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初中数学教师学科知识竞赛试卷
一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分．每小题的四个选项中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）

(第1题)
1．如图，一个大长方形被两条线段AB，CD分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 的面积分别为8，6，5，那么图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
2． 如图，C在以AB为直径的半圆⊙上，是的内心，
的延长线分别交半圆⊙于点D，E，AB=6，则DE的长为（ ）
(第2题)
A． B． C． D．
3．对于每个，函数是
这三个函数中的最小值. 则函数的最大值是( )
A．4 B．6 C．8 D．
4．设有一几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（ ）
主视图
左视图
俯视图

A．4+ B．4+
C．4+ D．4+

5．已知一个半径为R，高为h（h>2R）的无盖圆柱形容器装满水，缓缓倾斜后，剩在圆柱形容器里的水恰好装满一个半径也为R的球形容器（球体的体积公式：），若R=3，则圆柱形容器的高h为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．当时,代数式的值为 ．
(第7题)
7．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且它的边长为12，则△ABC的周长为 .
8．两条渡轮分别从江的两岸同时开出，它们各自的速度分别是固定的，
第一次相遇在距一岸800米处，相遇后继续前行，到对岸后立即返
回（转向时间不计），第二次相遇在距另一岸300米处，则江面宽是
米.

(第9题)

9． 如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90º，AC⊥BD，AB=3CD，
则= .
10． 已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比
方程的两个根都大1，则a＋b＋c的值为 .
三、解答题（共4题，满分50分）
11．（12分）已知抛物线，它的顶点P的坐标是
，与轴的交点是.我们称以M为顶点，对称轴是轴且过点P的抛物线为抛物线的伴随抛物线，直线PM为的伴随直线.
（1）请直接写出抛物线的伴随抛物线和伴随直线的解析式：
伴随抛物线： ， 伴随直线： ；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是和，请直接写出这条抛物线的解析式是 ；
（3）求抛物线的伴随抛物线和伴随直线的解析式.

12．（12分）“要想富，先修路”某地政府为实施辖区内偏远地区的开发，把一条原有的铁路延伸了一段，并在沿途设立了一些新的车站，因此铁路局要印制46种新车票，这段路上新老车站加起来不超过20个，那么该地新建几个车站？该地原有几个车站？

(第13题)
13．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且满足AB=AC，
（1）过点A作AF⊥BD交BD于点F，求证：BF=CD+DF．
（2）若CD//AB，过点D作DE⊥AB交AB于点E，且DE=DC．
①求证：；
②求的值．

14.（15分）按《省初中毕业生学业考试说明》中的要求进行编题，并给出答案。编一道选择题，难度值：0.6左右，主要知识点：相似三角形.

15．（14分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A，D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连结BP,BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH．
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
（3）设AP为，四边形EFGP的面积为S，求出S与的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

（第14题）

温州市第四届初中数学教师学科知识竞赛——参考答案
一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．A 5．B
二、填空题6．－15 7．84 8．2100 9． 10．29或 -3
三、解答题11. （1）， （2分） ； （2分）
（2）； （2分）
（3）伴随抛物线是： （3分）
伴随直线是： （3分）
12. 解：设原有车站x个，新车站有y个．则每个新车站需要印制的车票有（x+y－1）种，y个新车站要印（x+y－1)y种新车票，对于x个老车站，要印xy种新车票．
根据题意，有(x+y－1)y+xy=46， （4分）
即y(2x+y－1)=46．
由于46=1×46=2×23，
∴ （4分）
(第13题)
因为x，y必须取正整数，加之新车站合起来不超过20个，则有符合题意，解得 （4分）
即新建2个，原有11个．

13.
（1）证明：在BF上截取BK=CD，∵∠1=∠2，CA=BA，
∴△DCA≌△KBA，∴AK=AD，∵AF⊥BD，∴DF=KF，
∴BF=BK+KF=CD+DF； （3分）

（2）①证明：过A作AH⊥BC交BC于点H，∵CD//AB，∴AD=BC,∴∠DAE=∠ABH，
∵AB=AC ∴AD=BC=2BH，且Rt△DAE∽Rt△ABH，
∴，∵ ， ∴ （4分）
②设CD=，AB=，则DE=，AE=在Rt△DAE中，
，即
∴
∴，∴， （5分）

15. （1）解：如图1，∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
(第15题)
∴∠APB=∠BPH． （3分）
（2）△PHD的周长不变为定值8． （1分）
证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP． （2分）
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH．∴CH=QH．
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8． （2分）

(第15题)
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．
又∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，
∴∠EFM=∠ABP．
又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM≌△PBA． ∴EM=AP=．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+2=BE2．
解得，． （2分）
∴．又四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴． （2分）
配方得，，
∴当时，S有最小值6． （2分）
备用图