且都能够化,而且都能够化 成成这么方程叫做一元二次方程这么方程叫做一元二次方程把把axbxc(a,b,c为常数为常数,a)称为一元称为一元二次方程普通形式,其中二次方程普通形式,其中ax,bx,c分别称为二分别称为二次项、一次项和常数项,次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数分别称为二次项系数和一次项系数和一次项系数一个未知数一个
2、未知数x整式方程整式方程axbxc(a,b,c为常数为常数,a)形式,形式,一.相关概念第2页例1.以下方程中,关于x一元二次方程有:1、x2=0,2、ax2+bx+c=0,3、x23=x,4、a2+ax=0,5、(m1)x2+4x+5=0,7、(x+1)2=x29()A、2个 B、3个 C、4个D、5个A 例题观赏例题观赏6、x2+第3页 关于关于关于关于x x x x方程方程方程方程 是一元二次方程,则是一元二次方程,则是一元二次方程,则是一元二次方程,则a=_a=_a=_a=_ 认真想一想认真想一想【变式训练】【变式训练】3且且分析:分析:例例2:已知方程:已知方程 是关于是关于x一元一
3、元二次方程,则二次方程,则m=_ 分析:分析:第4页2、利用方程解定义:、利用方程解定义:例例3、若关于、若关于x一元二次方程一元二次方程一个根是一个根是1,求,求p值。值。依据方程解定义将依据方程解定义将x=1代入原方程,解之得代入原方程,解之得 第5页例例4、关于一元二次方程、关于一元二次方程 ,若有一个根为若有一个根为2,求另一个根和求另一个根和t值。值。分析:此例已知方程一个根,利用这个分析:此例已知方程一个根,利用这个根,先确定根,先确定t值,再求另一个根。值,再求另一个根。第6页解:022222=+=tx代入方程得:把例例4、关于一元二次方程、关于一元二次方程 ,若有一个根为若有一
4、个根为2,求另一根及,求另一根及t 第7页3、已已知知:方方程程x25x5=0一一个个根根为为m,求求m 值值.解:解:m是是x2-5x+5=0根根 m2-5m+5=0 m2+5=5m m0 m+=5第8页二二.一元二次方程解法一元二次方程解法 1 1直接开平方法直接开平方法2.2.配方法配方法1.把方程化成一元二次方程普通形式把方程化成一元二次方程普通形式2.把二次项系数化为把二次项系数化为13.把含有未知数项放在方程左边,不含未知数项放把含有未知数项放在方程左边,不含未知数项放 在方在方程右边。程右边。4.方程两边同加上一次项系数二分之一平方方程两边同加上一次项系数二分之一平方5.方程左边
5、化成完全平方形式,方程右边化成非负数方程左边化成完全平方形式,方程右边化成非负数6.利用直接开平方方法去解利用直接开平方方法去解第9页二二.一元二次方程解法一元二次方程解法 1 1直接开平方法直接开平方法2.2.配方法配方法3.3.公式法公式法1.把方程化成一元二次方程普通形式把方程化成一元二次方程普通形式2.写出方程各项系数写出方程各项系数3.计算出计算出b2-4ac值,看值,看b2-4ac值与值与0关系,若关系,若b2-4ac0,则此方程没有实数根,则此方程没有实数根。4.当当b2-4ac0时,时,代入求根公式代入求根公式 计算出方程值计算出方程值 第10页二二.一元二次方程解法一元二次方
6、程解法 1 1直接开平方法直接开平方法2.2.配方法配方法3.3.公式法公式法4.4.因式分解法因式分解法1.移项,使方程右边为移项,使方程右边为0。2.利用提取公因式法,平方差公式,完全平方公式,十字相利用提取公因式法,平方差公式,完全平方公式,十字相乘法对左边进行因式分解乘法对左边进行因式分解 3.令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程。令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程。4.解这两个一元一次方程,它们解就是原方程解。解这两个一元一次方程,它们解就是原方程解。第11页本章主要方法和公式本章主要方法和公式因式分解法基本步骤因式分解法基本步骤(1 1)将方程变形,使方程右边为零;)将方
7、程变形,使方程右边为零;)将方程变形,使方程右边为零;)将方程变形,使方程右边为零;(2 2 2 2)将方程左边因式分解;)将方程左边因式分解;)将方程左边因式分解;)将方程左边因式分解;(3 3 3 3)依据若)依据若)依据若)依据若A A A A B=0B=0B=0B=0,则,则,则,则A=0A=0A=0A=0或或或或B=0B=0B=0B=0,将解一元二次方程转,将解一元二次方程转,将解一元二次方程转,将解一元二次方程转 化为解两个一元一次方程;化为解两个一元一次方程;化为解两个一元一次方程;化为解两个一元一次方程;开平方法:开平方法:第12页本章主要方法和公式本章主要方法和公式配方法解方
8、程基本步骤配方法解方程基本步骤把把二次项系数二次项系数化为化为1(方程两边同时除以二次项系数方程两边同时除以二次项系数a)把常数项移到方程把常数项移到方程右边右边;把方程左边配成一个把方程左边配成一个完全平方式完全平方式;利用利用开平方法开平方法求出原方程两个解求出原方程两个解.一除、二移、三配、四开平方、五解一除、二移、三配、四开平方、五解.配方法:配方法:公式法:公式法:1 1、把方程化成普通形式,并写出、把方程化成普通形式,并写出a a,b b,c c值值.3、代入求根公式、代入求根公式:4、写出方程、写出方程x1,x2 值值 一化、二求、三代、四解一化、二求、三代、四解 第13页(1)
9、(1)(2)(3)(4)(5)例题观赏例题观赏例例1、以下方程应选取哪种方法求解、以下方程应选取哪种方法求解第14页例例6、解以下方程、解以下方程(1)x2=0(2)第15页解:解:(1)x1=x2=0(2)第16页注意:注意:第(第(1)题轻易解得)题轻易解得x=0这一个解;这一个解;第(第(2)题若方程两边都除以)题若方程两边都除以x6,得:,得:x=2,则原方程少了一个解,原因是,则原方程少了一个解,原因是在除以在除以 。故。故此种做法不可取,应防止在方程两边都此种做法不可取,应防止在方程两边都除以一个代数式。除以一个代数式。第17页例例7、用指定方法解以下方程:、用指定方法解以下方程:
10、(1)直接开平方直接开平方法法(2)配配方法方法(3)公公式法式法(4)因式分解因式分解法法第18页(1)直接开平方法直接开平方法解:解:两边开平方两边开平方 第19页(2)配方法配方法 解:解:23032=+-xx第20页用配方法解一元二次方程要注意两点:用配方法解一元二次方程要注意两点:首先将二次项系数变为首先将二次项系数变为1;方程两边各加上一次项系数二分方程两边各加上一次项系数二分之一平方,这是配方法关键一步,方程之一平方,这是配方法关键一步,方程左边配成完全平方式,当右边是非负实左边配成完全平方式,当右边是非负实数时,用开平方法即可求得方程解数时,用开平方法即可求得方程解 第21页(
11、3)公式公式法法 解:解:第22页(4)因式分解法因式分解法 解:解:第23页 利用因式分解法时,首先应将右利用因式分解法时,首先应将右边各项移到方程左边,使方程右边为边各项移到方程左边,使方程右边为;然后再将方程左边式子分解因式,;然后再将方程左边式子分解因式,使原方程化为两个一元一次方程,常使原方程化为两个一元一次方程,常借助于提公因式法、平方差公式、完借助于提公因式法、平方差公式、完全平方公式等来分解因式。全平方公式等来分解因式。第24页例2、用不一样方法解方程 x-6=5x 第25页火眼金睛火眼金睛1 1、选择适当方法解以下方程:、选择适当方法解以下方程:(1 1)(x+1)(x+1)
12、2 2=4 =4 (2 2)x xx(x(x x)(3 3)(x+1)(2x(x+1)(2x1)=51)=5 (4 4)()(y+1y+1)2 2+2+2(y+1y+1)+1=0+1=0第26页 一元二次方程根判别式一元二次方程根判别式 两不相等实根两不相等实根两相等实根两相等实根无实根无实根一元二次方程一元二次方程 根判式是:判别式情况根情况定理与逆定理两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解)三三、第27页例例1:不解方程,判别以下方程根情况:不解方程,判别以下方程根情况(1)(3)(2)解:解:(1)=所以,原方程有两个不相等实根。所以,原方程有两个
13、不相等实根。说明说明:解这类题目时,普通要先把方程化为普通形式,求出,然后对进行计算,使符号明朗化,进而说明符号情况,得出结论。1、不解方程,判别方程根情况 例题观赏例题观赏第28页例例2:当:当k取什么值时,已知关于取什么值时,已知关于x方程:方程:(1)方程有两个不相等实根;()方程有两个不相等实根;(2)方程有两个相等实根;()方程有两个相等实根;(3)方)方程无实根;程无实根;解:解:=(1).当当0,方程有两个不相等实根方程有两个不相等实根,8k+9 0,即即 (2).当当=0,方程有两个相等实根方程有两个相等实根,8k+9=0,即即 (3).当当 0,方程有没有实数根方程有没有实数
14、根,8k+9 03、证实方程根情况说明:说明:这类题目要先把方程化成普通形式,再计算出,假如不能直接判断情况,就利用配方法把配成含用完全平方形式,依据完全平方非负性,判断情况,从而证实出方程根情况第31页四、一元二次方程根与系数关系四、一元二次方程根与系数关系以两个数以两个数x1、x2为根一元二次方程(二次项系为根一元二次方程(二次项系数为数为1)是)是 第32页设设 x1、x2是以下一元二次方程两个根,填写下表是以下一元二次方程两个根,填写下表 x1 x2 x1+x2一元二次方程56第33页解:设方程另一个根为x1,那么 例题观赏例题观赏第34页例例2、利用根与系数关系,求一元二次方程、利用
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